第05讲数列章节总结精讲-2023年高考数学一轮复习（新教材新高考）

第05讲数列章节总结(精讲）一、数列求通项题型一：数列前项和法题型二：数列前项积法题型三：累加法；累乘法题型四：构造法题型五：倒数法题型六：隔项等差(等比）数列二、数列求和题型一：倒序相加法题型二：分组求和法题型三：裂项相消法题型四：错位相减法题型五：奇偶项讨论求和题型六：插入新数列混合求和一、数列求通项题型一：数列前项和法例题1．设正项数列的前项和为，且.求的通项公式；【答案】(1)当时，，即，解得或（舍），∴，因为，所以当时，，∴，∴.∵，∴，∴是以7为首项，3为公差的等差数列，∴.例题2．已知数列的前项和为，，且，．求数列的通项公式；【答案】(1)当时，，故，又，且，，满足，故数列为公差为3的等差数列，通项公式为，例题3．已知数列的首项，前项和为，且满足．求及；【答案】(1)；由，得．因为，所以．又①，②，①②得即．又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．故．例题4．已知数列满足．求数列的通项公式；【答案】(1)(2)⑴

①

②①②可得当时，数列的通项公式为例题5．已知数列满足：，．求数列的通项公式；【答案】（1）（）．（2）证明见解析由已知得由，①得时，，②①②得∴，也适合此式，∴（）．例题6．各项均为正数的数列的前项和为，，数列为等比数列，且.(1)求数列､的通项公式；【答案】(1)，∵①，∴，∵，∴当时，②，由①②得∴，又，∴，∴数列是公差为1，首项为1的等差数列.∴∵，，数列为等比数列，∴例题7．设数列满足，.求数列的通项公式；【答案】（1）；因为，，①所以当时，.当时，，②①②得，．所以.因为，适合上式，所以.例题8．已知正项数列满足，前n项和满足求数列的通项公式；【答案】(1)；解：∵∴∴，∴是以1为首项，1为公差的等差数数列，∴，即，当时，，当时，也成立，∴.例题9．已知数列的前n项和，满足，.求证：数列是等差数列；【答案】(1)证明见解析证明：∵∴由已知易得，∴∴数列是首项，公差为的等差数列；例题10．已知首项为1的数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)依题意，，故，因为，所以，又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，．当时，，又当n＝1时，也满足上式，所以．题型二：数列前项积法例题1．数列的前项和为，数列的前项积为，且．求和的通项公式；【答案；当时，，当时，，所以，因为，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；当时，，当时，，时也符合，所以．例题2．已知数列满足．求数列的通项公式：【答案】(1)；由题意，数列满足，则：当时，，得：，当时，，所以：．由于：，所以：，则：．例题3．设各项为正数的数列的前项和为，数列的前项积为，且．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析；(2)(1)当时，，即，则，当时，由得：，所以，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.(2)由（1）可知，解得，所以，经检验，满足，，当时，，由（1）知，综上所述，例题4．已知数列的前n项积.(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项为，求的最小值.【答案】(1)(2)(1).当时，；当时，，也符合.故的通项公式为.(2)，，是以为首项，2为公差的等差数列，，当时，的最小值为.例题5．设首项为2的数列的前项积为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)(1)∵，∴，即，由累乘法得，，当时，也满足上式，∴.(2)由（1）知，，∴，则例题6．已知数列的前项积，数列为等差数列，且，．(1)求与的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)，．(2).(1)解：因为数列的前n项积，所以，所以，两式相除得，因为数列为等差数列，且，，所以，即，所以数列的公差为，所以，所以，．(2)解：由（1）得，所以，，所以，所以.题型三：累加法；累乘法例题1．（1）已知数列是正项数列，，且．求数列的通项公式；（2）已知数列满足，，．求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）.解：（1）由，得，对任意的，，则，则，所以，数列是公比为的等比数列，，；（2）由，得：，又，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，得，当时，，，，，累加得，，则，也满足，故对任意的，.例题2．已知数列的前项和为，且满足，数列满足，，.(1)求数列，的通项公式；【答案】(1)，，由，得当时，，当时，，两式相减得，，数列是首项为2，公比为2的等比数列，.由，，，，得，，…，，累加得，，.例题3．已知数列的前项和为，已知，且当，时，．(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：由题意，当时，∴，整理，得，∵，∴，∴，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列；(2)由（1）知，，则，，，…，，各项相加，可得，当也成立，1，，故，综上，.例题4．已知数列满足，，.(1)求的通项公式.【答案】(1)(1)解：由，得，，…，，由累加法得，所以，又满足，又因为，所以.例题5．数列满足，，．（，）．(1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；【答案】(1)证明见解析，(1)解：由，得，，又，则，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，当时，，则=，又当时，符合上式，∴．例题6．已知数列满足：且.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)由已知以及可知，从而有，根据累乘法得：，整理得：，由于该式对于也成立，于是数列的通项公式为：；例题7．数列与满足，且，．(1)若是等比数列，，求的前项和；(2)若是各项均为正数的等比数列，前三项和为14，求的通项公式．【答案】(1)(2)(1)设的公比为q，，，∴∴，∴数列是等差数列，且公差，前n项和．(2)设的公比为p，则，且得，，则．即，∴．符合上式，∴．例题8．已知是数列的前n项和，，且当时，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，若，求正整数的值．【答案】(1)；(2).(1)由题意知当时，，∴，整理得，由，∴，经检验，也符合．∴当时，．由也满足，∴数列的通项公式为．(2)由（1）得，∴．由，得.例题9．已知等差数列的前项和为，满足，．数列满足，，．(1)求数列，的通项公式；【答案】(1)；；(1)设等差数列的公差为d，由题意可得：，解得：，所以，所以数列的通项公式为；因为数列满足，，，所以当时，，又满足，所以数列的通项公式为.例题10．数列满足：；数列满足：，且.求数列和的通项公式；【答案】(1)，当时，;当时，与条件等式两边相减，得所以.所以=1,.故有所求通项公式分别为和题型四：构造法例题1．设数列的前项和．求数列的通项公式；【答案】(1)因为，①时，，时，②①②得，所以，，所以数列是为首项，为公比的等比数列，故例题2．已知数列的首项，且满足（），求数列的通项公式.【答案】由，得，因为，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.例题3．已知数列中，，，求数列的通项公式.【答案】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又，∴，∴.例题4．设数列满足：.求数列的通项公式.【答案】.由知：，而，∴数列是首项、公差为的等差数列，即，∴.例题5．已知数列满足.求数列的通项公式；【答案】（1）；（2）.解：由，可得=1，则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，则=，即；例题6．已知数列的前项和为，其中，满足．证明数列为等比数列；【答案】（1）证明见解析；由可得，因为，所以所以数列是首项为2，公比为2的等比数列例题7．已知数列中，．证明数列是等比数列并求数列的通项公式；【答案】证明见解析；．解：因为，所以．所以，且．所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．因此，所以．题型五：倒数法例题1．已知数列中，，证明：数列是等比数列【答案】（1）证明见解析；证明：由，知又，∴是以为首项，3为公比的等比数列例题2．设数列的前项和为，已知，.求数列的通项公式；【答案】（1）；（1）由可得：，即，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，整理可得：.例题3．已知数列满足，.求数列的通项公式；【答案】（Ⅰ）；，，又，所以是以为首项，以为公比的等比数列，，；例题4．在数列中，求数列的通项；【答案】（1）解：（1）由已知得：，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，，例题5．在数列中,,并且对于任意,都有.证明数列为等差数列,并求的通项公式;【答案】（1）答案见解析,（2）,即:,数列是首项为,公差为的等差数列.根据等差数列通项公式可得:,故:.题型六：隔项等差(等比）数列例题1．设各项均不等于零的数列的前项和为，已知.求的值，并求数列的通项公式；【答案】(1)，，因为，当时，，所以，当时，，所以，又因为，当时，，两式相减得：，又因为，所以，当为偶数时，的奇数项是以为首项，公差为4的等差数列，所以，当为奇数时，的偶数项是以为首项，公差为4的等差数列，所以，所以，.例题2．已知数列的前项和，，，．计算的值，求的通项公式；【答案】(1)，解：当时，，解得，由题知①，②，由②①得，因为，所以，于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，即，偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，即所以的通项公式；例题3．已知数列各项都不为，且满足，(1)求的通项公式；【答案】(1)；①当时，②①②的奇数项和偶数项各自成等差数列且为奇数），（为偶数例题4．设数列的前项和为，且满足（为常数）.(1)若，求.(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，解：（1）由可得，两式相减可得，即.若，则，所以.(2)解：存在，使得数列为等差数列.理由如下.当时，，得；当时，，得；当时，，得.假设存在，使得为等差数列，则，解得，所以，则，从而，故数列的奇数项构成等差数列，偶数项也构成等差数列，且公差均为2.当为偶数时，；当为奇数时，.所以，，故符合题意.例题5．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列满足，，.求数列的通项公式；【答案】(1)解：由题意，当时，，可得，因为，可得，所以，，所以数列的奇数项和偶数项都是公比为的等比数列.所以当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则.因此，.例题6．（2022·浙江省富阳中学高三阶段练习）数列满足，求数列的通项公式；【答案】(1)依题意，数列满足，，两式相除并化简得，，所以是公比为的等比数列，其中的首项为，的首项为.所以，所以.二、数列求和题型一：倒序相加法例题1．已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上，函数.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)令，求数列的前2020项和.【答案】(1)(2)(3)(1)因为点均在函数的图象上，所以，当时，，当时，，适合上式，所以.(2)因为，所以，所以.(3)由（1）知，可得，所以，①又因为，②因为，所以①②，得，所以.例题2．（2021·全国·高二）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足．（1）分别求数列、的通项公式；【答案】（1），；（2）存在，．（1），，，时满足上式，故（），∵，∴，∵①∴②∴①+②，得，∴.例题3．（2020·河南大学附属中学高二阶段练习）已知函数，设数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）若记，2，3，，，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.（1）因为，所以由得，所以，，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以.（2）由（1）知，则，，，所以，，，两式相加，得：，所以.例题4．（2021·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，函数对任意的都有，数列满足….（1）求数列，的通项公式；【答案】（1），（2）（1）因为即当时，，当时，，，即是等比数列，首项为，公比为，；因为，.故….….①+②，得，题型二：分组求和法例题1．已知数列是等差数列，是等比数列，，，，.(1)求、的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)(1)设等比数列的公比为，则，；又，，设等差数列的公差为，则，.(2)由（1）得：；.例题2．已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，满足，，是与的等差中项．(1)求数列，的通项公式；(2)若，是数列的前项和，求．【答案】(1)，；(2).(1)设等差数列的公差为d，依题意可知：，所以数列的通项公式为，设等比数列的公比为q，依题意可知：，又，所以，又，∴，所以数列的通项公式为；(2)由（1）可知：所以.例题3．已知等差数列的前项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和．【答案】(1)；(2).(1)解：设数列的公差为，由题意知，解得.所以.(2)解：，所以，例题4．已知是等差数列，其前项和为，若，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求.【答案】(1)(2)(1)设数列的公差为，则,∵成等比数列，∴，∴，∴，得：或（舍去），∴.(2)由于，所以.题型三：裂项相消法例题1．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析(1)设公差为，因为，，成等数列，所以，即，解得，或（舍去），所以;(2)证明：由（1），所以，，所以．例题2．已知数列对任意的都满足．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和为．【答案】(1)(2)(1)解：∵，∴当时，，当时，，从而有，即当时，，又满足上式，故数列的通项公式为．(2)解：由题可知，，所以，，所以.例题3．等比数列中，首项，前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)(1)设数列公比为，由，，可得，化简得，即，所以．(2)由（1）得，所以所以..例题4．已知数列的前项和为，若.(1)求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；(2)令，设数列的前项和为，若，求的最小值.【答案】(1)证明见解析，(2)3(1)证明：由：①时，得.时：②①②即.，数列是首项为2公比为2的等比数列..(2)由（1）得，所以，若，n的最小值为3.例题5．设等比数列满足，．(1)求的通项公式；(2)若，记数列的前项和为，求的取值范围．【答案】(1)(2)(1)解：设公比为，由，，所以，解得，，所以．(2)解：由（1）及，所以，所以因为，即单调递增，所以，又，所以，即；例题6．已知数列中，．(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析；(2)(1)解：，即为·······①，又，········②，①②得，即，又当时，，故；从而，所以是首项为1，公比为2的等比数列；(2)由（1）得，所以，.例题7．已知数列和的通项公式：，(1)求数列的前项和．(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)(1)，，，相减得，所以．(2)因为，所以例题8．已知等差数列{}的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.(1)求数列{}的通项公式；(2)令，设数列{}的前项和，求.【答案】(1)(2)(1)因为等差数列{}的公差为2，前n项和为，所以，因为，，成等比数列，由题意得，解得，所以(2)由题意可知，当n为偶数时，所以.例题9．已知等差数列的前项和为，且，；数列的前项和，且，数列的，．(1)求数列、的通项公式；(2)若数列满足：，当时，求证：．【答案】(1)，(2)证明见解析(1)解：因为，由，得，所以，即，设等差数列的公差为d，所以，所以．由，，得，，两式相减得，即，又，所以数列是以1为首项、2为公比的等比数列，则；(2)由（1）知：，，∴．题型四：错位相减法例题1．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．(1)求、的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)(1)设公差为d，公比为q，则，，，∴．又∵，，∴，．(2)，∴，，则，两式相减得，则，．例题2．设数列的前项和满足（），且.(1)求证：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和【答案】(1)证明见解析；(2).(1)∵，∴，两式相减得，又且，解得，即.∴，即，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.(2)由（1）知，∴，则，①②得：，故.例题3．设数列的前项和为，若．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2).(1)因为．所以，解得．当时，，所以，所以，即．因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．(2)由（1）知，所以，所以…①…②①②得，所以．例题4．若数列满足，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)(1)因为数列满足，，，所以.所以数列为等比数列，设其公比为q（）.所以，解得：.所以.即的通项公式为.(2)由（1）可知：，所以，所以

①得：

②①②得：所以例题5．已知数列满足，且.(1)求，，并猜想的通项公式；(2)用数学归纳法证明（1）的猜想结果；(3)设数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)，，猜得：(2)证明见解析(3)(1)因为，且，所以令，则，得，令，则，得，猜得：.(2)证明：（i）时，猜想成立，（ii）假设时猜想成立，即，则时，由，解得，即时猜想成立，综上，时，猜想成立，即.(3)由已知得，则记为①式记为②式①式与②式相减得：，整理得，所以.例题6．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)(1)设等比数列的公比为，当时，，所以，，无解．当时，，所以解得，或，（舍）．所以．(2)．所以①，则②，①－②得，．所以．题型五：奇偶项讨论求和例题1．设各项非零的数列的前项和记为，记，且满足．(1)求的值，证明数列为等差数列并求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)；证明见解析；(2)(1)由题意可知，，且，解得：或（舍去）又当时，，所以有化简得：，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列所以(2)由(1)可知当时，当时，则，①当是奇数时，②当是偶数时，综上所述：例题2．已知数列满足，.(1)证明：数列为等比数列.(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：因为，，所以，所以数列是首项为4，公比为4的等比数列；(2)解：由（1）可得，即，则.当n为偶数时，，则，当n为奇数时，则，综上所述，.例题3．设数列的前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求的表达式【答案】（1）；（2）.（1）当时，，即，当时，，即，因此，所以即，经检验，时成立，所以．（2），所以，当n为偶数时；当n为奇数时，．综上所述，．例题4．已知等差数列满足：，.（1）求的通项公式；（2）若数列满足：，求的前项和.【答案】（1）；（2）为偶数，；为奇数，；（1）设等差数列的公差为，由，，得，解得，，故的通项公式为.（2）由于，①若为偶数，结合，得；②若为奇数，则.综上，当为偶数时，，当为奇数时，.例题5．记数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求【答案】（1）；（2）（1）当时，由，可得，即有当时，，即为，可得，显然，.所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，则，即有（2）当为偶数时当为奇数时，综上可得，题型六：插入新数列混合求和例题1．数列的前项和为，数列满足，且数列的前项和为．(1)求，并求数列的通项公式；(2)抽去数列中点第1