人教版九年级上册数学期中考试试题附答案

人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．下列方程是一元二次方程的是()A．B．C．D．2．方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知一元二次方程3(x+5)(x-1)=0的两根为，，则的值是（）A．4 B．－4 C．5 D．－54．已知，a是关于m的方程的一个根，则的值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．若二次函数y=ax2+bx+a2-3（a、b为常数）的图象如图所示，则a的值为（）A．1 B． C．- D．-36．若将抛物线y=x2+2先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得到的抛物线的解析式是（）A． B．C． D．7．下列关于抛物线有关性质的说法，正确的是（）A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为C．其最大值为 D．当时，随的增大而减小8．由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折“(两次打折数相同)优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有()A．490×2x＝1000 B．1000×x2＝490C．1000×()2＝490 D．1000×()2＝4909．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（）A．B．C．D．10．已知点，若抛物线与线段有且只有一个公共点，则整数的个数是（）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题11．只请写出一个开口向下，并且与轴有一个公共点的抛物线的解析式__________．12．抛物线与轴的交点坐标为和，则这条抛物线的对称轴是______.13．若关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则______．14．已知二次函数y=ax2+bx（a≠0）的最小值是﹣3，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，则c的最大值是_____．15．对于两个实数，规定表示、中的较大值、当时，，当时，，例如：.则函数的最小值是______.三、解答题16．解方程：（1）（2）（3）17．已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）请你给赋一个值，并求此时方程的根．18．已知抛物线经过点和点，求抛物线的解析式.19．如图，在四边形中，对角线、互相垂直，设的长度为，四边形的面积随的变化而变化.（1）求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；（2）当为何值时，这个四边形的面积有最大值，最大面积是多少？20．二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点.（1）求的值和点的坐标；（2）求的面积.21．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：DC=DP；（2）若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．22．已知某种商品的进价为每件30元该商品在第x天的售价是y1（单位：元/件），销量是y2（单位：件），且满足关系式，y2＝200﹣2x，设每天销售该商品的利润为w元．（1）写出w与x的函数关系式；（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？（3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？23．如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．(1)求证：；(2)若，求的长．24．如图所示，已知抛物线与一次函数的图象相交于，两点，点是抛物线上不与，重合的一个动点.（1）请求出，，的值；（2）当点在直线上方时，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，的长度为，求出关于的解析式；（3）在（2）的基础上，设面积为，求出关于的解析式，并求出当取何值时，取最大值，最大值是多少？参考答案1．B【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此即可判断．【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意；B、只有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程，选项符合题意；C、不是整式方程，则不是一元二次方程，选项不符合题意；D、整理后得，最高次数为1，不是二次方程，选项不符合题意；故选B．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．B【分析】根据一元二次方程的定义，列出不等式，求出a的取值范围即可【详解】∵方程是关于的一元二次方程，∴a-2≠0，解得：a≠2，故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．注意二次项系数不为0的条件.3．B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案.【详解】∵3(x+5)(x-1)=0，∴x2+4x-5=0，∵一元二次方程3(x+5)(x-1)=0的两根为，，∴+=-4，故选B【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=，x1·x2=，熟练掌握韦达定理是解题关键.4．A【分析】根据方程的解的定义可得a2-2a=3，把2a2-4a-2变形为2(a2-2a)-2，再把a2-2a=3整体代入即可得答案.【详解】∵a是关于m的方程的一个根，∴a2-2a-3=0，∴a2-2a=3，∴2a2-4a-2=2(a2-2a)-2=2×3-2=4，故选A.【点睛】本题考查一元二次方程的解的应用，正确变形，灵活运用整体代入的思想是解题关键.5．C【解析】【分析】根据图象可以知道二次函数y=ax2+bx+a2-3经过点（0，0），因而把这个点代入记得到一个关于a的方程，就可以求出a的值．【详解】解：把原点（0，0）代入抛物线解析式，得a2-3=0，解得a=±，∵函数开口向下，a＜0，∴a=-．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．6．D【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律解答即可.【详解】将抛物线y=x2+2先向右平移2个单位长度所得解析式为y=(x-2)2+2，将抛物线y=(x-2)2+2向下平移3个单位长度所得解析式为y=(x-2)2+2-3=(x-2)2-1，故选D.【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移规律是解题关键.7．D【分析】根据抛物线的表达式中系数a的正负判断开口方向和函数的最值问题，根据开口方向和对称轴判断函数增减性.【详解】解：∵a=2>0，∴抛物线开口向上，故A选项错误；抛物线的对称轴为直线x=3，故B选项错误；抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值，没有最大值，故C选项错误；因为抛物线开口向上，所以在对称轴左侧，即x<3时，y随x的增大而减小,故D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查二次函数图象和性质，掌握图象特征与系数之间的关系即数形结合思想是解答此题的关键.8．C【分析】设该店冬装原本打x折，根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设该店冬装原本打x折，依题意，得：1000×()2＝490．故选C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．A【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】解：A、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标﹣b大于零，故A正确；B、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标﹣b大于零，故B错误；C、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝-ax2-b的图象应该开口向上，故C错误；D、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时抛物线y＝﹣ax2﹣b的顶点的纵坐标大于零，故D错误；故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．10．B【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，由y＝x2−2x−3＋n与线段BC有且只有一个公共点，可以得到顶点的纵坐标为3或当x＝−2时y≥3，当x＝2时y＜3，列不等式组求解可得．【详解】①当抛物线的顶点在直线y＝3上时，△＝（−2）2−4（n−6）＝0，解得：n＝7；②当抛物线的顶点在BC下方时，根据题意知当x＝−2时y≥3，当x＝2时y＜3，即，解得：−2≤n＜6，整数n有−2，−1，0，1，2，3，4，5，7共9个，故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．【分析】要根据开口向下且与x轴有惟一的公共点，写出一个抛物线解析式即可．【详解】解：∵与x轴只有一个公共点，并且开口方向向下，

∴a＜0，△=0，即b2-4ac=0，满足这些特点即可．如．

故答案为：（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，要了解性质与函数中a，b，c的关系．12．1【分析】根据抛物线的性质可知，其对称轴必过抛物线与x轴的交点连线的中点，由此易得到对称轴方程．【详解】∵抛物线与轴的交点坐标为和，∴抛物线的对称轴为x==1，故答案为：1【点睛】此题考查了抛物线对称轴和交点坐标的关系：若抛物线与x轴交点坐标为（x1，0），（x2，0），则抛物线的对称轴为x=.13．2【解析】【分析】根据b，c是常数且，a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，利用二次项系数、一次项系数、常数项的和是0列关于k的方程即可得答案．【详解】∵关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，∴，解得：．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：b，c是常数且，特别要注意的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．3【解析】【分析】由一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，可得y=ax2+bx（a≠0）和y=-c有交点，由此即可解答.【详解】∵一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，∴抛物线y=ax2+bx（a≠0）和直线y=-c有交点，∴-c≥-3，即c≤3，∴c的最大值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数，根据一元二次方程有实数根得到抛物线y=ax2+bx（a≠0）和直线y=-c有交点是解决问题的关键.15．1【分析】先比较x2+2x+2与-x2-1的大小，再求出的最小值即可得答案.【详解】∵x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，-x2-1≤-1，∴x2+2x+2>-x2-1，∴=x2+2x+2=(x+1)2+1∴的最小值是1，故答案为：1【点睛】本题考查二次函数的最值，明确题意，得出x2+2x+2与-x2-1的大小再求出所求函数的最小值是解题关键.16．（1），；（2），；（3），【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可；（3）先移项，利用因式分解法解方程即可.【详解】（1），解得：，；（2），∴，∴，.（3）或解得：，【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.17．（1）见解析；（2）当时，，．【分析】（1）进行判别式的值得到，利用非负数的性质得，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；（2）令时，则方程化为，然后利用因式分解法解方程．【详解】（1）证明：依题意，得．∵，∴方程总有两个实数根；（2）解：当时，解方程．解得，．【点睛】本题考查了根与系数的关系：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．18．【分析】把（1，-4）和（-1，3）代入，解方程组求出b、c的值即可得答案.【详解】∵抛物线经过点和点，∴，解得∴抛物线的解析式为【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值是解题关键.19．（1）；（2）当时，有最大值，最大值为50【分析】（1）根据四边形的面积=AC·BD即可得答案；（2）利用配方法求出最大值即可．【详解】（1）设，∵AC+BD=20cm，∴，∵对角线AC、BD互相垂直，∴.（2）∵，∴当时，有最大值，最大值为50.【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式并掌握利用配方法求最大值是解题关键．20．（1），；（2）的面积是24.【分析】（1）把A点坐标代入求出m的值，即可得二次函数解析式，令y=0，求出x的值即可得B点坐标；（2）令x=0，可得C点坐标，即可得OC的长，根据A、B坐标可得AB的长，即可求出△ABC的面积.【详解】（1）∵二次函数的图象与轴的一个交点为，∴，∴，∴该二次函数的解析式是，当时，，解得：，.∴点坐标为.（2）∵由（1）知，，∴当时，，∵二次函数图象与轴交于点∴.∵，.∴，∴，即的面积是24.【点睛】本题考查了待定系数法的运用和抛物线与x轴的交点坐标．解题时注意，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系．21．（1）证明见解析；（2）菱形，理由见解析．【分析】（1）连接BC、OC，利用圆周角定理和切线的性质可得∠B=∠ACD，由PE⊥AB，易得∠APE=∠DPC=∠B，等量代换可得∠DPC=∠ACD，可证得结论；（2）由∠CAB=30°易得△OBC为等边三角形，可得∠AOC=120°，由F是的中点，易得△AOF与△COF均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．【详解】解：（1）连接BC、OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，∴∠OAC+∠B=90°，∵CD为切线，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∵PE⊥AB，∴∠APE=∠DPC=∠B，∴∠DPC=∠ACD，∴AP=DC；（2）以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，∴△OBC为等边三角形，∴∠AOC=120°，连接OF，AF，∵F是的中点，∴∠AOF=∠COF=60°，∴△AOF与△COF均为等边三角形，∴AF=AO=OC=CF，∴四边形OACF为菱形．【点睛】本题考查切线的性质；垂径定理．22．(1)；(2)销售该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元；(3)该商品在销售过程中，共有天每天销售利润不低于元．【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；

（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；

（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．【详解】(1)①当时，．②当时，．所以(2)①当时，二次函数图象开口向下，对称轴为直线，那么当时，．②当时，随的增大而减小，综上，销售该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．(3)①当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天．②当时，，解得．因此利润不低于元的天数是，共天．所以该商品在销售过程中，共有天每天销售利润不低于元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．也考查了分类讨论的数学思想.23．(1)证明见解析；(2).【分析】(1)根据点为的中点和垂径定理可证CD=BF，再利用即可证得结论；(2)解法一：连接，设的半径为，由列出关于的方程就能求解；解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明，得，再证明，得，进而可得和的长，易证，列比例式可求得的长，也就是的长；解法三：连接，根据垂径定理和三角形的中位线定理可