广东省广州外国语、广大附中、铁一中学等三校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题

2024—2025学年第一学期期中三校联考高三数学本试卷共2页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．3．已知正方形的边长为1，设点M、N满足，.若，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．4．若，则的值为（

）A． B． C． D．5．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则的展开式中的常数项是（

）A． B． C．15 D．206．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数在区间上单调递减，则m的最小值为（

）A． B． C． D．7．在等差数列中，是的前项和，若，，则有限项数列中，最大项和最小项分别为（

）A．B．C．D．8．已知函数满足，当时，，则（

）A．为奇函数 B．若，则C．若，则 D．若，则二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知在某校高三年级的一次数学测验中，1000名学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有(参考数据：①；②③（

）A．标准差为100B．及格率超过C．得分在内的人数约为997D．低于80分的人数和达到优秀线的人数大致相等10．已知函数的极大值点为，则（

）A．B．C．若，则D．若，则11．已知平面内两定点和与一动点，满足，若动点的轨迹为曲线，则下列关于曲线的说法正确的是（

）A．存在，使曲线过坐标原点；B．曲线关于轴对称，但不关于轴对称；C．若三点不共线，则周长最小值为；D．曲线上与不共线的任意一点关于原点对称的点为，则四边形的面积不大于.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线C上一点．若当与x轴垂直时，有，则双曲线C的离心率为．13．若曲线与有一条斜率为2的公切线，则.14．在n维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）已知△的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，△的面积为，求的值．16．（15分）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在轴上，面积为，点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)经过点的直线与曲线交于，两点，与椭圆的面积比为，求直线的方程.17．（15分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面，，分别是棱，的中点，是棱上一点，且．(1)证明：平面；(2)若三棱锥的体积为1，且二面角的余弦值为，求的值．18．（17分）已知函数.(1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；(2)若；求证：；(3)设，是函数的两个极值点，求证：.19．（17分）若无穷数列满足，，则称具有性质．若无穷数列满