34指数函数与对数函数

考点3函数3.4指数函数与对数函数1．（2021·天津市武清区杨村第一中学高二月考）若存在正数，使成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将给定不等式变形并分离参数，构造函数，再求其值域即可得解.【详解】存在正数，成立成立成立，令，显然在上单调递增，，即值域为，依题意有，所以实数的取值范围是.故选：C2．（2021·天津高二期末）已知，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得，，，进而可得结果.【详解】因为，所以．故选：B.3．（2020·天津市第一中学滨海学校高三月考）已知，，，则（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用根式的运算性质、指数函数、幂函数单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1．【详解】∵，且，∴，．∴．故选：D．4．（2020·天津耀华中学高三一模）已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.【详解】又则故选：A.5．（2013·天津高三一模（文））三个数，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由对数函数以及指数函数的单调性比较大小即可.【详解】故选：D6．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高一期中）已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】确定的奇偶性，然后由奇偶性和单调性比较大小．【详解】因为是奇函数，所以，是偶函数，，又，所以，即．故选：C．7．（2020·天津耀华中学高三期中）设.则a.b.c的大小关系是（）．A．a＞c＞b B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】A【分析】容易得出，从而可得出，，的大小关系．【详解】，，；．故选：．【点睛】本题主要考查比较三个数的大小，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题.8．（2021·天津市第八中学高三月考）已知奇函数在R上是增函数，.若，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由奇函数在上是增函数，则偶函数，且在单调递增，则，则，，即可求得【详解】解：奇函数在上是增函数，当，，且，，则，在单调递增，且偶函数，，则，，由在单调递增，则，，故选：．【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于中档题．9．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三开学考试）已知函数，且，，，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先确定函数的奇偶性与单调性，然后结合中间值0和1比较幂和对数的的大小，最后可得结论．【详解】由题意知是偶函数，由复合函数单调性知在上，函数单调递增，，，，，又，∴．故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查幂与对数的比较大小，实质考查了指数函数与对数函数的性质，属于中档题．10．（2020·天津高一期末）当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的图像，即可容易判断.【详解】∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选：C.【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属基础题.11．（2021·天津市武清区杨村第一中学高二月考）设为偶函数，且当时，，则当时，（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用偶函数的定义经计算即可得解.【详解】因为偶函数，且当时，，因此，当时，，，所以.故选：C12．（2020·天津高三二模）已知定义在上的奇函数，当时，是增函数，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质进行转化比较即可．【详解】解：，是奇函数，，，，则，当时，是增函数，，即，故选：C．13．（2021·天津高二期末）下列函数中，既是奇函数又是单调递增函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性与单调性分别判断．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为奇函数，但在其区间上为减函数，不符合题意；对于B，，其定义域为，不是奇函数，不符合题意；对于C，，是偶函数不是奇函数，不符合题意；对于D，，有，为奇函数，又是增函数，是减函数，所以是增函数．满足题意．故选：D．14．（2021·天津高三其他模拟）已知是定义在上的偶函数且在区间上单调递增，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，，结合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数且在区间上单调递增，可得函数在上单调递减，因为，，因为是定义在上的偶函数，可得，所以.故选：B.15．（2021·天津高三三模）设，，，则，，的大小关系为（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数、对数函数性质并借助“媒介”数即可得解.【详解】指数函数分别是R上的增函数和减函数，，则，对数函数在上单调递增，，则，所以有，即.故选：D16．（2021·天津高三二模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指对数的性质，比较指数式、对数式的大小.【详解】，∴.故选：A.17．（2021·天津高三二模）设，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数、对数及幂函数的性质判断各数与“0，1”的大小关系即可.【详解】，，而，所以，综上：故选:C.18．（2020·天津）已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据已知条件求解出的值域以及的最小值，然后根据题意得到与值域的端点的大小关系，由此求解出的取值范围.【详解】因为，为实数，所以，因为，所以当时，的最小值为，因为函数的图象如下图，且，所以结合图象可知值域为，因为存在实数，使，所以，即，故选：．【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集．19．（2021·天津耀华中学高三二模）已知定义在上的偶函数在区间上递减.若，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由是偶函数在上递减，故在上递增，然后比较的自变量，进而判断得结果.【详解】因为定义在R上的偶函数在区间上递减，所以在上递增，，，，因为，在上递增，所以，即，故选:B.【点睛】方法点睛：本题考查了函数的基本性质，对于抽象函数，要灵活掌握并运用图像与奇偶性、单调性等性质，要注意定义域，还应该学会解决的基本方法与技巧，如对于选择题，可选用特殊值法、赋值法、数形结合等，应用分析、逻辑推理、联想类比等数学思想方法.20．（2020·天津）函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可.【详解】函数的定义域为，，则函数为偶函数，图象关于轴对称，排除，当时，，排除，当时，，排除，故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.21．（2021·上海高三二模）函数在内单调递增，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】讨论、、：显然根据解析式知、，函数在内单调递增；，利用基本不等式(注意等号成立的条件)，结合对勾函数的性质判断函数的单调增区间，即可求a的范围.【详解】当时，在上，单调递增，单调递增，即单调递增，符合题意；当时，在内单调递增，符合题意；当时，，∴若，时，等号不成立，此时在内单调递增，符合题意；若，时，若当且仅当时等号成立，此时在内单调递增，不符合题意.综上，有时，函数在内单调递增.故答案为：.【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，当、时，根据函数解析式直接判断单调性，当时，综合应用基本不等式、对勾函数的性质判断函数的单调区间，进而求出参数范围.22．（2021·上海高三二模）已知函数的定义域为，函数是奇函数，且，若，则___________．【答案】【分析】通过计算可得．【详解】因为是奇函数，所以，即，所以．故答案为：．23．（2021·山东高三一模）已知函数（），若对任意，，，总有，，为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】由题意可得，对，，，总有恒成立，转化为，根据单调性求函数最值即可.【详解】由题意可得：对，，，总有恒成立，只需，①当时，，满足题意；②当时，在上单调递减，，故需，即；综上所述，的取值范围是．故答案为：【点睛】关键点点睛：原问题对任意，，，总有，，为某一个三角形的边长，转化为对，，，总有恒成立，是解题的关键.24．（2019·山东高考模拟（文））若函数为偶函数，则__________．【答案】【分析】利用偶函数的定义求出的值，在进行对数运算即可答出答案.【详解】函数为偶函数，则，即恒成立，所以，解得：则.故答案为：【点睛】本题主要考查了偶函数的性质，以及对数的运算，属于基础题.25．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三月考（文））已知函数，若（a），则实数的取值范围是__.【答案】.【分析】判断的单调性和奇偶性，脱去“”，即可求解实数的取值范围【详解】函数，定义域为，那么是奇函数；由函数函数在上单调递减，函数在上为单调递增函数由（a），即（a）得故答案为：.【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性单调性解不等式，判断函数的奇偶性和单调性是解答本题的关键，属于综合题.26．（2021·定远县育才学校高一开学考试）已知函数f(x)＝设a>b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________.【答案】【分析】画出的图象，数形结合求得的范围，将转化为关于的函数，再求函数的值域即可.【详解】画出函数图象如图所示，由图象可知要使a>b≥0，f(a)＝f(b)同时成立，则≤b<1.b·f(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)＝b2＋b＝，所以≤b·f(a)<2.故答案为：.【点睛】本题考查指数函数图象的应用，本题中借助函数图象求得参数范围是重点，属基础题.27．（2020·全国高三其他模拟（理））已知函数，若，则__________．【答案】【分析】根据题意，由分段函数的解析式和，利用对数函数的运算可求出，再根据指数函数的运算即可求出.【详解】解：由题可知，当时，，则，所以，由于，则.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数求值问题，涉及指对数函数的运算，属于基础题.28．（2020·全国高三专题练习（理））设偶函数满足，则_____.【答案】【分析】，为增函数，且，则转化为由偶函数的性质和单调性，计算即可得出结果．【详解】解：因为偶函数满足，由指数函数性质可知，，为增函数，令函数结合函数的单调性和奇偶性可知，或或，所以不等式解集为.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性在解不等式中的应用，属中档题．29．（2020·全国高一课时练习）已知函数的定义域和值域都是，则________．【答案】【分析】分和两种情况分别讨论函数的单调性，根据单调性结合定义域和值域先求出参数的值，在求.【详解】当时，函数在上单调递增，所以，即，此时方程组无解.当时，函数在上单调递减，所以，即，解得：所以，则故答案为：.【点睛】本题考查根据指数型函数的单调性和值域求参数的值，进一步求函数的值，属于中档题.30．（2020·全国高三一模（理））已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为_________.【答案】【分析】根据奇偶性定义判断函数为偶函数，再判断出在上为减函数，，从而将不等式转化为，根据函数为偶函数可得，解不等式即可.【详解】函数的定义域关于原点对称，∵时，，，同理：，∴为偶函数.易知在上为减函数，且，即，即，根据偶函数的性质知当时，得.故答案为：【点睛】本题考查了利用分段函数的性质解不等式，需掌握奇偶性定义以及指数型函数的单调性，属于中档题.31．（2020·陕西高三二模（文））已知，，，则a，b，c的大小关系为___________.【答案】.【分析】通过中间量0和1，结合指对数函数的单调性即可得出答案.【详解】，，，所以.故答案为：.32．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，则___________.【答案】【分析】利用分段函数解析式先求，再计算即可.【详解】由知，，故.故答案为：.33．（2021·黑龙江哈九中高三月考（文））已知函数，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】确定函数的奇偶性与单调性，然后由奇偶性与单调性解不等式．【详解】函数定义域是，，是偶函数，时，是减函数，又，所以由得，且，解得且．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是确定函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不等式，解题时注意函数的定义域，否则易出错．34．（2021·黑龙江铁人中学高二期末（理））已知函数，则方程（是自然对数的底数）的实根个数为__________.【答案】6【分析】令，原方程可得，利用数形结合判断与交点个数及交点横坐标的范围，再根据横坐标判断时交点的个数，即为实根的个数.【详解】令，方程为：，即，与的性质如下：1、：在上单调递增，值域为；上递增,上递减，值域为且、；上单调递增，值域为；2、：过定点，定义域上单调递减；∴可得函数图象如下图示，∴共有三个交点，横坐标分别为，且，∴当，显然无解；当时，有四个实根；当时，有两个实根，∴如下图示：一共有6个实根.故答案为：6【点睛】关键点点睛：令，原方程可得，讨论与的性质并画出函数图象，根据交点横坐标的范围，应用数形结合判断根的个数.35．（2021·山东高三一模）若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则______.【答案】【分析】分析函数在区间上的单调性，可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【详解】，所以，函数在区间上为增函数，由已知条件可得，，，解得.故答案为：.36．（2021·全国高三专题练习）若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则___________.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)【答案】型的都对【分析】本题属于开放性题，只需填写符合题意的答案即可，依题意可以判断函数在上单调递增，又，（且，）即可得解；【详解】解：对于任意实数，，当时，都有，说明该函数在上单调递增，又对数函数满足运算性质：，故可选一个递增的对数函数：．故答案为：．