高职数学课件 2.1 导数的概念

高职实用数学第2章导数与微分2.1.1导数概念的引例2.1.2导数的定义2.1.3用定义求导数举例2.1.4导数的基本公式2.1.5导数的几何意义及其应用2.1.6函数的可导性与连续性的关系2.1导数的概念得到在时刻引例1．变速直线运动的速度匀速直线运动时，

设物体的运动规律为，物体从到时间段经过的路程为，即，2.1导数的概念---平均速度：

令

的瞬时速度：2.1.1导数概念的引例播放例2

平面曲线的切线斜率

割线的极限位置切线？当增量时，N点沿着曲线向点M靠近，割线MN也向所求的切线MT靠近，于是割线MN的斜率向所求的切线MT的斜率靠近．于是，令，就得到切线的斜率:引例3．产品总成本的变化率设总成本C是产量q的函数，即．当产量由变到时，总成本相应的改变量为，则总成本的平均变化率为．当时，如果存在，则称此极限是总成本变化率，又称边际成本．存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为定义1

设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处取得增量时，相应地函数取得增量，如果极限2.1.2导数的定义１．导数值与导函数或

(1)其它形式:即(2)如果(1)式极限不存在，则称

f(x)在x0

处不可导.

如果函数在某一个开区间(a，b)内每一点处都可导，就称在区间(

a，b)内可导．这时，对于(a，b)内每一个确定的x的值，都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了x

的一个新的函数，称为函数的导函数，记为或

即(3)

右导数:左导数:定义2

定理

函数在点处可导左导数和右导数都存在且相等.即

2．左、右导数用定义求导数其步骤可分为：

2.1.3用定义求导数举例例1

设C为常数，求：即解(1)求增量：

(2)算比值：

(3)取极限：例2设

n为正整数，证明：

解(1)求增量：

(2)算比值：

(3)取极限：即由公式得到幂函数导数,例如注：n为负数公式也成立.求即例

4

求f(x)=sinx

的导函数

.解即(sinx)

=cos

x.(cos

x)

=-sinx.类似可得2.1.4导数的基本公式证明公式（5）例

5

求

的导函数.解即令a=e，得例4解(1)由导数公式(2),有求下列函数的导数：(2)由导数公式(3),有切线方程:法线方程:2.1.4导数概念的几何意义解因,由导数几何意义,曲线在点的切线与法线的斜率分别为

切线方程为，即．法线方程为，即．

例8

求曲线在点处的切线和法线方程.三、可导与连续的关系证

定理2

如果函数在点处可导，则在点处连续．例5

证明在x=0处连续但不可导.证

因为所以在x=0连续。而即函数在x=0处左右导数不相等,从而在x=0不可导.当

时，当

时，

函数在x=0处连续但不可导的例子.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件即可导必定连续,连续不一定可导.1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;5.函数可导一定连续,但连续不一定可导。4.求导数最基本的方法:由定义求导数;

四、小结例2

平面曲线的切线斜率

切线？割线的极限位置播放例2

平面曲线的切线斜率

切线？割线的极限位置播放例2

平面曲线的切线斜率

切线？割线的极限位置播放例2

平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置播放例2

平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置播放例2

平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位