811向量数量积的概念课时作业

8.1.1向量数量积的概念（课时作业）(45分钟）基础篇基础篇1．（2021·上海高一课时练习）下列命题中真命题是（）A．方向相同的向量是平行的向量 B．任意向量与它的负向量都不相等C． D．【答案】A【分析】根据向量的定义，数量积的定义判断．【详解】由平行向量的定义知A正确；零向量与它的负向量相等，B错；设是向量的夹角，，则，C错；时，，D错、故选：A．2．（2021·浙江高一期末）若，，与的夹角为，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量数量积的定义可求得的值.【详解】由平面向量数量积的定义可得.故选：B.3．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））向量与的夹角为，，，在上投影为（）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】根据向量投影的概念计算即可.【详解】解：在上投影为.故选：D4．（2020·广东河源市·高二期末（理））已知向量，满足，，，则（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】直接用平面向量的数量积公式求解.【详解】因为，所以.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积公式，属于基础题.5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在中，，，是的外心，则的值为（）A．8 B．10C．12 D．16【答案】B【分析】向量，以及,，利用已知边长进行求解.【详解】．故选：B【点睛】利用向量的线性运算和向量投影的概念即可得解，解题时要结合题目中的信息进行灵活运用.6．（2021·浙江高一期末）已知为单位向量，且，则与的夹角为_________．【答案】【分析】设与的夹角为，由算出即可.【详解】设与的夹角为，则，所以因为，所以故答案为：7．已知向量a·b＝15＝3|b|，则向量a在b上投影的数量为______．【答案】3【解析】因为a·b＝15＝3|b|，所以|b|＝5，则向量a在b上投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|)＝3.8．已知点A，B，C满足|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up7(→))|＝5，则eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))的值是________．【答案】－25【解析】因为|eq\o(CA,\s\up7(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|2，所以B＝90°，所以eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0.因为cosC＝eq\f(4,5)，cosA＝eq\f(3,5)，所以eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＝|eq\o(BC,\s\up7(→))|·|eq\o(CA,\s\up7(→))|cos(180°－C)＝4×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－16.eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝|eq\o(CA,\s\up7(→))|·|eq\o(AB,\s\up7(→))|cos(180°－A)＝5×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－9.所以eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝－25.9．（2020·全国高一课时练习）已知，当（1）；（2）；（3）与的夹角是30°时，分别求．【答案】（1）见解析；（2）0；（3）【分析】(1)与同向夹角为，与反向夹角为，按向量数量积定义进行计算；(2)当时，它们的夹角(3)代入数量积公式进行计算即可.【详解】（1）当时，若与同向，则它们的夹角，∴；若与反向，则它们的夹角，∴．（2）当时，它们的夹角，∴．（3）当与的夹角是30°时，有．【点睛】本题考查向量数量积的计算，属于基础题.10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，求：(1)eq\o(AB,\s\up7(→))在eq\o(BD,\s\up7(→))方向上投影的数量；(2)eq\o(BD,\s\up7(→))在eq\o(AB,\s\up7(→))方向上投影的数量．解：连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．又因为D是BC边的中点，所以AD⊥BC，∠ABD＝45°，所以BD＝2eq\r(2).延长AB到E(如图所示)，则eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(BD,\s\up7(→))的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°.因此，(1)eq\o(AB,\s\up7(→))在eq\o(BD,\s\up7(→))方向上投影的数量是|eq\o(AB,\s\up7(→))|cos135°＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－2eq\r(2).(2)eq\o(BD,\s\up7(→))在eq\o(AB,\s\up7(→))方向上投影的数量是|eq\o(BD,\s\up7(→))|cos135°＝2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－2.提升篇提升篇11．（2021·全国高三专题练习（文））已知是边长为2的等边三角形，其中为边的中点，的平分线交线段于点，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平面向量数量积运算的定义即可得解.【详解】设交于点，如图，由题意可得点为的重心，则，，，所以.故选：D.12．（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知是边长为2的正六边形边上一动点，则（）A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是C．最大值是，最小值是 D．最大值是，最小值是【答案】C【分析】根据正六边形的特征以及向量数量积的几何意义，逐项分析判断即可得解.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，当和重合时，投影最大，作的延长线于，可以得到在方向上的投影最大值长是3，同理当和重合时，可以得到在方向上的投影最小值是1，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的最大值是6，最小值是2.故选：C13．（2021·安徽马鞍山市·高三三模（理））在中，，为的外心，若，则的值为______________.【答案】【分析】由向量数量积的定义以及三角形外心的性质，可得，从而求解，然后利用向量数量积定义代入求解即可.【详解】如图，作，，因为，由为的外心，所以可知为的中点，所以，得，同理可得，所以.故答案为：14.如图,在扇形AOB中,AB的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°.(1)若D是线段OB靠近点O的四分之一分点,用OA,OB表示向量(2)求MC·MD解：(1)由已知可得OC=34OA,MC所以MC=OC−OM=3(2)易知∠DMC=60°,且|MC|=|MD|,那么只需求MC的最大值与最小值即可.当MC⊥OA时,MC最小,此时MC=32,则MC·MD=32×当MC与MO重合时,MC最大,此时MC=1,则MC·MD=cos60°=所以MC·MD的取值范围为38素养培优篇素养培优篇15．已知△ABC的面积为S满足eq\r(,3)≤2S≤3，且eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝3，eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))的夹角为θ.求eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))夹角的取值范围．解：因为△ABC中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝3，eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))夹角θ＝π－B，所以eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))〉＝3，即|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|cosθ＝3，得|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|＝eq\f(3,cosθ).又S＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|sinB＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|sin(π－θ)＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|sinθ＝eq