高职数学课件 8.5 矩阵

8.5矩阵及其运算1.线性方程组的解取决于矩阵概念的引入对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中表示有航班.

把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:

2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,

如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.这个数表反映了四城市间交通联接情况.把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:§1矩阵由m×n

个数aij

排成m

行，n

列矩形表称为m×n矩阵。或者记为A=其中m表示矩形的行数，n表示矩形的列数，数aij

的第一个下标i表示这个数所在的行，第二个下标j

表示这个数所在的列。数aij

称为元素，当所有元都是实数时A称为实矩阵.例如3×3

矩阵.列标行标例（价格矩阵）四种食品在三家商店中，单位量的售价（以某货币单位计）可用以下矩阵给出：

这里的行表示商店，而列表示食品，比如第2列就是第2种食品，其3个分量表示该食品在3家商店中的售价.矩阵问题的例子§1矩阵由m×n

个数aij

排成m

行，n

列矩形表称为m×n矩阵。

当m=1时，称为行矩阵。当n=1时，称为列矩阵。当m=n

时，称为n

阶方阵。同型矩阵：行列相同的矩阵。矩阵的相等：设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n

则A=B

aij=bij.特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵.

E

O

Λ=diag(λ1,λ2,···,λn)

上三角矩阵和下三角矩阵．形如的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵．

把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵．即矩阵的转置矩阵一个m行n列矩阵A的转置矩阵是一个n行m列的矩阵．矩阵与行列式的有何区别?思考题

矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.§2矩阵的运算一、矩阵的加法设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n则A+B=(aij+

bij)m×n即A=B=A+B=说明

只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加减法运算.说明

只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如12+13+8–5+91+6–9+50+43+36+28+1

矩阵的加法具有下列基本性质：1)加法交换律A+B=B+A2)加法结合律(A+B)+C=A+(B+C)3)零矩阵A+O=A

负矩阵A+(–A)=O于是可规定减法A–B=A+(–B)二、数与矩阵的乘法§2矩阵的运算设A=(aij)m×n

，k

为常数，则kA=即

A=kA=(kaij)m×n例：设求(1)2A+B；(2)A–3B．

解：

(1)2A+B=(2)A–3B练习：如果矩阵X

满足

X–2A=B–X,其中

求X.解：矩阵的数乘法具有下列基本性质：1)数乘结合律(k

l)A=k(lA)

矩阵对数分配律(k+l)A=kA+lA

数对矩阵分配律k(A+B)=kA+kB§2矩阵的运算

一、矩阵的加(减)法设A=(aij)m×n，B=(bij)m×nA±B=(aij±

bij)m×n

二、矩阵的数乘法

kA=(kaij)m×n矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算.

关于矩阵加法和数乘法的一些基本规律与中学的代数中字母运算基本一致.三、矩阵的乘法

§2矩阵的运算引例：一小学生买了12支铅笔，每支0.5元，8个作业本，每本1.2元，1瓶墨水2.4元，一共花了多少钱？

0.5×12+1.2×8+2.4×1=18(元)写成形式：

(0.51.22.4)=0.5×12+1.2×8+2.4×11、定义设A=(aij)m×p，B=(bij)p×n则AB=C=(cij)m×n三、矩阵的乘法§2矩阵的运算其中例如

c22+a2pbp2=a21b12+a22b22+a23b32+…设A=(aij)m×p，B=(bij)p×n则AB=C=(cij)m×n三、矩阵的乘法§2矩阵的运算其中例如

cm1+ampbp1=am1b11+am2b21+am3b31+…三、矩阵的乘法§2矩阵的运算例：计算解：原式=3×2+2×0+(–1)(–2)3(–1)+2×5+(–1)(–3)1×2+(–2)0+0(–2)1(–1)+(–2)5+0(–3)2×2+1×0+(–3)(–2)2(–1)+1×5+(–3)(–3)=8102–111012练习：

由上例可知，1、矩阵不满足交换律；2、单位矩阵I在矩阵的乘法中与数1在数中的乘法中所起的作用相似．

若两个矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B是可交换的

由于矩阵乘法不满足交换律，所以在进行运算时，千万要注意，不能把左、右次序颠倒．矩阵乘法满足如下运算规律：（１）结合律：(AB)C=A(BC)；（２）分配律：A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA；（３）k(AB)=

(kA)B=A(kB)，k为任意常数．例：用矩阵乘法来表示线性方程组。看三元线性方程组线性方程组的矩阵形式为Ax=b

得：Ax==b

x=b

一般地：n

元线性方程组的矩阵形式为Ax=b

其中：

A=系数矩阵

未知矩阵

常数矩阵

例3若变量

y1,y2

,···,yn

可由变量

x1,x2

,···,xn线性表示,即称由变量x1,x2

,···,xn到变量