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高职实用数学第2章导数与微分1函数和、差、积、商的求导法则

2反函数的求导法则2.2函数的求导法则

定理2

设函数在点x处都可导，则它们的和、差、积、商（当分母不为零时）在点x处也可导，且有以下法则：函数的求导法则

1.函数和、差、积、商的求导法则（1）（3），（其中C为常数）．（4）（2）下面给出法则（2）的证明，其余的留给读者自证．所以证设，有

法则（1）、（2）可以推广到有限个函数的和或积的情形，如令，得即例1

设，求．解

例2设，求．解．例3设，求．解

例4设，求．解

即类似地有

例5设，求．解

即类似地有

2.2.2反函数的求导法则定理2设函数在点处有不为零的导数，在相应点处的导数也存在，并且有，或此定理的结论也可写成或则其反函数所以，在上式中令即得结论．证因为当时，有，又有

利用反函数的导数公式，可以求出反三角函数及指数函数的导数．,

时，.例6

证明当证因为()的反函数函数是所以根据反函数求导公式得，同样可求出其它反三角函数的导数公式：一般的，对任意的实数在2.1.3的例2中，我们证明了．．例7

证明当时，证因为与互为反函数函数，于是特别，令即得．，有求导公式．，有例7证明对任意的实数证

例8证明证

定理3设在x

处可导，而函数在对应的处可导，则在x处可导，且有2.3复合函数和初等函数的导数或．

,.2.3.1复合函数的求导法则．证给自变量以增量,相应地函数也有增量和Δy，下面仅在的情况下给出证明（可能为零，结论也是对的，但证明比较复杂）．我们有因为可导，所以当时，有．于是，在上式中令

，得．

复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．

解可看作是由复合而成，因此，求.．例1

设解

是由和复合而成的，有例2

设，求．

例3求下列函数的导数：（1）（2）解（1）（2）（3）（4）（3）（4）例4求下列函数的导数：（1）；（2）．解（1）；（2）1.常数和基本初等函数的导数公式2.3.2初等函数的求导法则（5）复合函数求导法则：若可导2.求导法则反函数求导法则：（2）（1）（3）（4）则例5

求下列函数的导数：（2）（3）（1）解（1）（2）（3）因为所以．曲线在的切线斜率是多少？解所以，在处曲线的切线斜率为解

方法1函数可以写成所以例11求

将函数两边取自然对数，即．两边对求导，注意左端的是的

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