2024-2025学年新教材高中数学第十一章立体几何初步11.3.3平面与平面平行学案新人教B版必修第四册

PAGE11.3.3平面与平面平行1.平面与平面的位置关系2.平面与平面平行的判定定理3.平面与平面平行的性质定理1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个平面α∥β,一条直线a平行于平面α,则a肯定平行于平面β.()(2)三角板的两条边所在直线分别与平面α平行,这个三角板所在平面与平面α平行.()(3)平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行,则α∥β.()(4)若平面α∥β,点P∈α,a∥β且P∈a,那么a⊂α.()提示:(1)×.直线a可能与β平行,也可能在β内.(2)√.三角板的两条边所在直线是相交的,依据平面与平面平行的判定定理可知此说法正确.(3)×.若平行四边形的两边是对边,则相互平行不相交,无法推出α∥β.(4)√.因为平面α∥β,a∥β,所以a∥α或a⊂α,又因为点P∈α,P∈a,所以a⊂α.2.已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ与平面β相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定【解析】选A.由面面平行的性质定理可知选项A正确.3.(教材二次开发:例题改编)底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,与平面BB1A.平面AA1D1DB.平面AA1B1BC.平面DD1D.平面ABCD【解析】选A.依据图形及平面平行的判定定理知,平面BB1C1C∥平面AA14.下列命题:①两个平面有多数个公共点,则这两个平面重合;②若l,m是异面直线,l∥α,m∥β,则α∥β.其中错误命题的序号为_______.

【解析】对于①,两个平面相交,则有一条交线,也有多数多个公共点,故①错误;对于②,借助于正方体ABCD-A1B1C1D1,AB∥平面DCC1D1,B1C1∥平面AA1D1D,又AB与B1C1异面,而平面DCC1D1与平面AA1答案:①②关键实力·合作学习类型一平面与平面平行的判定(逻辑推理、直观想象)【典例】已知正方形ABCD与菱形ABEF所在平面相交,求证:平面BCE∥平面ADF.【思路导引】由四边形ABCD是正方形,证得BC∥平面ADF,由四边形ABEF为菱形,证得BE∥平面ADF,即可利用面面平行的判定定理,证得平面BCE∥平面ADF.【解析】因为四边形ABCD是正方形,所以BC∥AD.因为BC⊄平面ADF,AD⊂平面ADF,所以BC∥平面ADF.因为四边形ABEF是菱形,所以BE∥AF.因为BE⊄平面ADF,AF⊂平面ADF,所以BE∥平面ADF.因为BC∥平面ADF,BE∥平面ADF,BC∩BE=B,BC,BE⊂平面BCE,所以平面BCE∥平面ADF.常见面面平行的判定方法(1)定义法:两个平面没有公共点.(2)判定定理法:转化为线面平行.(3)平行平面的传递性:两个平面都和第三个平面平行,则这两个平面平行.(4)利用平面与平面平行的判定定理的推论:若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.【证明】因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,所以MQ∥AD,NQ∥BP.又因为BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,所以NQ∥平面PBC.因为四边形ABCD为平行四边形.所以BC∥AD,所以MQ∥BC.又因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ=Q,MQ,NQ⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PBC.类型二面面平行性质定理的应用(逻辑推理、直观想象)角度1与性质有关的证明问题

【典例】如图,在四面体ABCD中,点E,F分别为棱AB,AC上的点,点G为棱AD的中点,且平面EFG∥平面BCD.求证:BC=2EF.【思路导引】由平面EFG∥平面BCD,可得出线线平行,再利用点G为棱AD的中点,即可得出结论.【证明】因为平面EFG∥平面BCD,平面ABD∩平面EFG=EG,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EG∥BD,又G为AD的中点,故E为AB的中点,同理可得,F为AC的中点,所以BC=2EF.角度2与性质有关的计算问题

【典例】如图,已知平面α∥平面β,P∉α,且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD=_______.

【思路导引】面面平行⇒线线平行⇒分线段比例相等.【解析】因为AC∩BD=P,所以经过直线AC与BD可确定平面PCD,因为α∥β,α∩平面PCD=AB,β∩平面PCD=CD,所以AB∥CD.所以QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE.所以BD=QUOTE.答案:QUOTE应用平面与平面平行性质定理的基本步骤提示:面面平行性质定理的实质:面面平行⇒线线平行,体现了转化思想.与判定定理交替运用,可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.【拓展延长】1.常用的面面平行的其他几特性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的随意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.(5)假如两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面相互平行.2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是:“见了已知想性质,见了求证想判定”,也就是说“发觉已知,转化结论,沟通已知与未知的关系”.这是分析和解决问题的一般思维方法,而作协助线和协助面往往是沟通已知和未知的有效手段.【拓展训练】已知平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB,CD交于点S,且SA=8,SB=9,CD=34.(1)若点S在平面α,β之间,则SC=_______.

(2)若点S不在平面α,β之间,则SC=_______.

【解析】(1)如图①所示,因为AB∩CD=S,所以AB,CD确定一个平面,设为γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.因为α∥β,所以AC∥BD.于是QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE.所以SC=QUOTE=QUOTE=16.(2)如图②所示,同理知AC∥BD,则QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得SC=272.答案:(1)16(2)272【变式训练】将本题中的条件“SA=8,SB=9,CD=34.”改为“SA=18,SB=9,CD=34”,求SC.【解析】如图(1),由α∥β可知BD∥AC,所以QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以SC=68.如图(2),由α∥β知AC∥BD,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE.所以SC=QUOTE.综上,SC的大小为68或QUOTE.1.平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是()A.平行 B.相交C.异面 D.平行或异面【解析】选A.因为圆台的上、下底面相互平行,所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.2.已知平面α∥平面β,直线a⊂α,则直线a与平面β的位置关系为_______.

【解析】因为α∥β,所以α与β无公共点,因为a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β.答案:a∥β3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1(1)求证:AC1∥平面BDE.(2)推断并证明,点F在棱DD1上什么位置时,平面AC1F【解析】(1)设AC∩BD=O,连接OE.因为O,E分别为AC,CC1的中点,所以OE∥AC1,又AC1⊄平面BDE,OE⊂平面BDE,所以AC1∥平面BDE.(2)F为棱DD1的中点时,平面AC1F∥证明如下:因为点F为DD1的中点,E为CC1的中点,所以DFC1E,四边形DFC1E为平行四边形,所以FC1∥DE,FC1⊄平面BDE,DE⊂平面BDE,所以FC1∥平面BDE.又AC1∥平面BDE,且FC1∩AC1=C1.所以平面AC1F∥类型三平行关系的综合应用(逻辑推理、直观想象)【典例】已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?若存在,证明你的结论,并说出点F的位置.若不存在,请说明理由.【思路导引】解答本题应抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC,再确定F的位置.【解析】存在点F,当F为PC中点时,BF∥平面AEC,证明如下:如图,连接BD交AC于O点,连接OE,过B点作OE的平行线交PD于点G,过点G作GF∥CE,交PC于点F,连接BF.因为BG∥OE,BG⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,所以BG∥平面AEC.同理,GF∥平面AEC,又BG∩GF=G.所以平面BGF∥平面AEC.所以BF∥平面AEC.因为BG∥OE,O是BD中点,所以E是GD中点.又因为PE∶ED=2∶1,所以G是PE中点.而GF∥CE,所以F为PC中点.综上,当点F是PC中点时,BF∥平面AEC.空间中线、面平行关系的转化线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质,经常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达.本例若改为“已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD,在棱PD上是否存在一点E,使PB∥平面ACE?若存在,请找出E点位置;若不存在,请说明理由”,该如何解决?【解析】如图,连接AC,BD交于点O,取PD中点为E,连接OE,AE,CE,则在△PBD中,OE∥PB,又OE⊂平面ACE,PB⊄平面ACE,所以PB∥平面ACE.此时E为PD中点,故当E为PD中点时,能使PB∥平面ACE.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,点E,F分别是棱CC1,BB1【解析】如图,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ,则PQ∥AE.因为EC=2FB=2,所以PE=BF.所以四边形BFEP为平行四边形,所以PB∥EF.又AE,EF⊂平面AEF,PQ,PB⊄平面AEF,所以PQ∥平面AEF,PB∥平面AEF.又PQ∩PB=P,PQ,PB⊂平面PBQ,所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ,所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M,即点M为AC的中点时,BM∥平面AEF.【补偿训练】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B(1)求证:平面A1C(2)若平面A1C【证明】(1)因为E,F分别为B1C1,A1B1所以EF∥A1C1,因为A1C1⊂平面A1C1G,EF⊄平面A1C1G,所以EF所以A1F=BG,又A1F∥BG,所以四边形A1GBF为平行四边形,则BF∥A1G,因为A1G⊂平面A1C所以BF∥平面A1C1G所以平面A1C1(2)因为平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,平面A1C1G与平面ABC有公共点G,则这两个平面的交线经过G,又因为平面A1C1课堂检测·素养达标1.平面α与平面β平行的条件可以是()A.α内有多数多条直线与β平行B.直线a∥α,a∥βC.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥αD.α内的任何直线都与β平行【解析】选D.由面面平行的定义知,选D.2.在三棱台ABC-A1B1C1中,直线AB与平面A1B1CA.相交 B.平行C.在平面内 D.不确定【解析】选B.因为AB∥A1B1,AB⊄平面A1B1C1,A1B1⊂平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B13.(教材二次开发:练习改编)已知点S是正三角形ABC所在平面外一点,点D,E,F分别是SA,SB,SC的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是_______.

【解析】由D,E,F分别是SA,SB,SC的中点,知EF是△SBC的中位线,所以EF∥BC.又因为BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC,又因为EF∩DE=E,EF,DF⊂平面DEF,所以平面DEF∥平面ABC.答案:平行4.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形态为_______.

【解析】因为平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四边形EFGH的形态是平行四边形.答案:平行四边形课时素养评价十七平面与平面平行(20分钟35分)1.a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是 ()A.平行 B.异面C.相交 D.平行或异面或相交【解析】选D.如图(1),(2),(3)所示,a与b的关系分别是平行、异面或相交.2.下列说法中,错误的是 ()A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.若两个平面平行,则位于这两个平面内的直线也相互平行D.若两个平面平行,则其中一个平面内的直线与另一个平面平行【解析】选C.分别在两个平行平面内的直线,可能平行,也可能异面.3.α,β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是 ()A.α,β都平行于直线l,mB.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥βD.l,m是两条异面直线且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β【解析】选D.A,B,C中都有可能使两个平面相交;D中l∥α,m∥α,可在α内取一点,过该点作l,m的平行线l′,m′,则l′,m′在平面α内且相交,又易知l′∥β,m′∥β,所以α∥β.4.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系为.

【解析】三条平行线段共面时,两平面可能平行也可能相交,当三条平行线段不共面时,两平面肯定平行.答案:平行或相交5.如图所示,平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形,则四边形ABCD的形态肯定是【解析】由平行投影的定义,AA1∥BB1,而ABCD所在平面与平面α平行,则AB∥A1B1,则四边形ABB1A1为平行四边形,所以ABA1B1同理四边形CC1D1D为平行四边形,CDC1D1.因为A1B1C1D1,所以ABCD,从而四边形ABCD为平行四边形.答案:平行四边形6.如图,四棱锥P-ABCD中,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,M,N分别为边BC,AD,AP的中点.求证:PE∥平面BNM.【证明】连接DE,因为M,N分别为边AD,AP的中点,所以MN∥PD,因为MN⊄平面PDE,PD⊂平面PDE,所以MN∥平面PDE,因为E,M分别是BC,AD的中点,四边形ABCD是平行四边形,所以四边形BEDM是平行四边形,所以MB∥DE,MB⊄平面PDE,DE⊂平面PDE,所以MB∥面PDE,因为MN∩MB=M,所以平面MNB∥平面PDE,因为PE⊂平面PDE,所以PE∥平面BNM.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当点A,B分别在平面α,β内运动时,动点C ()A.不共面B.当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.无论点A,B如何移动都共面【解析】选D.无论点A,B如何移动,其中点C到α,β的距离始终相等,故点C在到α,β距离相等且与两平面都平行的平面上.2.已知m,n是两条直线,α,β是两个平面.有以下说法:①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;②若m∥α,m∥β,则α∥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.其中正确的个数是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.把符号语言转换为文字语言或图形语言.可知①是面面平行的判定定理;②③中平面α,β还有可能相交.【补偿训练】设a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列命题中不正确的是 ()A.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥bB.a∥b,b∥α,a⊄α⇒a∥αC.α∥β,β∥γ⇒α∥γD.α∥β,a∥α⇒a∥β【解析】选D.当α∥β且a∥α时,可能有a⊂β,也可能有a∥β,因此选项D中的命题不正确.3.在正方体EFGH-E1F1G1A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1C.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1【解析】选A.如图,因为EG∥E1G1EG⊄平面E1FG1,E1G1⊂平面E1FG1所以EG∥平面E1FG1,又G1F∥H1同理可证H1E∥平面E1FG1,又H1E∩EG=E,H1E⊂平面EGH1,EG⊂平面EGH1,所以平面E1FG1∥平面EGH1.4.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1B1的中点,点P是侧面CDD1C1上的动点,且MP∥平面ABA.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.取CD的中点N,CC1的中点R,B1C1的中点H,则MN∥B1C∥HR,MH∥AC,所以平面MNRH∥平面AB1C,所以MP⊂平面MNRH,线段MP扫过的图形是△MNR,因为AB=2,所以MN=2QUOTE,NR=QUOTE,MR=QUOTE,所以MN2=NR2+MR2,所以∠MRN是直角,所以线段MP长度的取值范围是QUOTE.【补偿训练】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中点,F在CC1上,且CF=2FC1,点P是侧面AA1D1D(包括边界)上一动点,且PB1∥平面DEF,则tan∠ABP的取值范围是【解析】作出平面MNQB1∥平面DEF,则A1Q=2AQ,DN=2D1N,因为PB1∥平面DEF,所以点P的轨迹是线段QN,因此,当点P运动到点Q处时,tan∠ABP取得最小值,此时tan∠ABP=QUOTE=QUOTE;当点P运动到点N处时,tan∠ABP取得最大值,此时tan∠ABP=QUOTE=QUOTE=QUOTE;所以tan∠ABP的取值范围是QUOTE.答案:QUOTE二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分别于点E,F,G,H.若A1AA.矩形 B.菱形C.正方形 D.梯形【解析】选AD.因为四边形EFGH的相邻两边不行能相等,所以不能选B,C;当FG∥B1B时,四边形EFGH为矩形;当FG不与B1B平行时,四边形EFGH为梯形.6.已知a,b表示两条不重合的直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列命题,其中正确的是 ()A.若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥βB.若a,b相交且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥βC.若a∥α,a∥β,则α∥βD.若a⊂α,a∥β,α∩β=b,则a∥b【解析】选BD.对于A,若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β或者α与β相交,故A错误;对于B,若a,b相交且都在α,β外,依据线面关系的基本领实可得a,b可以确定一个平面记为γ,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,可得γ∥α,γ∥β,由面面平行的传递性可知α∥β,故B正确;对于C,a∥α,a∥β,则α∥β也可能α与β相交,故C错误;对于D,由a⊂α,a∥β,α∩β=b,结合线面平行的性质定理:假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,则a∥b,故D正确.【补偿训练】α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不重合的直线,则下列命题中正确的是 ()A.QUOTE⇒a∥bB.QUOTE⇒a∥bC.QUOTE⇒α∥β D.QUOTE⇒α∥β【解析】选AD.对于A,两条直线平行于第三条直线,这两条直线平行,故A正确.对于B,两条直线都与同一个平面平行,则这两条直线可能相交,也可能是异面直线,不肯定平行,故B不正确.对于C,两个平面都与同一条直线平行,则这两个平面可能平行,也可能相交,故C不正确.对于D,由面面平行的传递性可知平行于同一平面的两个平面平行,故D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M,交BC于N,则MN=AC,MN平面AB1【解析】因为平面MNE∥平面ACB1,平面ABCD∩平面MNE=MN,平面ABCD∩平面ACB1=AC,所以MN∥AC.同理可证EM∥AB1,EN∥B1C因为E是B1B的中点,所以M,N分别是AB,BC的中点,所以MN=QUOTEAC.又因为MN∥AC,MN⊄平面AB1C,AC⊂平面AB1C,所以MN∥平面AB答案:QUOTE∥8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1上的点.当平面AB1C∥平面A1EC1时,点E的位置是【解析】如图,连接B1D1,BD,设B1D1∩A1C1=M,BD∩AC=O,连接ME,B1因为平面AB1C∥平面A1EC1,平面AB1C∩平面BDD1B1=B平面A1EC1∩平面BDD1B1=ME,所以B1O∥ME.又四边形B1MDO为平行四边形,则B1O∥MD.所以得到点E与点D重合.答案:点D处四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD.E,F,G分别为线段PC,PD,BC的中点,现将△PDC折起,使点P∉平面ABCD.求证:平面PAB∥平面EFG.【证明】因为PE=EC,PF=FD,所以EF∥CD,又因为CD∥AB,所以EF∥AB,又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB,同理可证EG∥平面PAB.又因为EF∩EG=E,所以平面PAB∥平面EFG.10.如图所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C(1)当QUOTE等于何值时,BC1∥平面AB1D1.(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求QUOTE的值.【解析】连接A1B交AB1于点O,连接OD1.(1)如图所示,取D1为线段A1C1的中点,此时QUOTE=1.由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,所以OD1∥BC1又因为OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,所以BC1∥平面AB1D1.所以当QUOTE=1时,BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O得BC1∥D1O,所以QUOTE=QUOTE,又由题(1)可知QUOTE=QUOTE,QUOTE=1,所以QUOTE=1,即QUOTE=1.1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=6,AB=3,AD=8,点M是棱AD的中点,点N在棱AA1上,且满意AN=2NA1,P是侧面四边形ADD1A1内一动点(含边界),若C1P∥平面CMN,则线段CA.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE