2024-2025版高中数学第一章解三角形1.2.2解三角形的实际应用举例-高度角度问题学案新人教A版必修5

PAGE第2课时解三角形的实际应用举例——高度、角度问题学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关底部不行到达的物体高度测量的问题(逻辑推理、数学运算)2.能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关计算角度的实际问题(数学建模)3.分清仰角、俯角、方向角、方位角和视角等概念(数学抽象)必备学问·自主学习导思方位角、方向角和视角的含义是什么?1.仰角和俯角(1)前提:在视线所在的垂直平面内.(2)仰角:视线在水平线以上时,视线与水平线所成的角.(3)俯角:视线在水平线以下时,视线与水平线所成的角.为了测量某建筑物的高度通常须要构造的三角形其所在平面与地面什么关系?提示:构造的三角形其所在平面与地面垂直.2.视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角,如图所示,视角50°指的是视察该物体的两端视线张开的角度.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)俯角和仰角都是对于水平线而言的.()(2)仰角与俯角所在的平面是铅垂面.()(3)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.()提示:(1)√.由俯角和仰角的定义可知此说法正确.(2)√.由仰角与俯角的定义可知,此说法正确.(3)×.画出示意图如图,由图可知α=β.2.(教材二次开发:练习改编)如图所示,为测量一树的高度,在地上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度为()A.QUOTEm B.QUOTEmC.QUOTEm D.QUOTEm【解析】选A.设树高为xm,则BP=QUOTExm,在△ABP中,AB=60,BP=QUOTEx,A=30°,∠APB=15°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得x=30+30QUOTE.3.(教材二次开发:练习改编)如图所示为一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得AC=3mm,BC=2QUOTEmm,AB=QUOTEmm,则∠ACB=.

【解析】在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB=QUOTE=-QUOTE.因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=QUOTE.答案:QUOTE关键实力·合作学习类型一在同一铅垂面内的高度问题(数学建模)【典例】1.如图在离地面高400m的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°.已知∠BAC=60°,则山的高度BC为()A.700mB.640mC.600mD.560m2.济南泉城广场上的泉标仿照的是隶书“泉”字,其造型流畅新颖,是济南的标记和象征.李明同学想测量泉标的高度,于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°,他又沿着泉标底部方向前进15.2m,到达B点,又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗?(精确到1m,参考数据sin20°≈0.34,sin80°≈0.98)【思路导引】1.在△MAC中,三个角和AM可求,依据正弦定理可求AC,进而可求山的高度BC;2.设C,D分别为泉标的底部和顶端,先在△ABD中,依据正弦定理求BD,然后在Rt△BCD中求CD.【解析】1.选C.如图,过点M作MD⊥AB,垂足为D.在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400m,AM=QUOTE=400QUOTE(m).在△MAC中,∠AMC=45°+15°=60°,∠MAC=180°-45°-60°=75°,所以∠MCA=180°-∠AMC-∠MAC=45°.由正弦定理,得AC=QUOTE=QUOTE=400QUOTE(m).在Rt△ABC中,BC=ACsin∠BAC=400QUOTE×QUOTE=600(m).2.如图所示,点C,D分别为泉标的底部和顶端.依题意,∠BAD=60°,∠CBD=80°,AB=15.2m,则∠ADB=80°-60°=20°,在△ABD中依据正弦定理,得BD=QUOTE≈QUOTE≈38.72,在Rt△BCD中,CD=BDsin80°≈38.72×0.98≈38(m),即泉城广场上的泉标的高约为38m.测量仰角(或俯角)求高度问题(1)基本思路:构造含建筑物高度的三角形,用正、余弦定理解答.(2)构造三角形的方法.①如图1所示,取经过建筑物AB底部B的基线上两点H,G,用同样高度的两个测角仪DH和CG测量得仰角β,α,测量两个测角仪的距离,构成△ACD.②如图2所示,在建筑物CD顶部的直立物体BC,分别在B,C两处测量俯角α,β,构成△ABC.1.如图是一个斜拉桥示意图的一部分,AC与BD表示两条相邻的钢缆,A,B与C,D分别表示钢缆在桥梁与主塔上的铆点,两条钢缆的仰角分别为α,β,为了便于计算,在点B处测得C的仰角为γ,若AB=m,则CD=()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.在△ABC中由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE,在△BCD中,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,所以CD=QUOTE=QUOTE.2.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进1000m后到达D处,又测得山顶的仰角为65°,求此山的高度.(精确到1m,参考数据:sin35°≈0.5736,QUOTE≈1.414)【解析】如图,过点D作DE∥AC交BC于E,因为∠DAC=20°,所以∠ADE=160°,于是∠ADB=360°-160°-65°=135°.又∠BAD=35°-20°=15°,所以∠ABD=30°.在△ABD中,由正弦定理,得AB=QUOTE=QUOTE=1000QUOTE(m).在Rt△ABC中,BC=ABsin35°≈811(m).答:此山的高度约为811m.【补偿训练】在社会实践中,小明视察一棵桃树.他在点A处发觉桃树顶端点C的仰角大小为45°,往正前方走4米后,在点B处发觉桃树顶端点C的仰角大小为75°.(1)求BC的长.(2)若小明身高为1.70米,求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米,其中QUOTE≈1.732).【解析】(1)在△ABC中,∠CAB=45°,∠DBC=75°,则∠ACB=75°-45°=30°,AB=4,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,解得BC=4QUOTE(米).(2)在△CBD中,∠CDB=90°,BC=4QUOTE,所以DC=4QUOTEsin75°,因为sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=QUOTE,则DC=2+2QUOTE,所以CE=3.70+2QUOTE≈3.70+3.464≈7.16(米).答:(1)BC的长为4QUOTE米类型二不在同一铅垂面内的高度问题(数学建模)【典例】空中有一气球D,在它正西方向的地面上有一点A,在此处测得气球的仰角为45°,同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B,测得气球的仰角为30°,两视察点A,B相距266m,计算气球的高度.(结果保留根号)四步内容理解题意条件:①在气球D的正西方向的地面上A处测得气球的仰角为45°②在气球D的南偏东60°方向的地面上B处,测得气球的仰角为30°③A,B相距266m结论:计算气球的高度.思路探求令气球D在地面上的投影为点C,解Rt△ACD和Rt△BCD⇒AC与气球的高度的关系,CB与气球的高度的关系⇒在△ABC中用余弦定理构造方程求气球的高度.书写表达如图,令气球D在地面上的投影为点C,设CD=x,在Rt△ACD中,∠DAC=45°,在Rt△BCD中,∠CBD=30°,在△ABC中,∠ACB=90°+60°=150°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,所以所以x=38QUOTEm留意书写的规范性:①解Rt△ACD,建立AC与所求量的关系②解Rt△BCD,建立CB与所求量的关系③在△ABC中构建方程计算所求量是解题关键.题后反思此类问题中,既有方向角,又有仰角,要留意作出的示意图应是立体图解不在同一铅垂面内的高度问题的思路和方法(1)基本思路.方向角属于水平面的角度,而仰角属于铅垂面内的角,所以此类问题的图形通常是立体图形.解题的基本思路是把目标高度转化为三角形的边长,从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.(2)基本方法.首先在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥,再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或几个三角形,从而求出高度.1.A,B是海平面上的两个点,相距800m,在点A测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在点B测得∠ABD=45°,其中点D是点C在海平面上的射影,则山高CD为.

【解析】如图,由于CD⊥AD,∠CAD=45°,所以CD=AD.因此,只需在△ABD中求出AD即可.在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,由QUOTE=QUOTE,得AD=QUOTE=QUOTE=800(QUOTE+1)m.所以CD=AD=800(QUOTE+1)m.答案:800(QUOTE+1)m2.如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,须要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1km,CD=3km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠AEC=150°,则两山顶A,C之间的距离为()A.2QUOTEkm B.3QUOTEkmC.4QUOTEkm D.3QUOTEkm【解析】选A.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠AEC=150°,所以AE=2AB=2,CE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE,在△ACE中,由余弦定理得AC2=AE2+CE2-2×AE×CE×cos∠AEC=4+12-2×2×2QUOTE×QUOTE=28,所以AC=2QUOTE,即两山顶A,C之间的距离为2QUOTEkm.【补偿训练】如图,某人在塔的正东方向上的C处,在与塔垂直的水平面内,沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后,在点D处望见塔的底端B在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟;(2)求塔的高AB.【解析】(1)依题意知,在△DBC中,∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=135°,CD=6000×QUOTE=100(m),∠D=180°-135°-30°=15°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=50(QUOTE-1)(m).在Rt△ABE中,tanα=QUOTE,因为AB为定长,所以当BE的长最小时,α取最大值60°,这时BE⊥CD.当BE⊥CD时,在Rt△BEC中,EC=BC·cos∠BCE=50(QUOTE-1)·QUOTE=25(3-QUOTE)(m),设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了t分钟,则t=QUOTE×60=QUOTE×60=QUOTE(分钟).(2)由(1)知,当α取得最大值60°时,BE⊥CD,在Rt△BEC中,BE=BC·sin∠BCD,所以AB=BE·tan60°=BC·sin∠BCD·tan60°=50(QUOTE-1)·QUOTE·QUOTE=25(3-QUOTE)(m),即所求塔高为25(3-QUOTE)m.类型三测量角度问题(数学建模)角度1角度问题

【典例】如图所示,在坡度肯定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的倾斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C对于山坡的倾斜度为45°,若CD=50m,山坡对于地平面的坡度为θ,则cosθ等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE-1 D.QUOTE-1【思路导引】由题意可知△ADC可解,角θ与∠BDC有亲密关系.【解析】选C.在△ABC中,由正弦定理,QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以AC=100QUOTE.在△ADC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以cosθ=sin(θ+90°)=QUOTE=QUOTE-1.角度2航行方向问题

【典例】如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距30QUOTE海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心马上把消息告知在其南偏西45°、相距20海里【思路导引】先利用余弦定理求出BC,再利用正弦定理求出sin∠ACB,得到cos∠ACB,利用两角和与差的余弦即可求出cosθ.【解析】如图所示,在△ABC中,AB=30QUOTE,AC=20,∠BAC=135°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos135°=3400,所以BC=10QUOTE,由正弦定理得sin∠ACB=QUOTE·sin∠BAC=QUOTE.由∠BAC=135°知∠ACB为锐角,故cos∠ACB=QUOTE.故cosθ=cos(∠ACB+45°)=cos∠ACBcos45°-sin∠ACBsin45°=QUOTE(QUOTE-QUOTE)=QUOTE.答案:QUOTE将本例条件“30QUOTE”改为“40”,“45°”改为“30°”,其他条件不变,试求cosθ.【解析】如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=20QUOTE.由正弦定理得sin∠ACB=QUOTE·sin∠BAC=QUOTE.由∠BAC=120°知∠ACB为锐角,cos∠ACB=QUOTE.cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=QUOTE.1.有关仰角和俯角的问题(1)建筑物顶部无法到达或高度过高而无法测量时,通常采纳解三角形的方法解决,在构造三角形时,一般利用与地面垂直的直角三角形,此时应留意仰角的应用.(2)但在某些状况下,仍需依据正、余弦定理来解三角形.2.测量角度问题画示意图的基本步骤1.长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离C处1.4m的地面上,另一端B在离C处的2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tanα=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由题意得在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且∠α+∠ACB=π.由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cosα=QUOTE,所以sinα=QUOTE,所以tanα=QUOTE=QUOTE.2.已知岛A南偏西38°方向,距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?(参考数据:sin38°≈QUOTE,sin22°≈QUOTE)【解析】如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC=0.5x,AC=5,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,所以BC2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以∠ABC=38°,又因为∠BAD=38°,所以BC∥AD,故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.【补偿训练】游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时动身匀速步行,甲的速度是乙的速度的QUOTE倍,甲走线路2,乙走线路1,最终他们同时到达C处.经测量,AB=1040m,BC=500m,则sin∠BAC等于.

【解析】依题意,设乙的速度为xm/s,则甲的速度为QUOTExm/s,因为AB=1040m,BC=500m,所以QUOTE=QUOTE,解得:AC=1260m,在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sin∠BAC=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE3.如图,在海岸A处,发觉南偏东45°方向距A为(2QUOTE-2)海里的B处有一艘走私船,在A处正北方向,距A为2QUOTE海里的C处的缉私船马上奉命以10QUOTE海里/时的速度追截走私船.(1)刚发觉走私船时,求两船的距离;(2)若走私船正以10QUOTE海里/时的速度从B处向南偏东75°方向逃跑,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所须要的时间.(精确到分钟,参考数据:QUOTE≈1.4,QUOTE≈2.5)【解析】(1)在△ABC中,因为AB=(2QUOTE-2)海里,AC=2QUOTE海里,∠BAC=135°,由余弦定理,得BC=QUOTE=4(海里).(2)依据正弦定理,可得sin∠ABC=QUOTE=QUOTE.所以∠ABC=30°,易知∠ACB=15°,设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,如图所示.则有CD=10QUOTEt(海里),BD=10QUOTEt(海里).而∠CBD=120°,在△BCD中,依据正弦定理,可得sin∠BCD=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以∠BCD=45°,∠BDC=15°,所以∠ACD=60°.在△CBD中,依据正弦定理,得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得t=QUOTE小时≈0.78小时≈47分钟.故缉私船沿南偏东60°方向,需47分钟才能追上走私船.课堂检测·素养达标1.如图,要测出山上一座天文台BC的高,从山腰A处测得AC=60m,天文台最高处B的仰角为45°,天文台底部C的仰角为15°,则天文台BC的高为()A.20QUOTEm B.30QUOTEmC.20QUOTEm D.30QUOTEm【解析】选B.由题图,可得∠B=45°,∠BAC=30°,故BC=QUOTE=QUOTE=30QUOTEm.2.一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B,又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C,若此轮船从A点干脆沿直线行驶至海岛C,则此船沿方向行驶海里至海岛C.

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