高职数学课件 1.6函数的连续性

1.6函数的连续性1.6.1函数连续的概念1.6.2函数的间断点1.6.3初等函数的连续性1.6.4闭区间上连续函数的性质1.6.1函数的连续性1．函数在一点处的连续性定义1

如果自变量从初值变到终值，对应的函数值由变化到，则称为自变量的增量，记为，即．相应地称为函数的增量，记为，即由于，所以函数的增量又可以表示为注意，自变量的增量不一定是正的，也不一定是正的．定义2

如果函数在点的某邻域内有定义，且有就称函数在点处连续．显然，函数在点处连续，还可以等价地表达成例1

证明函数在点处是连续的．证因为，而，即，所以该函数在点处是连续的．2．函数在区间上的连续性定义3

如果函数在区间内的每个点上都连续，就称函数在区间内是连续的．有时只考虑单侧连续．如果，则称函数在点处左连续．如果，则称函数在点处右连续．显然，函数在点处连续的充分必要条件是：它在点处既是左连续同时又是右连续．函数在闭区间上连续是指在区间内是连续的，且在左端点a处右连续，而在右端点b处左连续．证任取一点，因为而当时，是无穷小量，是有界变量，所以例2

证明函数在其定义域内是连续的．即函数在点处是连续的．再由点的任意性可得：函数在其定义域内是连续的．同理可证函数在其定义域内是连续的．例3

证明函数在其定义域内是连续的．证任取一点，因为且，所以有故函数在其定义域内是连续的．同理可以证明一般的指数函数在其定义域内是连续的．1.6.2函数的间断点从函数连续的定义可以看出，函数在点处连续，必须同时满足下列三个条件：（1）函数在点处有定义.（2）存在.（3），即当时的极限值与函数在点处的函数值相等．如果函数不能同时满足上述的三个条件，这时我们就说函数在点处是间断的，点称为间断点．例4

讨论符号函数在点处的连续性．解因为所以不存在，故该函数在处是间断的(见图1-21)．从图上可以看出，当是间断点时，函数的图象在处是断开的．例5

讨论函数在点处的连续性．解因为当是连续点时，函数的图象在处是接起来的．所以，故该函数在处是连续的．从图上可以看出，1.6.3连续函数的运算2．连续函数的四则运算设函数均在点处连续，则：（1）在点处连续．（2）在点处连续．（3）若，则在点处连续．1.基本初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内都是连续的.3．复合函数的连续性设函数在点处连续，在点处连续，则复合函数在点处连续．因为在点处连续，所以，即．又因为在点处连续，所以上式可以等价地改写为也就是，求复合函数极限时，如果在点处连续，在点处连续，则极限符号可以与函数符号互换．例6

求极限解设，，它们构成复合函数．而，即当时，函数的极限存在，又在处连续，故极限符号可以与函数符号互换，从而有4．反函数的连续性设函数在某区间上连续且严格单调递增（或严格单调递减），则它的反函数也在对应区间上连续，且是严格单调递增（或严格单调递减）的．例如，在上是连续的并且严格单调递增．这是因为其原函数在上是连续的并且严格单调递增．同理可知，，，在它们各自的定义区间上是连续的．5．初等函数的连续性利用函数连续的定义与运算法则，复合函数的连续性以及反函数的连续性，可以得到如下的重要结论：定理初等函数在其定义区间内都是连续的．上述定理表明，如果点是初等函数定义区间内的点，则当时，的极限就是．1.6.4闭区间上连续函数的性质下面不加证明地给出闭区间上连续函数的性质．这些性质都有非常明显的几何意义，在以后的讨论中会经常用到它们．性质1（最大最小值定理）设函数在闭区间上连续，则它在上一定可以取到最大值和最小值．即至少存在一点，使得对任意的都有.同时至少存在一点，使得对任意的都有．性质1的几何解释如图所示．推论1

设函数在闭区间上连续，则它在上一定是有界的．由性质1知，如果函数在闭区间上连续，则它在上一定可以取到最大值和最小值，如果设

在上的最大值与最小值分别为M和m，那么令，则函数在区间上一定满足，即函数在闭区间上有界．该推论的几何解释见图性质2（介值性定理）设函数在闭区间上连续，则它在上一定可以取到最大值和最小值之间的任何一个中间值．即如果设最大值与最小值分别为M和m

，且，则至少存在一点，使得．性质2的几何解释见图所示．推论2（零点存在定理）设函数在闭区间上连续，且，则在区间内至少存在一点，使得．由于，所以的最大值，而最小值，即，所以在区间内至少存在一点，使得．该推论的几何解释见右图例8

证明方程在区间内至少有一个根．证作函数，