2017年管理类联考讲义--数学

绪论及预备知识

一、数学试卷形式结构及内容大纲

1、试卷满分及考试时间

试卷满分为200分，考试时间为180分钟。

2、答题方式

答题方式为闭卷、笔试。不允许使用计算器。

3、试卷内容与题型结构

数学基础75分，有以下两种题型：

问题求解15小题，每小题3分，共45分

条件充分性判断10小题，每小题3分，共30分

4、考查内容

综合能力考试中的数学基础部分主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理

能力，通过问题求解和条件充分性判断两种形式来测试。

试题涉及的数学知识范围有：

(一)算术

1、整数

(1)整数及其运算

(2)整除、公倍数、公约数

(3)奇数、偶数

(4)质数、合数

2、分数、小数、百分数

3、比与比例

4、数轴与绝对值

(二)代数

1、整式

(1)整式及其运算

(2)整式的因式与因式分解

2、分式及其运算

3、函数

(1)集合

1

(2)一元二次函数及其图像

(3)指数函数、对数函数

4、代数方程

(1)一元一次方程

(2)一元二次方程

(3)二元一次方程组

5、不等式

(1)不等式的性质

(2)均值不等式

(3)不等式求解：一元一次不等式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式。

6、数列、等差数列、等比数列

(三)几何

1、平面图形

(1)三角形

(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形)

(3)圆与扇形

2、空间几何体

(1)长方体

(2)圆柱体

(3)球体

3、平面解析几何

(1)平面直角坐标系

(2)直线方程与圆的方程

(3)两点间距离公式与点到直线的距离公式

(四)数据分析

1、计数原理

(1)加法原理、乘法原理

(2)排列与排列数

(3)组合与组合数

2、数据描述

(1)平均值

2

(2)方差与标准差

(3)数据的图表表示

直方图，饼图，数表。

3、概率

(1)事件及其简单运算

(2)加法公式

(3)乘法公式

(4)古典概型

(5)伯努利里概型

二'数学命题特点

数学考试大纲内容涵盖初中和高中六年的知识，面大，量多，范围广，考生复习时很难抓住重点，同

时初数的解题技巧性极强，加大技巧的训练越来越重要。

三'预备知识

1、基本公式

(1)(.a+b)2=a2+2ab+b2

(2)Ca+b)3±3a2b+3ab2+b3

(3)(a-b)(a+b)=a2-b1

(4)a3±Z>3=(a士份(片减力口"+/)

(5)(a+b+c)-=a~+Z?~+c?+2ab+2ac+2Z>c

(6)u~+b+c~+ab+ac+be=2(a~+b++ab+etc+be)

=g[(a+6)2+(a+c)2+(£>+c)2]

2、指数相关知识

(1)平方根

(2)算术平方根

3、条件充分性判断

从大纲要求上看，条件充分性判断题主要考查考生对数学的基本概念、基本方法的熟练掌握程度，并

能够迅速准确地判断题干中陈述的结论可否由条件(1)或(2)推出。因而考生在备考时应对于充分条件

的有关概念、联考题型的结构及其逻辑关系以及解题策略和应试技巧等有一个全面的理解和把握。

3

（1）、充分性命题定义

由条件A成立，就可以推出结论8成立（即AnB）,则称A是8的充分条件。若由条件A,不能

推出结论8成立（即则称A不是8的充分条件。

【注意】A是8的充分条件可巧妙地理解为：有A必有8,无A时8不定。

2、解题说明

本大题要求判断所给的条件能否充分支持题干中陈述的结论，即只要分析条件是否充分即可，不必考

虑条件是否必要。阅读条件（1）和（2）后选择:

A条件（1）充分，但条件（2）不充分

B条件（2）充分，但条件（1）不充分

C条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分

D条件（1）充分，条件（2）也充分

E条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分

▲以上规定全讲义适用，以后不再重复说明。

3、常用求解方法

实际上，这类判断题的求解即判断下面三个命题的真假：

①条件（D成立，则题干结论成立；

②条件（2）成立，则题干结论成立；

③条件（1）和（2）都成立，则题干结论成立；

（1）解法一直接定义分析法（即由A推导8）

若由A可推导出则A是B的充分条件；若由A推导出与B矛盾的结论，则A不是B的充分条件。

该解法是解“条件充分性判断”型题的最基本的解法，应熟练掌握。

【例1】方程%2一3%-4=0成立。

(1)x=-l(2)(x-4)2<O,xeR

（2）解法二题干等价推导法（寻找题干结论的充分必要条件）

要判断A是否是8的充分条件，可找出B的充要条件C,再判断A是否是C的充分条件。

即：若BoC,而则AnB。特殊地，当条件给定的参数范围落入题干成立范围时，即判断

该条件是充分。

【例2】x-2是多项式/（%）=犬+2%2_办+/,的因式。

（1）a=1,b=2（2）a=2,b=3

4

【例3】不等式|x—2|+|4—x|<s无解。

(1)s<2(2)s>2

x+1_vx+1

【例4】等式成立。

x-2Jx—2

(1)x>3(2)x<3

(3)解法三特殊反例法

由条件中的特殊值或条件的特殊情况入手，推导出与题干矛盾的结论，从而得到条件不充分的选择。

【注】此方法不能用在条件具有充分性的肯定性的判断上。

【例5】整数〃是140的倍数。

(1)〃是10的倍数(2)〃是14的倍数

【例6】a+6+c<0成立。

(1)实数”,dc在数轴上的位置如图1-1所示

(2)实数a,A,c满足条件a%c<0,且a<Z?<c

【例7】要使%〉1成立。

(1)a<l(2)a>l

第一章算术

【大纲考点】

1、整数

(1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、合数

2、分数、小数、百分数3、比与比例4、数轴与绝对值

一、数的概念与性质

1、自然数N(非负整数)：0,1,2,-

5

整数Z：…，-2,-1,0,1,2,

分数：将单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。

2、数的整除

设。力是任意两个整数，其中6/0,如果存在一个整数q,使得等式a=bq成立，则称〃整除。或a

能被A整除，记作“a,此时我们把匕叫做。的因数，把。叫做b的倍数。如果这样的4不存在，则称6不

整除a,记做

3、整除的性质

(1)如果c|Z?,A|a,则c|a；

(2)如果c|Z?,c|a,则对任意的整数机，〃有c|("+〃b)；

4、常见整除的特点

能被2整除的数：个位为0,2,4,6,8。

能被3整除的数：各数位数字之和必能被3整除。

能被4整除的数：末两位(个位和十位)数字必能被4整除。

能被5整除的数：个位为。或5。

能被6整除的数：同时满足能被2和3整除的条件。

能被8整除的数：末三位(个位、十位和百位)数字必能被8整除。

能被9整除的数：各数位数字之和必能被9整除。

能被10整除的数：个位必为0。

能被11整除的数：从右向左，奇数位数字之和减去偶数位数字之和能被11整除(包括0)。

能被12整除的数：同时满足能被3和4整除的条件。

连续k个正整数的乘积能被左!整除。

5、带余除法

设a力是任意两个整数，其中6>0,则存在整数4/使得a=匕4+r,0<r〈人成立，而且4/都是唯

一的。g叫做。被b除所得的不完全商，一叫做。被b除所得到的余数。

6、奇数与偶数

不能被2整除的数称为奇数；能被2整除的数称为偶数。

【注】0属于偶数。

6

7、质数与合数

一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，则称这个整数是质数(或素数)；一个大于1

的整数，如果除了1和它本身，还有其他的正因数，则称这个整数是合数(或复合数)。

1

正整数＜质数

、合数

【质数、合数的判断方法】对于一个不大的自然数”(〃＞1,〃非完全平方数)，可用下面的方法判断它

是质数还是合数，先找出一个大于〃的最小完全平方数42,再写出女内的所有质数，若这些质数都不能整

除〃，则〃是质数；若这些质数中有一个质数能整除〃，则“为合数。

8、质数与合数的重要性质

(1)质数和合数都在正整数范围，且有无数多个。

(2)2是唯一的既是质数又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。质数中只有一个

偶数是2,最小的质数也是2。

(3)若p是一质数，。是任一整数，则。能被p整除或p与。互质(p与。的最大公因数是1)。

(4)设0是一质数，a,6是整数，若p|a为，则必有或p|Z＞。

(5)推广：设p是一质数，q,a2，L是〃个整数，若pl"•用，L•q,则0一定能整除其中一个为。

(6)若正整数a1的积是质数0,则必有a=/2或6=p。

(7)1既不是质数也不是合数。

(8)如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有

一个是2o

(9)最小的合数是4。任何合数都可以分解为几个质数的积，能写成几个质数的积的正整数是合数。

9、最大公约(因)数与最小公倍数

设。力是两个整数，若整数c满足c|a,c|。，则c称为。和b的公约数。a和匕的所有公约数中的最大

者称为a和匕的最大公约数，记为(。/)。

分子与分母互质的分数称为最简分数或既约分数。

设。力是两个整数，若整数c满足。卜力卜，则c称为a和b的公倍数。a和匕的所有公倍数中的最小

者称为。和匕的最小公倍数记为［a,b］。

10、互质数

7

公约数只有1的两个数称为互质数。即若(a/)=1,则称。力互质。

11、公倍数与公因数的性质

设。力是任意两个正整数，则有：

(1)a/的所有公倍数就是切的所有倍数，即若a|d且b|d,则一，句|d；

nh

(2)[a,b]=----。特别地，当(a,A)=l时，有[a,A]=a)。

(a,b)

【典型例题】

【例1】从1到120的自然数中，能被3整除或能被5整除的数的个数是()个。

(A)64(B)48(C)56(D)46(E)72

【例2】若"是一个大于100的正整数，则“一定有约数()

(A)5(B)6(C)7(D)8(E)以上结论均不正确

[例3]一班同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则这班的同学

人数()

(A)一定是4的倍数(B)不一定是4的倍数(C)一定不是4的倍数

(D)一定是2的倍数，不一定是4的倍数(E)以上结论均不正确

【例4】某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘3加上右手中石子数乘4之和为29,则右手

中石子数为()

(A)奇数(B)偶数(C)质数(D)合数(E)以上结论均不正确

【例5】正整数N的8倍与5倍之和，除以10的余数为9,则N的最末一位数字为()

(A)2(B)3(C)5(D)9(E)以上结论均不正确

【例6】9121除以某质数，余数得13,这个质数是()

(A)7(B)11(C)17(D)23(E)以上结论均不正确

8

1661

【例7】已知3个质数的倒数和为-----，则这三个质数的和为（）

1986

（A）334（B）335（C）336（D）338（E）不存在满足条件的三个质数

【例8】有5个最简正分数的和为1,其中的三个是士!一，其余两个分数的分母为两位整数，且这两个

379

分母的最大公约数是21,则这两个分数的积的所有不同值的个数为（）

（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个（E）无数多个

【例9】两个正整数的最大公约数是6,最小公倍数是90,满足条件的两个正整数组成的大数在前的数对

共有（）

（A）1对（B）2对（C）3对（D）4对（E）5对

【例10】三名小孩中有一名学龄前儿童（年龄不足6岁），他们的年龄都是质数（素数），且依次相差6岁，

他们的年龄之和为（）

（A）21（B）27（C）33（D）39（E）51

【例11】三个质数之积恰好等于它们和的5倍，则这三个质数之和为（）

(A)11(B)12(C)13(D)14(15)15

【例12】条件充分性判断

1、x=翳成立

1

198+()°

(1)x=23.456

(2002+2000+1998+L+4+2)—(2001+1999+1997+L+3+1)

/、1111

(2)X—1H-----1------l-TLH--------

1x22x399x100

2、自然数n的各位数字之积为6

（1）n是除以5余3,且除以7余2的最小自然数

（2）n是形如2”（m是正整数）的最小自然数

3、龙皿+炉似可取两个不同的值

9

（1）实数x,y满足条件（尤+y）99=T

（2）实数x,y满足条件（尤—y）i°°=l

4、(«,b)=30,[«,Z?]=18900

(1)a=2100,b=270(2)a=140,Z?=810

5、机为偶数

（1）设”.为整数，771="（77+1）

（2）在1,2,3,L,1998这1998个自然数中的相邻两个数之间任意添加一个加号或减号，设这样组成

的运算式的结果是相。

6、有偶数位来宾（）

（1）聚会时所有来宾都在一张圆桌周围，且每位来宾与邻座性别不同。

（2）聚会时，男宾是女宾的2倍。

二、数的分类

1、实数包括有理数和无理数

r正整数］

r正有理数1正分数有限小数，无限循环小数

「有理数0J负整数

I负有理数t负分数

实数「正无理数］

无理数｛\无限不循环小数

〔负无理数J

<11>按性质符号分类

J正整数

/正有理数1正分数

r正实数t正无理数

实数oj负整数

负实数［负有理数1负分数

I负无理数

2、数轴

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线。

-10

实数与数轴上的点——对应。

10

数轴上的点从左到右的顺序，就是对应的实数从小到大的顺序。

对于任意实数X,用［X］表示不超过X的最大整数；令｛%｝=%-［幻，称［X］是X的整数部分，度｝是X

的小数部分。

3、实数的基本性质

(1)若Pa,beR,则在a<da=仇。>心中有且只有一个成立；

(2)\/a,则/NO。

4、实数的运算

任意两个实数的和、差、积、商(除数不等于零)仍然是实数。

(1)四则运算

加法交换律a+b+

加法结合律(a+b)+c=a+(b+

乘法交换律ab=b)

乘法结合律(«b)G=<b

分配率a(b+c)=ab+ac

。与—a互为相反数

a(aw0)与1互为倒数

a

(2)乘方与开方运算

若x"=a,则a称为x的几次方(或〃次幕)，x称为a的九次方根。a的正的〃次方根记作乐。

【性质】正数的任何次方都是正数；

0的正数次方都是0；

负数的奇次方是负数；负数的偶次方是正数；

正数的奇次方根是正数；

正数有两个偶次方根，它们互为相反数；

0的几次方根为0；

负数的奇次方根是负数；负数没有偶次方根；

【运算规律】

①a°=l(a#0)②「=——③疝@aman=am+n

an

11

mn

⑤>=""一"@(am)n=anm⑦(")"=a»"⑧(q)，=勺

anbbn

5、集合

(1)集合的概念

集合：将能够确切指定的一些对象看成一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。

元素：集合中各个对象叫做这个集合的元素。

(2)常用数集及记法

非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合，记作N。

正整数集：非负整数集内除0的集合，记作N*或Z+。

整数集：全体整数的集合，记作Z。

有理数集：全体有理数的集合，记作。。

实数集：全体实数的集合，记作及。

【注】①自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。

②非负整数集内排除0的集，记作N*,Q,Z,R等其它数集内排除0的集，也是这样的表示，例如，整

数集内排除0的集，表示成Z*。

(3)集合的分类

有限集：含有有限个元素的集合。

无限集：含有无限个元素的集合。

规定：空集是不含任何元素的集合。

(4)元素与集合的关系

属于：如果。是集合A的元素，就说。属于A,记作aeA；

不属于：如果。不是集合A的元素，就说a不属于A,记作a/A；

(5)集合中元素的特性

确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里或者不在，不能模棱两可；

互异性：集合中的元素没有重复；

无序性：集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)；

【注】①集合通常用大写的拉丁字母表示，如A&CRQ等，元素通常用小写的拉丁字母表示，如

a,b,c,p,q等;

②"e"的开口方向，不能把awA颠倒过来写。

12

【典型例题】

【例13】一辆出租车有段时间的营运全在东西走向的一条大道上，若规定向东为正、向西为负，且知该车

的行驶公里数依次为一10，+6,+5,—8,+9,-15,+12,则将最后一名乘客送到目的地时，该车的

位置()

(A)在首次出发地的东面1公里处(B)在首次出发地的西面1公里处

(C)在首次出发地的东面2公里处(D)在首次出发地的西面2公里处

(E)仍在首次出发地

【例14］下列各式正确的是()

(A)两个无理数的和是无理数(B)两个无理数的乘积是无理数

(C)两个无理数的乘积是有理数(D)一个有理数和一个无理数的乘积是无理数

(E)一个有理数和一个无理数相加减,其结果是无理数

(T)")(T)LQ—；)的值是(,

【例15】

0.1+0.2+0.3+L+0.9

213

(A)—(B)(C)()(E)

81iIDTV

［例16］(1+—)(1--)(1+—)(1--)L(1+—)(1——)=()

22339999

、50/、47、4750

(A)—(C)——(D)——(E)

97⑻H989999

【例17］已知a＜0,—1＜人＜0,那么()

(A)ab2<ab<a(B)a<ab<ab1(C)ab~<a<ab

(D)a<ab~<ab(E)以上结论均不正确

【例18】有一个正的既约分数，如果其分子加上24,分母加上54后，其分数值不变，那么此既约分数

的分子与分母的乘积等于()

(A)24(B)30(C)32(D)36(E)38

【例19】把无理数逐记作a,它的小数部分记作b,则等于()

b

(A)1(B)-1(C)2(D)-2(E)以上答案均不正确

13

【例20】等式j?=(«y成立的条件是(

)

(A)。是任意实数(B)«>0(C)«<0(D)«>0(E)«<0

【例21]已知a=3+2应力=3—20，贝|]"匕—必2的值为()

(A)4应(B)3A/2(C)-4A/2(D)-372(E)-1

且等式a+b®+c0=45+2娓成立,贝qa+6+c的值等于(

【例22】a,b,c为有理数,)

(A)0(B)1(C)2(D)3(E)以上结论均不正确

【例23】条件充分性判断

1、x=^-l

(1)x=18+2岳(2)彳="_疝

2、a=b=0

(1)ab>0,(^)a+b=1(2)。力是有理数，a是无理数，S.a+ba=Q

3、[划,[川,口]分别表示不超过苍-2的最大整数，则[x-y-z]可以取值的个数是3个

(1)[%]=5[y]=3[z]=l(2)[x]=5[y]=-3[z]=-l

三、绝对值

1、绝对值的定义

,,[a(.a>

实数a的绝对值定义为：a=\0)

11[-a(tz<0).

即：正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数、零的绝对值还是零

2、绝对值的几何意义

实数a的绝对值的几何意义：数轴上实数a所对应的点到原点的距离(如图1-2所示)。

14

3、绝对值的性质

a,a>0

①问二<0,a—Q

-a.a<0

②同>0,a1>0,y[a>0

③M=同

④同2=〃2,^J~^2=同

同=〃n%=±a

⑤W<〃n%<a

⑥@=；=±l(aw0)

a\a\

⑦琲H岗，年用sw°)

\b\

⑧一|a区aV|a|

4、绝对值不等式(三角不等式)

(1)|a|-|Z?|<|a+Z?|<|«|+|/?|：

当且仅当"<0且同》同时，左边等号成立；

当且仅当20时，右边等号成立。

(2)|a|-|Z?|<|a-Z?|<|a|+|Z?|：

当且仅当帅NO且同习母时，左边等号成立；

当且仅当。6<0时，右边等号成立。

(3)||<7|-|z?||<|o+z?|<|<7|+|z?|：

当且仅当ab<0时，左边等号成立；

当且仅当ab20时，右边等号成立，

【典型例题】

【例24】已知是实数，43x+4+y2-6y+9=0,若axy—3x=y,则。等于()

1177c

(A)-(B)--(C)-(D)--(E)0

4444

15

【例25]已知|%—y+l|+(2x—y)2=0,求log/。

【例26】求适合下列条件的所有x的值

(1)|x-3|=8(2)|x-3|<8(3)|x-3|>8

【例27]已知|%—々区1,|y-x\<l,则有()

(A)|y-a\<2(B)|y-a\<1(C)|y+a\<2

(D)|y+a\<l(E)A、B、C、D都不正确

—11—2无

【例28]已知土一=二上,则x的取值范围是()

33

(A)(-co,--](B)[―,+co)(C)(D)(-oo^—](E)(-oo,不)

【例29]若|。—c|<M|("cwO),则下列不等式成立的是()

(A)a>c-b(B)a<b+c(C)\a\<]b\+\c\(。)5|>|加—|c|(E)\a\>]b\+\c\

【例30】x,y,z满足条件|x2+4^+5y2|+Jz+g=_2y-l,则(4x-10疔等于()

(A)l(3)0(C书(D)2(E)以上均不正确

6

17I/IjI\2013z、

■-ba\b\c\abc\beac〃人./士位/、

[例31]已1矢口---H-----1--=1A,贝！J--------+-；­：•-.—7---的值为()

\a\b\c\abcJ(口.口ca,

(A)1(B)-1(C)±1(D)-(E)不能确定

3

【例32]设y=|x—2|+|x+2],则下列结论正确的是()

(A)y没有最小值(B)只有一个x使y取到最小值

(C)有无穷多个x使y取到最大值(D)有无穷多个x使y取到最小值

16

(E)以上结论均不正确

【例33)条件充分性判断

1、\y-d\<2成立。

(1)(2)|2x-y|<1

凹-皿=-2成立

2、

ab

(1)a<0(2)b>0

3、函数/(x)的最小值为g

21

X-------

(1)/(%)=+x+—⑵/(%)=.~胃

1212卜一4

4,方程/(x)=l有且仅有一个实根

(I)f(x)=\x-l\(2)/(x)^x-l|+l

5、y/c^b=-ay/b

(1)a>0,b<0(2)a<0,b>0

6、方程k+l|+N=2无根

(1)xe(-oo,-l)(2)xe(-l,0)

四、比、比例、均值

1、比

两个数相除，又称为这两个数的比。即。：6=@.其中a叫做比的前项，b叫做比的后项。相除所得商

b

叫做比值。记作。：6=。/人=左，在实际应用中，常将比值表示成百分数，称为百分比，如3：4=75%o

2、几个重要关系

17

原值。增长了p%＞现值«(1+P%);

原值a.降」”一＞现值a(l-p%)；

o

甲比乙大P%=甲乙=p°/oO甲=乙•(1+P%)；甲是乙的p°/oO甲=乙-P/o；

乙

【注】甲比乙大「％不等于乙比甲小0%,不要混淆。先减小.％,再增加0%并不能等于原数值。

3、比例

相等的比称为比例，记作a:b=c:d或幺=£。其中。和d称为比例外项，〃和c称为比例内项。

bd

当a:b=6:c时，称卜为a和c的比例中项，显然当a,dc均为正数时，匕是a和c的几何平均值。

4、正比

若y=(左不为零)，则称y与x成正比，%称为比例系数。

【注】并不是尤和y同时增大或减小才称为正比。比如当左＜0时，x增大时，y反而减小。

5、反比

若y=k/x(左不为零)，则称y与九成反比，上称为比例系数。

【注】同正比也不是反向增大或减小才称为反比，如左＜0。

6、比例的基本性质

(1)a;b=c:doad=bc

(2)a;b=c:dob:a=d:cob:d=a:cod:b=c;a

(3)(反比性质)-==-

bdac

(4)(更比性质)—=—＜^—=—

bdcd

…ca+bc+d

(5)(合比性质)一=一0------=-------

bdbd

/、/l、〃ca-bc-d

(6)(分比性质)一=一=----=-----

bdbd

(7)(合分比性质)@=£=些丝，特别地，当机=i时，有q=f=±_(；或者可写成

bdb±mdbdbhc

-a=—ca+b=c+d

bda-bc-d

“、zA-A-rracema+c+e+La_,,八

(8)(等比性质)一=—=—=L=一=＞----------------=—,其中67+d+/r+LT+〃w0

bdfnZ7+d+/+L+nb

7、增减性变化关系(a,b,m＞0)

18

...cicima、、*l、—:、、、、.

右7>1,则-----<—o注思，反之不一定成反。

bb+mb

1卜CClI51〃+〃/U、、*L、T.v>.

右0<一<1,则----->—o注思，反之不一定成立O

bb+mb

8、平均值

(1)算术平均值

n

设几个数和x,,L,无“，称元=*+々+L+-为这n个数的算术平均值,简记为元=上上

nn

(2)几何平均值

设〃个正数%,%2，L,乙，称”《玉—乙为这〃个数的几何平均值，简记为％=

【注意】几何平均值是对于正数而言。

(3)基本不等式

①当为,々,……，/为n个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即

X+X9+...+XM/--------------/\八.Y、

------------->-x2...xn(%>0,z=l,,n)

n

当且仅当x1=x2=...=%八时，等号成立。

特别地，当n=2时，有％之小X[X?(eR+),此时玉,马的几何平均值称为X，/的

比例中项。

②。+422(。〉0),即对于正数而言，互为倒数的两个数之和不小于2,且当。=1时取得最小值时2。

a

【例34】设!」：1=4:5:6,则使x+y+z=74成立的y值是(

)

xyz

(A)24(B)36(C)74/3(D)37/2(E)以上结论均不正确

13

【例35】已知y=%—%且％与M成反比例，%与k■成正比例。当％=。时，y=-3,又当x=l

时，y=l,那么y的无表达式是()

3r236

(A)y=—(B)y=3/———(C)y=3/+

2x+2x+2x+2

/、3x23

(£»y=-------+-------(E)y=-3x2--—

2x+2x+2

19

【例36】求3、8、9这三个数的算术平均值和几何平均值。

【例37】将一条长为a的线段截成长为x和a—%的两条线段，使x恰是。与a—%的几何平均值。我们

称对任意一个量。的这种分割为黄金分割，试求x。

【例38】三个实数1,x-2和x的几何平均值等于4,5和-3的算术平均值，则x的值为()

(A)-2(B)4(C)2(D)—2或4(E)2或4

11

【例39】的算术平均值是2,几何平均值也是2,则的几何平均值是(

(A)2(B)A/2(C)与⑷4(E)以上结论均不正确

【例40】如果石,X,三个数的算术平均值为5,则为+2,%-3,七+6与8的算术平均值为()

(A)3-(B)6-(C)7(D)9-(E)以上结论均不正确

423

【例41】直角边之和为12的直角三角形的面积的最大值为()

(A)16(B)18(C)20(D)22(E)不能确定

【例42】条件充分性判断

1、用ab表示十位是a,个位是人的一个两位数，有aZ?:8a=(a+l)：S+l)成立

(1)拓是3的倍数

(2)拓是9的倍数

2、某公司得到一笔贷款共68万元，用于下属三个工厂的设备改造。结果甲、乙、丙三个工厂按比例分别

得到36万元、24万元和8万元。

(1)甲、乙、丙三个工厂按工：工：，的比例分配贷款

239

(2)乙厂所得款额恰是甲厂所得款额与丙厂所得款额的2倍的比例中项

20

a+b+

3、=乎口成立

2

c+dy)c+d-

⑴/=三，且均为正数

ba

(2):=三,且。,d均为负数

ba

4、两数a力的几何平均值的3倍大于它的算术平均值

(1)满足a?+〃<34必

(2)a力均为正数

5、某班学生的平均身高是1.66米

(1)该班有30名男生，他们的平均身高为1.70米

(2)该班有20名女生，她们的平均身高为1.60米

6、a力的算术平均值为8

(1)a/为不等的正整数，且的算术平均值为1

ab6

(2)。力为正整数，且工」的算术平均值为L

ab6

7、已知a=log,,,力=gQ°g"，%+l°g，,丁)，。=glogm(x+y),则c〉Z?Na。

(1)x>2,y>2(2)0<m<1

8、a,b,。的算术平均值是14/3,而几何平均值是4

(1)。力,。是满足〃>/?>。>1的三个整数，b=4

(2)〃,反(?是满足〃>力>。>1的三个整数，b=2

第二章应用题

【备注】初数中最容易出错的地方就是应用题，因为应用题的解题技巧很强，稍不留神就会掉入命题者的

陷阱里。关于初等数学的应用题有许多内容，比如：百分比问题，溶液问题，工程问题等等，要总结有很

21

多，在这里只是选择了几个有代表性的应用题内容进行讲解。

常用的应用题的解法有：

▲转化法：改变思考的方式和角度，使复杂问题，转化为熟悉的、简单的基本问题，或将题中条件，加以

转化，或重新组合，以便得到明确的解题思路，另外把复杂的数量关系中不同的单位制，转化为统一单位

制下的简单数量关系；

▲穷举法：这是朴素且实用的方法，对讨论对象加以分类，使问题简单化

▲图解法：以图形表达命题，帮助我们理解题意，发现隐含条件，找到解题途径；

▲代数法：设未知量找等量关系分别方程。

除了这几种常用的解法外，还有逆推法、综合法、归纳法等等，可依据题目的类型和特点选择使用。

一'比和比例'百分比

MBA联考数学试题，每年都会出有关百分比的应用题，并且相对较难，同时，还存在着百分比的标准量

不明确，或同一题中不同百分比各自有不同标准量，使应试者难于判断，失误率高于其他应用题的实际情

况，也说明百分比问题是应用类题型的一个难点。

知识点：1.比例性质（略）

2.变化率=冬始x100%

变刖量

1、打折问题

基本公式：售价=成本+利润

甲比乙多p%W乙比甲少p%

甲=乙（1+p%）甲=乙错误!未找到引用源。

1-p%

【解题提示】要选对基准量，注意折扣的变化与利润的关系。解题之关键是要分清成本价，原销售价、“优

惠价”和利润这几个概念，有些题目还会给出利润所占的百分比，此时要注意，通常情况下毛利率这一百分比

的标准量是销售价而不是成本价，这是在工商管理学的教材上明确定义的，但具体题目还是会有指明以成本

价计算利润率的情况，只能具体问题具体分析了，此题是已知最终售价即“优惠价”，由此逆推，依所给条件去求

原价,即可知盈亏。

【例1】某商品单价上调20%后，再降为原价的90%,则降价率为（）

A、30%B、2