期中检测模拟试卷02-2021-2022学年高二数学上学期期中考试好题汇编(人教A版2019选择性)

2021–2022学年上学期期中模拟测试卷02高二数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．双曲线的渐近线方程是（）A．y=4x B． C．y=±2x D．【答案】C【分析】直接由双曲线方程求解渐近线方程即可.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，故选：C2．已知点在圆的内部，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由点与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，由此可求得实数的取值范围.【详解】因为点在圆的内部，则，解得.故选：D.3．已知向量，．若向量与向量平行，则实数m的值是（）A．2 B．2 C．10 D．10【答案】A【分析】利用向量共线定理即可得到，再进行向量坐标化，由向量相等得到参数值.【详解】向量，，，向量与向量，，平行，存在实数使得，坐标化得到：，解得．故选：A．4．已知F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】如图，椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，化为，即可得出椭圆的离心率的范围.【详解】若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥，又e<1，所以e∈．故选：B5．已知直线过抛物线：的焦点，并交抛物线于，两点，，则弦中点的横坐标是（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】过点作抛物线准线的垂线，则由抛物线的定义结合梯形中位线定理可求得结果【详解】如图，由题意可得抛物线的准线的方程为，过点作抛物线准线的垂线于，过分别作于点，于点，则，因为弦的中点为，所以，所以点的横坐标是，故选：C6．如图,在平行六面体中,点分别为棱,中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法:①∥;②∥;③∥平面;④∥平面,则以上正确说法的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】连接PM，易得为平行四边形，故①正确．显然与为异面直线．故②错误．由①知∥．由于即在平面内，又在平面内．故③④正确【详解】连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD．由题意知AD平行且等于．故PM平行且等于．所以为平行四边形，故①正确．显然与为异面直线．故②错误．由①知∥．由于即在平面内，又在平面内．且即不在在平面内，又不在平面内．故③④正确【点睛】本题主要考察线面平行的判断．其中通过证明平行四边形得到线线平行为关键．7．已知在菱形中，，点E为的中点，点F为的中点，将菱形沿翻折，使平面平面，则异面直线和所成角的余弦值为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据垂直关系建立空间直角坐标系，利用向量求解.【详解】由题意可知，在菱形，和都是等边三角形，连结，交于点O，则，，菱形沿翻折后，平面平面，易得，所以，，两两垂直，所以以点O为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以，，设异面直线和所成角为，则.故选：B.8．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足，点N是F1F2线段上一点，满足．现将△MF1F2沿MN折成直二面角，若使折叠后点F1，F2距离最小，则为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件及双曲线的定义可得，，将△MF1F2沿MN折成直二面角后，过作，应用直角三角形边角关系、余弦定理及勾股定理求最小时的大小，进而求值.【详解】∵，，∴，，将△MF1F2沿MN折成直二面角，过作，易知面，设，在中有，，∴在△中，，有，∴，∴，当且仅当，时等号成立.∴F1，F2距离最小时，为角平分线，故，可得.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．以下四个命题表述正确的是（）A．直线恒过定点B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C．曲线与曲线恰有三条公切线，则D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点【答案】BCD【分析】由过定点的直线系方程判断A，根据直线与圆的位置关系与点到直线的距离判断B，由圆与圆的位置关系判断C，引入参数，求直线AB的方程，求直线所过定点.【详解】由，得，联立，解得，直线恒过定点，故A错误；圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式，曲线化为标准式，圆心距为，解得，故C正确；设点的坐标为，，以为直径的圆的方程为，两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，令，，解得，，故直线经过定点，，故D正确．故选：BCD．10．在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（包含线段的端点），点，分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（）A．当时，点，，，四点共面B．异面直线与的距离为C．三棱锥的体积为定值D．不存在点，使得【答案】AC【分析】对于A，借助空间向量判断共面即可；对于B，建立空间直角坐标系，利用空间向量求距离即可判断；对于C，证明直线A1C//平面DMN即可判断；对于D，利用空间直角坐标系中向量坐标运算即可判断作答.【详解】在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，如图，对于A，因，则，共面，且它们有公共点A，点，，，四点共面，A正确；对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，A1(1，0，1)，，设与都垂直的向量，因此，，令，得，则异面直线与的距离，B不正确；对于C，因点，分别为线段，的中点，则，平面DMN，平面DMN，于是得平面DMN，因此，上任意点P到平面DMN的距离都相等，而点D，M，N都是定点，即面积是定值，则三棱锥的体积为定值，C正确；对于D，令，，则，而，于是得，当时，，即，因此当点P与点C重合时，，D不正确.故选：AC11．一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”．则下列命题正确的有（）A．若是“黄金椭圆”，则；B．若，且点在以，为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为；C．若是左焦点，，分别是右顶点和上顶点，则；D．设焦点在轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为，，“黄金椭圆”上动点（异于，），设直线，的斜率分别为，，则.【答案】BCD【分析】利用椭圆的焦点的位置可判断A；利用、可得，再利用椭圆定义可得的周长可判断B；利用的关系，可得、、，再利用勾股定理可判断C；设，，，利用和可判断D.【详解】对于A，由于没有说明椭圆的焦点在x轴还是y轴，所以应该有两个，故错误；对于B，若，，所以，且点在以，为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为，故正确；对于C，是左焦点，，分别是右顶点和上顶点，由于椭圆为“黄金椭圆”，所以离心率为，即，所以，，，，即，所以，即，故正确；对于D，设，，，则，，所以，因为在椭圆上，所以，即，所以，因为椭圆为“黄金椭圆”，所以离心率为，得，又，所以，，所以，故正确.故选：BCD.12．如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，则在下列结论中正确的为（）A．若记直线的斜率分别为，则的大小是定值B．的面积是定值C．设，则D．为定值【答案】BC【分析】设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和斜率公式判断A；设直线方程为，联立方程组，求出，坐标，计算点到的距离，代入面积公式化简判断B，联立方程组，求出，坐标，用表示出的面积，利用基本不等式即可判断C，根据，坐标和距离公式判断D.【详解】A，由题意，，设直线的方程为，，联立方程组，得，所以，得，所以，故A错误；B，设直线的方程为，则直线的方程为，联立方程组，得，不妨设点在第三象限，则，可得，所以点到的距离，又，所以，故B正确；C，联立方程组，可得，故，所以，可得，所以到直线的距离，所以，当且仅当，即时取等号.所以，故C正确；D，又，，所以，故D错误；故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．已知圆与轴交于点、，过圆上动点(不与、重合)作圆的切线，过点、分别作轴的垂线，与切线分别交于点，直线与交于点，关于的对称点为，则点的轨迹方程为_______【答案】【分析】相关点法求轨迹方程：设，先根据条件，求出，两点的坐标，再联立直线和求出交点，根据，两点关于对称，确定用，表示点的坐标，再由点在圆上，列方程整理即可.【详解】依题意作图，有，，设()，.过点的圆的切线的方程为，所以，.联立解得，所以点.又点，关于点对称，所以，即，又点在圆上，所以，把代入整理得，，又，所以点的轨迹方程().故答案为：().14．如图，在长方体中，，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的__________．①当时，平面；②当时，平面；③的最大值为；④的最小值为.【答案】①②【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,,设,.对于①，当，即，解得，，设平面的法向量为，则由，解得，由于，所以平面成立.对于②，当时，即，解得，由可知平面成立.对于③，设，即，解得，由，其分子化简得，当时，，故的最大值可以为钝角，③错误.对于④，根据③计算的数据，,，在对称轴，即时取得最小值为，故④错误.15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，且，，则的离心率为_________【答案】【分析】由题设知，令，易得，根据双曲线的定义知、，又即可求双曲线参数a与m的数量关系，在中应用勾股定理构造a、c的齐次方程即可求离心率.【详解】由，知：，令，，则，∴中，，又且，∴，即，则，，故在中，，即，∴.故答案为：16．已知为抛物线的焦点，过作斜率为的直线和抛物线交于，两点，延长，交抛物线于，两点，直线的斜率为.若，则______.【答案】4【分析】设，，设过点作斜率为的直线方程为：，与抛物线联立，由韦达定理可得，设，，则，，设，所在直线方程可得，，由此可得的值.【详解】设过点作斜率为的直线方程为：，联立方程，消去可得：，设，，∴，设，，则，同理，设所在的直线方程为，联立方程，消去得：，∴，同理可得，则.故答案为：4.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知直线与直线的交点为P.（1）若直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；（2）若直线l1过点P且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，△ABO的面积为，求直线l1的方程．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由题可求，由题知直线l与直线AB平行或过AB的中点，即求；（2）可设直线方程的截距式，由题可得即求.【详解】（1）由得，即，因为直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，∴直线l与直线AB平行或过AB的中点，当直线l与直线AB平行时，直线l的方程为即，当直线l过AB的中点时，直线l的方程为，故直线l的方程为或.（2）由题可设直线l1方程为，则，解得，故直线l1的方程为即.18.（12分）如图，在四棱柱中，四边形是一个边长为2的菱形，.侧棱平面，.（1）求二面角的余弦值；（2）设是的中点，在线段上是否存在一点使得平面PDB？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）设是的中点，易得平面，平面，则以，，方向建立空间直角坐标系，显然平面的一个法向量是，再求解平面的一个法向量，设二面角的平面角为，由求解；（2）法一：连接AC，BD相交于点O，连接EC，设N是EC的中点，再连接ON，由中位线得到，连接并延长交于点，满足平面PDB，在中，利用平面几何知识求解；法二：利用空间向量法，设，求得平面的一个法向量，根据平面，由求解.【详解】（1）由题意，是正三角形，设是的中点，则，所以，又平面，平面.如图1，以，，方向建立空间直角坐标系：则，，，，显然，平面的一个法向量是，设平面的一个法向量为，则，令，得，设二面角的平面角为，则.（2）在线段上存在点使得平面，此时.论证如下：如图2甲连接AC，BD相交于点O，连接EC，设N是EC的中点，再连接ON，又菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，由中位线知：，连接并延长交于点，连接，因为平面PDB，平面PDB，所以平面PDB.如图乙，在中，作交BP于点F，因为E是的中点，所以由中位线关系得：，①又由可得：与相似，又N是EC的中点，所以，结合①知：，从而可得.法二：利用空间向量法，设，即有，因为，，所以，又，，于是，，设平面的一个法向量为，则，令，得，因为，的中点为，所以，因为平面，所以，即，解得，即线段上存在点使得平面，此时.19.（12分）已知抛物线的准线为，M，N为直线上的两点，M，N两点的纵坐标之积为8，P为抛物线上一动点，，分别交抛物线于A、B两点.（1）求抛物线E方程；（2）问直线是否过定点，请求出此定点；若不过定点，请说明理由【答案】（1）；（2）过定点.【分析】（1）由准线方程求出p，进而得到抛物线方程；（2）设、、，以及直线：，将其代入到抛物线方程，根据根与系数的关系得到：；根据P,A的坐标得到直线PA的方程，再由点P在抛物线上将直线方程化简，进而求出，同理求出，然后根据求出的值，最后解出答案.【详解】（1）由得，故抛物线方程.（2）设、、，直线方程为，代入抛物线方程化简得，则，由直线的斜率则直线的方程：，又，即直线的方程：，令，得，同理，，整理得.则，即，，故直线的方程：，即直线过定点.20.（12分）在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【分析】（1）取中点，进而证明四边形为平行四边形，得到，进而根据线面平行的判定定理即可得到答案；（2）建立空间直角坐标系，进而通过空间向量的夹角公式即可得到答案；（3）设,进而通过空间向量线面角公式求出，进而得到答案.【详解】（1）如图1，取中点，且，又∵，分别为，的中点，∴且，且，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面.（2）因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DA，因为=45°，所以PD=DA，设，又因为AB⊥AD，AB∥DC，所以DC⊥AD，如图2，以为原点，，，所在方向分别是，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设点坐标为，则，，由得，则，，，设平面的法向量为，由，令x=1，得：，设平面的法向量为，由，令b=1，得：，所以，由图可知，平面与平面夹角为锐角，故平面与平面夹角的余弦值为.（3）设，，，，与平面所成角的正弦值为，整理得：，解得：，（舍）存在满足条件的点，，则.21.（12分）．已知椭圆：的离心率为，椭圆的上顶点与抛物线：的焦点重合，且抛物线经过点，为坐标原点．（1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）已知直线：与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，若直线平分，四边形能否为平行四边形？若能，求实数的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）；；（2）四边形不是平行四边形，理由见解析.【分析】（1）由抛物线经过点，可得抛物线方程为，其焦点为，可知，再利用椭圆的离心率即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为，，由已知得，设，，利用两点求斜率公式求得直线：