专题01集合与常用逻辑用语（讲义）

专题01集合与常用逻辑用语易错点一对集合表示方法理解存在偏差易错点二忽视集合元素的互异性易错点三忽视最高项系数为0易错点四函数不等式解集的补集,忽略函数的定义域易错点五根据或求参数取值范围,忽略的情况易错点六全称命题与特称命题的否定出错易错点七判断充分性必要性位置颠倒易错点八混淆“充分条件”与“充分不必要条件”易错点一对集合表示方法理解存在偏差注意：①一定要清楚符号“{的属性}”表示的是具有某种属性的的全体，而不是部分；②一定要从代表元素入手，弄清代表元素是什么例1．（湘豫名校联考2023届高三4月二模理科数学试题）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式不等式求出集合A，根据指数函数的性质求出集合B，结合交集的定义和运算即可求解.【详解】由，得，解得，所以；由，得，所以，所以.故选：D.例2．（2023·广西桂林·校考模拟预测）设集合，则集合的子集的个数为（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】结合集合交集的定义、子集个数公式进行求解即可.【详解】由题意可得，，因此集合的子集的个数为，故选：A易错点二忽视集合元素的互异性注意：当集合含字母时，要记得检验，否则可能导致集合中出现相同元素例3．（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可.【详解】由知：，当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；当，即或，若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；若，则，，满足要求.综上，.故选：A例4．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性求解.【详解】因为集合，集合，且，所以，所以若，不满足元素互异性，则或，满足互异性，所以.故选：C．易错点三忽视最高项系数为0注意：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论例5．（江西赣州·高三上犹中学校考周测）已知集合中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】原问题转化为方程至多只有一个根，分，即可求解.【详解】由题意，原问题转化为方程至多只有一个根，当时，方程为，解得，此时方程只有一个实数根，符合题意；当时，方程为一元二次方程，所以，解得．综上，实数a的取值范围为．故选：D例6．（2022春·重庆市万州第二高级中学高三模拟预测）已知集合，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】讨论和两种情况，当时，结合一元二次不等式知识列出不等式组，解得a的范围，综合可求得答案.【详解】当时，即，该式不成立，此时，符合题意；当时，要使集合，需满足，解得，综合可得实数的取值范围为，故答案为：易错点四分式不等式求补集不能直接改变不等号方向注意：分式不等式求解需考虑分母不等于0，故不可直接改变不等号方向例7．（2023·山西朔州·统考二模）若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据分式不等式的解法求出集合，再根据交集和补集的定义即可得解.【详解】由得，则，解得，所以，则，所以.故选：D.例8．（2023·全国·模拟预测）已知集合，，则（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】求解分式不等式化简集合，根据对数函数的性质化简集合，再由数轴法得出．【详解】因为，所以且，解得，所以，所以或．又因为，所以，解得，所以，所以或．故选：B．易错点五根据或求参数取值范围,忽略的情况注意：解隐含有空集参与的集合问题时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性例9．（2022秋·江西·高一统考阶段练习）已知，，且，则a的取值范围为_________．【答案】【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解.【详解】由题意，集合，当时，即，解得，此时满足，当时，要使得，则或，当时，可得，即，此时，满足；当时，可得，即，此时，不满足，综上可知，实数的取值范围为.故答案为：.例10．（2023春·湖南·高三阶段练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式，确定集合A，讨论m的范围，确定B，根据题意推出，由此列出不等式组，即可求得答案.【详解】由题意集合，，若，则，此时，因为“”是“”的必要不充分条件，故,故；若，则，此时，因为“”是“”的必要不充分条件，故,故；若，则，此时，满足,综合以上可得，故选：C易错点六全称命题与特称命题的否定出错注意：对全称、特称命题的否定，不仅要否定结论，而且还要对量词“”进行否定，其余不需要否定例11．（2022秋·辽宁本溪·高三本溪高中校考期中）若命题，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题改写即可.【详解】因为命题，所以为，故选：C.例12．（2023·河南郑州·统考二模）命题：，的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，.故选：D易错点七判断充分性必要性位置颠倒注意：“是的充分条件”与“的充分条件是”例13．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）条件，，则的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对于命题，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项.【详解】若，使得，则，可得，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，故当时，，即，所以，的一个必要不充分条件是.故选：A.例14．（2023·青海西宁·统考二模）使“”成立的一个充分不必要条件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可．【详解】对于A，若，，当时，成立，所以“，”“”，A不满足条件；对于B，，，则，即，所以“，”“”，若，则，不妨取，，，则，所以“，”“”，所以“，”是“”的充分不必要条件，B满足条件；对于C，若，则，使得，即，即“”“，”，所以“，”是“”的充分条件，C不满足条件；对于D，若，，则，即，当且仅当时，等号成立，所以“，”“”，D不满足条件.故选：B.易错点八混淆“充分条件”与“充分不必要条件”注意：充分条件包含充分必要条件和充分不必要条件例15．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得.【详解】因为方程至多有一个实数根，所以方程的判别式，即：，解得，利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.故选：BC.例16．（2023·吉林·统考三模）已知直线与平面，，，能使的充分条件是（

）A．， B．，C．， D．，，【答案】C【分析】对于A，判断可能平行，可能相交，可知A的正误；对于B，判断，可判断B；对于C，根据面面垂直的判定定理可判断；对于D，判断相交但不一定垂直，可判断D.【详解】对于A，当，时，可能平行，可能相交，但不一定垂直，A错误；对于B，当，时，，B错误；对于C，，，根据面面垂直判定定理可知，C正确；对于D，当，，时，，但相交但不一定垂直，如图示：故D错误；故选：C例17．（2022秋·高一单元测试）下列命题中真命题的是（

）A．“”是“”的充分条件B．“”是“”的充要条件C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的必要条件【答案】AB【分析】根据不等式的性质，判断各选项的结论.【详解】当时，A选项正确；时有，时有，B选项正确；当，时，满足，但，故C选项不正确；与没有关系，不能相互推出，因此D选项不正确．故选：AB一、单选题1．（江西省吉安市2023届高三模拟测试数学（理）（一模）试题）已知全集.设集合,则(

)A． B．或C．或 D．【答案】D【分析】根据已知分别求出集合,再根据补集和并集的定义求解即可.【详解】由不等式,解得,∴或;由不等式,解得或,∴.故选:D.2．（2023春·山西大同·高二校考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简集合，判断两个集合之间的关系即可得答案.【详解】由题可得，，所以，且，，.故选：B.3．（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】C【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合，若，，或，当时，，此时；当时，，此时；所以或.故选：C4．（2022秋·浙江金华·高三校考阶段练习）设，，若，则实数组成的集合的子集个数有（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【分析】解方程可得，再根据可得或或，分别求解得的值，进而可得实数组成的集合的子集个数.【详解】，，，或或，当时，，当时，，得，当时，，得，实数组成的集合为，其子集的个数为.故选：D.5．（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）设全集，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知得出全集，即可根据集合的补集运算得出答案.【详解】解得，则全集，则，故选：D.6．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．．【答案】C【分析】根据一元二次不等式解法求得集合，由对数的性质可求出集合，再运用集合运算法则即可求解.【详解】依题意，由，得，解得；由，得，解得；所以，，所以．故选：C.二、多选题7．（2023秋·福建厦门·高三统考期末）已知集合,若是的充分条件,则a可以是（

）A．1 B．0 C．1 D．2【答案】AB【分析】根据充分条件的概念,得出集合之间的包含关系,即可得出的范围,选出选项.【详解】解:因为是的充分条件,所以,所以有.故选:AB8．（2022秋·广东汕头·高三汕头市第一中学校考期中）使不等式成立的充分不必要条件可以是（

）A． B． C．

D．【答案】BC【分析】根据一元二次不等式的求解得解集为，进而根据集合的包含关系即可判断.【详解】不等式的解为，由于，，故使不等式成立的充分不必要条件可以是以及，是成立的充要条件，是成立必要不充分条件.故选：BC9．（2022秋·福建福州·高三期末）若是关于的不等式成立的必要条件，则的值可以是（

）A．1 B．0 C． D．【答案】BC【分析】首先求出这两个不等式的解集A、B，根据题意可得，即可求出的取值范围.【详解】因为，解得：，设，设不等式的解集为，因为是关于的不等式成立的必要条件，所以，因为，则，当即，，满足题意；当即，则，所以，所以符合题意；当即，则，所以，因为，所以，解得：，所以.综上所述，的取值范围为：.故选：BC.三、填空题10．已知命题”为真命题，则实数的取值范围为______________.【答案】【分析】为真命题，即方程在范围内有实根，解得答案.【详解】为真命题，即方程在范围内有实根，故，故.故答案为：11．（2023·吉林·统考二模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】分析可知命题“，”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，在时，直接验证即可；当时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.当时，由可得，不合乎题意；当时，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.12．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知集合，集合，且，则实数的值是______.【答案】【分析】根据集合交集的性质分类讨论进行求解即可.【详解】由，知，若，则，此时，，，舍去；若，则，此时，，，满足题意；若，此时无实数解，综上知，，故答案为：13．（2023·高三课时练习）写出“”的一个充分非必