淮南市西部地区2024－2025学年九年级上学期第二次综合作业设计数学试卷

~2025学年度九年级第二次适应性作业设计数学试卷考生注意：本卷八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1.以下是我国部分博物馆标志图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.2.函数的图象的对称轴是（）A B. C. D.3.建平县某中学九年级各班举行篮球比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛10场，设共有x个班参赛，根据题意可列方程为（）A. B. C. D.4.已知二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（﹣1，1），则ab有（）A.最小值0 B.最大值1C最大值2 D.有最小值﹣5.在学校运动会上，一位运动员掷铅球，铅球的高与水平距离之间的函数关系式为，则此运动员的成绩是（）A. B. C. D.6.如图，将绕着点逆时针旋转至，使点恰好落在线段上，若，则的度数为（）A. B. C. D.7.如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（）A.3.1 B.4.2 C.5.3 D.6.48.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为（）寸A.13 B.24 C.26 D.289.如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最小值为（）A.1 B.3 C. D.10.李同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图象，请根据图象判断，当方程有两个实数根时，常数满足的条件是（）A. B.或C. D.或二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11.如果点关于原点的对称点为，则______．12.若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为______．13.如图，在等腰中，，将绕点A逆时针方向旋转得到，交于点E，则____________________．14.如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段．（1）旋转中心是______，（2）旋转角为______．三、（本题每小题8分，满分16分）15.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标；（2）画出绕原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标．16.如图所示，求证：直径是中最长的弦．四、（本题每小题8分，满分16分）17.已知四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图．（1）如图①，点为AB上任意一点，在CD上找出另一点，使；（2）如图②，点为BD上任意一点，在BD上找出一点，使．18.如图，在中，，，，由绕点顺时针旋转得到，其中点与点、点与点是对应点，连接，当，，在同一条直线上，求的长．五、（本题每小题10分，满分20分）19.如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．20.如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，点的对应点恰好落在的延长线上，边交边于点．（1）求证：；（2）若，，求长．六、（本题满分12分）21.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为．（1）如图1，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．七、（本题满分12分）22.如图1，D内一点，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．（1）求证：．（2）交于点F，当B，D，E三点共线时，直接写出的度数．（3）若将图1中的点D移至边上，将绕点A逆时针旋转得到，连接．将平移得到（点A与点D对应），连接，如图2所示．判断的数量关系和位置关系，并说明理由．八、（本题满分14分）23.如图，在斜坡底部点处安装一个的自动喷水装置，喷水头(视为点的高度(喷水头距喷水装置底部的距离)是米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似的看成抛物线当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为米时，达到最大高度米（1）求抛物线的解析式；（2）斜坡上距离水平距离为10米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米①记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值(斜坡可视作直线；②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，直接写出自动喷水装置应向后平移(即抛物线向左)多少米?

2024~2025学年度九年级第二次适应性作业设计数学试卷考生注意：本卷八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1.以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】A.既是轴对称图形又是中心对称图形,故该选项符合题意；B.是轴对称图形，但不是中心对称图形,故该选项不符合题意；C.不是轴对称图形，但是中心对称图形,故该选项不符合题意；D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故该选项不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．2.函数的图象的对称轴是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的解析式与对称轴的关系，利用二次函数的性质解答．根据顶点式的特点可直接写出对称轴．【详解】解：由得到：，即，所以函数的图象的对称轴是直线．故选：C．3.建平县某中学九年级各班举行篮球比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛10场，设共有x个班参赛，根据题意可列方程为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】共有x个班参赛，每个班需要比赛场，再根据每两个班之间都要赛一场，可知．【详解】解：共有x个班参赛，每个班需要比赛场，又每两个班之间都要赛一场，共赛10场，，故选A．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据比赛规则找出等量关系．4.已知二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（﹣1，1），则ab有（）A.最小值0 B.最大值1C.最大值2 D.有最小值﹣【答案】D【解析】【分析】把点A（-1，1）代入y=ax2+bx，可得出a与b的关系，用含a的代数式表示b，进而得出ab与a的函数关系式，最后根据函数的性质得出结果．【详解】解：点A（-1，1）代入y=ax2+bx得，a-b=1，b=a-1，ab=a（a-1）=a2-a=（a-；所以有最小值-．故选D．5.在学校运动会上，一位运动员掷铅球，铅球的高与水平距离之间的函数关系式为，则此运动员的成绩是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，即，求x值即可．在实际问题中，注意负值舍去．【详解】解：由题意知，当y＝0时，，

整理，得：，

解得：，

由于负值不符合题意，故该运动员的成绩是9m，

故答案选：D．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即y＝0，测量运动员成绩，也就是求x的值，借助二次函数解决实际问题．6.如图，将绕着点逆时针旋转至，使点恰好落在线段上，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，根据旋转可得：，即可得到结论．【详解】解：由旋转可得：，，，，．故选：C．7.如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（）A.3.1 B.4.2 C.5.3 D.6.4【答案】B【解析】【分析】取AB的中点O，分别连接OC、OB，由垂径定理及勾股定理可求得OC的长，根据垂线段小于斜线段，则OP的值介于OC与OB之间，由此可求得结果．【详解】如图，取AB的中点O，分别连接OC、OB，则OC⊥AB，且在Rt△OBC中，OB=5，由勾股定理得：点P线段BC上，则，即由对称性，当点P在线段AC上时，∴当点P在弦AB上时，∵∴选项B符合题意故选：B【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段小于斜线段等知识，垂线段小于斜线段是问题的关键．8.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为（）寸A.13 B.24 C.26 D.28【答案】C【解析】【分析】设⊙O的半径为r．利用垂径定理求得AC=5，在Rt△ACO中，，，则有，解方程即可．【详解】设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，∴AC=AB=，设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，，，则有，解得，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．9.如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最小值为（）A.1 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了旋转的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，连接．解直角三角形求出，，再根据即可解决问题．【详解】解：如图，连接．在中，，，，，，是的中点，是的中点，，，由旋转的性质得：，，，，，即，的最小值为，故选：B．10.李同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图象，请根据图象判断，当方程有两个实数根时，常数满足的条件是（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，先求得顶点坐标，然后结合图象即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：由题意得，∴，∴顶点坐标为，当有两个实数根时，∴或，故选：．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11.如果点关于原点的对称点为，则______．【答案】2025【解析】【分析】本题考查了关于原点对称的点的特点，代数式求值，解题的关键是熟练掌握根据关于原点对称的点的特点求出x和y的值．根据关于原点对称的点的特点，可求出x和y的值，即可进一步得到答案．【详解】点关于原点的对称点为，，，．故答案为：2025．12.若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为______．【答案】3【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，m＋n＝4，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m，n分别是一元二次方程的两个根，∴，，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．13.如图，在等腰中，，将绕点A逆时针方向旋转得到，交于点E，则____________________．【答案】##【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，得出，根据勾股定理可求出，再得出，根据勾股定理求出，最后根据即可求解．【详解】解：∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴，即，解得：，则，∵绕点A逆时针方向旋转得到，∴，∴，根据勾股定理可得：，即，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，含角直角三角形的特征，解题的关键是掌握相关性质定理，并熟练运用．14.如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段．（1）旋转中心是______，（2）旋转角为______．【答案】①.或②.【解析】【分析】本题考查了旋转的性质；①当点的对应点为点时，②当点的对应点为点时，根据网格的特点得出旋转中心与旋转角，即可求解．【详解】解：①当点的对应点为点时，连接、BD，分别作线段、BD的垂直平分线交于点，如图所示，点的坐标为，点的坐标为，点坐标为；根据网格可得②当点的对应点为点时，连接AD、，分别作线段AD、的垂直平分线交于点，如图所示，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．根据网格可得综上所述：这个旋转中心的坐标为或，旋转角为90°故答案或；．三、（本题每小题8分，满分16分）15.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标；（2）画出绕原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标．【答案】（1）见详解，（2）见详解，【解析】【分析】（1）从三角形的各点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可，然后从图形中读点的坐标即可；（2）让三角形的各顶点都绕点顺时针旋转后得到对应点，顺次连接，然后从图形中读点的坐标即可．【小问1详解】根据图形结合坐标系可得；【小问2详解】根据图形结合坐标系可得．【点睛】本题考查作图-旋转变换以及中心对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16.如图所示，求证：直径是中最长的弦．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了圆的概念，在中，由三角形任意两边之和大于第三边有，结合，故大于，即可得出结论．【详解】证明：如图，是中的任一直径，是圆内任意一条弦，连接，则，∵，∴，∴直径是圆中最长的弦．四、（本题每小题8分，满分16分）17.已知四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图．（1）如图①，点为AB上任意一点，在CD上找出另一点，使；（2）如图②，点为BD上任意一点，在BD上找出一点，使．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查作图，平行四边形的性质；（1）连接交BD于点，作直线交CD于点，点即为所求作．（2）连接交BD于点，作在交于点，作直线交AD于点，连接CF交BD于点，点即为所求作．【小问1详解】如图，点即为所求作．【小问2详解】如图，点即为所求作．18.如图，在中，，，，由绕点顺时针旋转得到，其中点与点、点与点是对应点，连接，当，，在同一条直线上，求的长．【答案】【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，由直角三角形两锐角互余可得，进而得，再根据旋转的性质可得，，，，，即可得，利用三角形外角性质可得，即得，得到，最后根据线段的和差关系即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．【详解】解：，，，，绕点顺时针旋转得到，，，，，，为等腰三角形，，、、在同一条直线上，，，∴，，．五、（本题每小题10分，满分20分）19.如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．【答案】证明见解析【解析】【分析】设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得．【详解】解：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中，CN=，∵ON⊥CD，∴CD=2CN=2，∵OM⊥AB，∴，在△AOM中，OM=，∴．20.如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，点的对应点恰好落在的延长线上，边交边于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，（1）连接、，根据矩形的性质得到，即，根据旋转的性质即可得到结论；（2）先证，再根据全等三角形的性质得到，设，则，，根据勾股定理列方程即可得到结论．【小问1详解】证明：如图，连接，，∵四边形为矩形，∴，即，∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，∴，；【小问2详解】解：∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，∴，，∵，，，设，则，，由勾股定理得：，∴，解得：，．六、（本题满分12分）21.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为．（1）如图1，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．【答案】（1）x=25；（2）小敏的说法不正确．【解析】【分析】（1）根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽计算即可；（2）由（1）可知y是x的二次函数，根据二次函数的性质分析即可．【详解】（1）∵，∴当x=25时，占地面积y最大；（2）=，∴当x=26时，占地面积y最大．即当饲养室长为26m时，占地面积最大．∵26-25=1≠2，∴小敏的说法不正确．考点：二次函数的应用；最值问题．七、（本题满分12分）22.如图1，D是内一点，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．（1）求证：．（2）交于点F，当B，D，E三点共线时，直接写出的度数．（3）若将图1中的点D移至边上，将绕点A逆时针旋转得到，连接．将平移得到（点A与点D对应），连接，如图2所示．判断的数量关系和位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）（3），，见解析【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得，，从而得到，可证得，即可；（2）根据旋转的性质可得，，从而