专题01集合常用逻辑用语不等式（选填压轴题）-2022年高考数学高分必刷必过题

专题01集合、常用逻辑用语、不等式（选填压轴题）一、单选题1．（2021·全国高三专题练习）用表示非空集合中的元素个数，定义＝若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【详解】因为，，所以或，由，得，关于x的方程，当时，即时，易知，符合题意；当时，即或时，易知0，a不是方程的根，故，不符合题意；当时，即时，方程无实根，若a=0，则B={0}，，符合题意，若或，则，不符合题意.所以，故.故选：B.2．（2021·上海浦东新·上外浦东附中高一月考）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称为“类集”，现有四个命题：①若为“类集”，则集合（为实常数）也是“类集”；②若、都是“类集”，则集合也是“类集”；③若、都是“类集”，则也是“类集”；④若、都是“类集”，且交集非空，则也是“类集”．其中正确的命题有（）A．①② B．①③④ C．②③ D．①②④【答案】D【详解】①若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，对于集合（为实常数），可得对于任意，以及任意都有，故正确；②若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，可得对于任意，以及任意，都有，故正确；③若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，设，为中元素的合并而得，且不重复，不符合“类集”的定义，故错误；④若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，若为“类集”，则对于任意，，以及任意，都有，设，为中元素的公共部分，且不为空集，符合“类集”的定义，故正确；故选：D.3．（2021·河南南阳中学高一月考）在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】因为，故，故①错误，而，故，故②正确.若整数，属于同一“类”，设此类为，则，故即，若，故为4的倍数，故除以4的余数相同，故，属于同一“类”，故整数，属于同一“类”的充要条件为，故④正确.由“类”的定义可得，任意，设除以4的余数为，则，故，所以，故，故③正确.故选：C.4．（2021·全国高一专题练习）对于非空数集M，定义表示该集合中所有元素的和.给定集合，定义集合，则集合的元素的个数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【详解】当集合为单元素集时，可取，此时可取；当集合为双元素集时，可取，此时可取；当集合为三元素集时，可取，此时可取，当集合为四元素集时，可取，此时可取，综上可知可取，共个值，所以的元素个数为，故选：B.5．（2021·全国）非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（）（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.A．（1）（3） B．（1）（2）C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）【答案】C【详解】由①可知.对于（1），若，对任意的，，则，所以，，这与矛盾，（1）正确；对于（2），若且，则，，，依此类推可得知，，，，，，（2）正确；对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，所以，，（3）正确；对于（4），由（2）得，，取，则，所以（4）错误.故选：C.6．（2021·北京市陈经纶中学高一月考）设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足：①对于任意，若，都有②对于任意，若，则；下列命题正确的是（）A．若有4个元素，则有7个元素B．若有4个元素，则有6个元素C．若有3个元素，则有5个元素D．若有3个元素，则有4个元素【答案】A【详解】首先利用排除法：若取，则，此时，包含4个元素，排除选项C；若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；下面来说明选项A的正确性：设集合，且，，则，且，则，同理，，，，，若，则，则，故即，又，故，所以，故，此时，故，矛盾，舍.若，则，故即，又，故，所以，故，此时.若，则，故，故，即，故，此时即中有7个元素.故A正确.故选：A.7．（2021·上海高一期中）已知非空集合M满足：对任意，总有，且，若，则满足条件的的个数是A．11 B．12 C．15 D．16【答案】A【详解】由题意，可得集合是集合的非空子集，共有个，且不能同时出现，同时出现共有4个，所以满足题意的集合的个数为11个，故选A.8．（2021·全国高一专题练习）已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为A． B． C． D．【答案】C【详解】图中阴影部分表示的集合为．∵，，∴，，∴．故选C．9．（2021·全国）已知集合，集合，，满足.①每个集合都恰有5个元素②集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：求出集合M={x∈N*|1≤x≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A1，A2，A3，排除选项B、C、D，由此能求出结果．详解：由题意集合M={x∈N*|1≤x≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A1={1，4，5，6，7}，A2={3，12，13，14，15}，A3={2，8，9，10，11}时，X1+X2+X3=8+18+13=39，故排除B选项；当A1={1，4，5，6，15}，A2={2，7，8，9，14}，A3={3，10，11，12，13}时，X1+X2+X3=16+16+16=48，故排除C选项；当A1={1，2，3，4，15}，A2={5，6，7，8，14}，A3={9，10，11，12，13}时，X1+X2+X3=16+19+22=57，故排除D选项．∴X1+X2+X3的值不可能为37．故选A．10．（2021·全国高一专题练习）对于任意两个正整数、，定义某种运算“※”，法则如下：当、都是正奇数时，※=；当、不全为正奇数时，※=.则在此定义下，集合中的元素个数是A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：从定义出发，抓住、的奇偶性对实行分拆是解决本题的关键，当、同奇时，根据※将分拆两个同奇数的和，有，共有对；当、不全为奇数时，根据※将分拆两个不全为奇数的积，再算其组数即可，此时有，共对.∴共有个，故选C.11．（2021·全国高一专题练习）集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是A．, B．,C．, D．,【答案】B【详解】试题分析：从集合的定义，，可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是，，选B．12．（2021·江苏高一专题练习）对于集合，定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素.例如：，运算“”为普通乘法；存在，使得对任意，都有，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通减法；②，运算“”为矩阵加法；③（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集.其中对运算“”有单位元素的集合序号为（）A．①② B．①③ C．①②③ D．②③【答案】D【详解】试题分析：①若，运算“”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；②{表示阶矩阵，}，运算“”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③（其中是任意非空集合），运算“”为两个集合的交集，其单位元素为集合，故答案为D.13．（2021·浙江省桐庐中学）已知，函若数在总有且，则取值范围是（）A．[6，+∞) B．C．[12，+∞) D．(6，12]【答案】B【详解】在上恒成立即在上恒成立，故在上恒成立，当时，，当时，，故，所以在上恒成立，令，令，则，而在为增函数，故，所以，故，所以在的最小值为，故.因为恒成立，故对于任意恒成立，所以即.故选：B.14．（2021·河南高三月考（理））已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，，则，.，当且仅当，即时取等号，又得最大值为，，即，整理得，故椭圆的的离心率是.故选：C.15．（2021·全国高三模拟预测）已知，，则下列结论正确的是（）A． B．的最小值为C． D．【答案】C【详解】记有，则，易知时有，A错误；，当且仅当时取等号，所以最小值为，B错误；记，则等价于，记，则，∴，即单调递增，有，∴单调递减，则有，不等式得证，C正确；取，，有，D错误．故选：C16．（2021·南京市第十三中学）已知若对于任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据可知，令由知为增函数，所以恒成立，分离参数得，而当时，在时有最大值为，故.故选：B17．（2021·全国高三专题练习（文））若实数满足，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】证明不等式，令，，故在上单调递减，在上单调递增，，故证明成立；又因为≥，且仅当a=时成立又因为故与题意联立，得令t=，故有，解得时成立，综上联立：=1与a=解得a=，b=，故选：C.18．（2021·银川三沙源上游学校高二月考（理））在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：在中，由余弦定理得，且的面积，由，得，化简得，又，，联立得，解得或（舍去），所以，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以，即的取值范围是．故选：C.19．（2021·北京昌平·临川学校高三期末）已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设，且，令，要使上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，∴若，，∴在上总存在有两个解分别为、，而的对称轴，故，而，∴，整理得，上，∴即可.故选：B二、多选题20．（2021·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（）A．若且，则 B．若且，则C．若且，则 D．若，则【答案】ABD【详解】根据定义.对于A：若,则,,,,∴,故A正确;对于B：若,则,,,,∴,故B正确;对于C：若,则,,则.故C错;对于D：左边,右边所以左=右.故D正确.故选：ABD.21．（2021·福建高三模拟预测）两个集合和之间若存在一一对应关系，则称和等势，记为．例如：若为正整数集，为正偶数集，则，因为可构造一一映射．下列说法中正确的是（）A．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同B．对三个无限集合、、，若，，则C．正整数集与正实数集等势D．在空间直角坐标系中，若表示球面：上所有点的集合，表示平面上所有点的集合，则【答案】ABD【详解】对于A选项，设有限集合，，充分性：若，则两个集合和之间若存在一一对应关系，则对任意的，存在，使得与对应，故，充分性成立.必要性：若，即集合、的元素个数相等，可构造映射，使得，故，必要性成立，A对；对于B选项，对三个无限集合、、，若，对任意的，存在唯一的，使得与对应，又因为，则存在唯一的，使得与对应，故对任意的，存在唯一的，使得与对应，故，B对；对于C选项，正整数集与正实数集不等势，理由如下：假设正整数集与正实数集等势，则存在与的一个一一对应，将与中对应的元素记为，则中的元素可以排成一列：、、、、，显然中至少有一个单位长度的区间不包含，不妨设此区间为，将三等分，则、中至少有一个区间不含，以表示此区间，将三等分，其左、右两个区间至少有一个不含，记为，依此类推，可得一列闭区间满足：（i），且的长度趋于；（ii），、、、.所以，，但对任意的，，换言之，不在中，这是不可能的，这一矛盾说明，与不等势，C错；对于D选项，如下图所示：球面方程为，球面与轴的正半轴交于点，对于球面上任意一点（不与点重合），设直线交平面于点，则球面上的点（不与点重合）与平面内的点能建立一一对应关系，假定在平面上有一理想的点称之为无穷远点，它与点对应，这样，D对.故选：ABD.22．（2021·山东德州·高二期末）我们把有限集合中的元素个数用来表示，并规定，例如，则.现在，我们定义，已知集合，，且，则实数不可能在以下哪个范围内（）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】对于集合，由，可得，作出函数与函数的图象如下图所示：所以，函数与函数的图象有两个公共点，故.因为，所以，或.对于集合，由，显然，由，可得，由，可得，设，，则直线与函数、在上的图象共有个或个交点，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，，且当时，.，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，，作出直线与函数、在上的图象，如下图所示：由图象可知，当、或时，直线与函数、在上的图象共有个公共点.故选：BCD.23．（2021·江苏省天一中学）设，为单位向量，满足，，，则，的夹角为，则的可能取值为（）A． B． C． D．1【答案】CD【详解】设单位向量，的夹角为，由，两边平方得，解得，又，，，同理且，令，则，，所以，即的取值范围为故选：CD24．（2021·大名县第一中学高二月考）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（）

A．图形关于轴对称B．曲线恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）C．曲线上存在到原点的距离超过的点D．曲线所围成的“心形”区域的面积大于3【答案】ABD【详解】对于A，将换成方程不变，所以图形关于轴对称，故A正确；对于B，当时，代入可得，解得，即曲线经过点，当时，方程变换为，由，解得，所以只能去整数，当时，，解得或，即曲线经过，根据对称性可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，故B正确；对于C，当时，由可得，（当时取等号），，，即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故C错误；对于D，如图所示，在轴上图形的面积大于矩形的面积：，轴下方的面积大于等腰三角形的面积：，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于，故D正确；故选：ABD三、双空题25．（2021·全国高二单元测试）等差数列中，且，则______；若集合中有2个元素，则实数的取值范围是______.【答案】12【详解】空1：设等差数列的公差为，因为，且，所以有：，因此；空2：由（1）知：由，设，，显然当时，，当时，，因此从第2项起，数列是递减数列，，所以数列的最大项为，因为中有2个元素，所以不等式只有两个不同正整数根，而数列的最大项为，因此一定是不等式的解，因此一定有：.故答案为：26．（2021·全国）设是中两个子集，对于，定义：,，①若.则对任意，=______；②若对任意，，则的关系为______．【答案】0【详解】解：①∵A⊆B．则x∉A时，m=0，m（1n）=0．x∈A时，必有x∈B，∴m=n=1，m（1n）=0．综上可得：m（1n）=0．②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，∴A，B的关系为A=∁RB．故答案为0，A=∁RB．27．（2021·海淀·北京市八一中学）已知是的三边长，关于的方程的解集中只有一个元素，方程的根为，则的形状为________；若为关于的两个实数根，则实数的值_________．【答案】等边三角形【详解】关于的方程的解集中只有一个元素,,即，方程的根为，，，故三角形为等边三角形.为关于的两个实数根,,即，解得故答案为：等边三角形；12四、填空题28．（2021·上海桃浦中学高一月考）已知集合和，使得，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合___________.【答案】或或.【详解】，中所有元素之和为；若中仅有一个元素，设，则，解得：，不合题意；若中有且仅有两个元素，设，则，当，时，，；若中有且仅有三个元素，设，则；当，，时，，若中有且仅有四个元素，设，则，当，，，时，，；若中有且仅有五个元素，若，此时，中最多能有四个元素；综上所述：或或.故答案为：或或.29．（2021·山东高考真题）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算____________________________________．【答案】或【详解】，