42指数函数（备作业）2021-2022学年高一数学（人教A版2019）

4.2指数函数一、单选题1．（2021·上海高一专题练习）下列是指数函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的概念依次讨论即可得答案.【详解】根据指数函数的特征:系数为1，底数满足且，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足,D满足.故选：D.2．（2021·全国高一课时练习）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合B，进而通过集合的交集运算求出.【详解】对集合B，由题意：，所以，则，.故选：A.3．（2021·全国高一单元测试）指数函数的图象经过点，则a的值是（）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得的值.【详解】因为的图象经过点，所以，解得，故选：B.4．（2021·全国高一课时练习）已知函数y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝（）A．1 B．3C．4 D．2【答案】C【分析】由指数型函数过定点求解处m点的坐标，进而求值.【详解】由题意知，当x＝1时，y＝3，故A(1，3)，m＋n＝4,故选：C.5．（2021·上海高一专题练习）函数且的图像（）A．与的图像关于轴对称 B．与的图像关于坐标原点对称C．与的图像关于轴对称 D．与的图像关于坐标原点对称【答案】D【分析】利用函数的对称性即可求解.【详解】函数y=ax是把y=ax中的x换成x，把y换成y，所以两个函数的图像关于原点对称，故选：D.6．（2020·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高一月考）函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，则，求得的取值范围，利用指数函数的单调性即可求得结果.【详解】令，则，而，所以.故选：B.7．（2021·全国高一课时练习）已知（，且），且，则a的取值范围是（）A．（0，＋∞） B．（1，＋∞）C．（－∞，1） D．（0，1）【答案】D【分析】由，且，排除AC；利用指数函数的单调性排除B，确定D.【详解】由，且，排除AC；∵，当时，为单调递减函数，∴，与已知矛盾矛盾，故B错误；当时，为单调递增函数，∴，符合题意.故选：D.8．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））函数的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断函数的奇偶性排除选项A，再根据排除选项D，又当时，，排除选项C,即得解.【详解】由题得，函数的定义域关于原点对称.,所以函数是奇函数，所以排除选项A；又，所以排除选项D；又当时，，，指数函数是爆炸式增长，所以，，所以排除选项C；故选：B二、多选题9．（2021·全国高一课时练习）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】对分类讨论，结合指数函数的单调性，求得函数的最大值和最小值，列出方程，即可求解.【详解】当时，函数在区间上为单调递增函数，当时，，当时，，所以，即，解得或，因为，所以；当时，函数在区间上为单调递减函数，当时，，当时，，所以，即，解得或，因为，所以.综上可得，实数的值为或.故选：BC10．（2021·江苏金陵中学高二期末）若直线与函数，且的图象有两个公共点，则可以是（）A．2 B． C． D．【答案】CD【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得．【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点，当时，的图象如图（1）所示，由已知得，；当时，的图象如图（2）所示，由已知可得，，结合可得无解．综上可知的取值范围为．故选：．11．（2021·山东高一期末）若函数（且）在上为单调函数，则的值可以是（）A． B． C． D．2【答案】ABD【分析】根据指数函数与一次函数的性质得到不等式组，需注意断点处函数值的大小关系；【详解】解：因为函数（且）在上为单调函数，所以或，解得或，所以满足条件的有ABD；故选：ABD12．（2021·全国高一专题练习）已知函数，下面说法正确的有（）A．的图像关于原点对称 B．的图像关于y轴对称C．的值域为 D．，且【答案】ACD【分析】判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项.【详解】的定义域为关于原点对称,，所以是奇函数，图象关于原点对称，故选项A正确，选项B不正确；，因为，所以，所以，，所以，可得的值域为，故选项C正确；设任意的，则，因为，，，所以，即，所以，故选项D正确；故选：ACD【点睛】利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值作差变形定号下结论.三、填空题13．（2021·宁夏银川市·银川一中高二期中（文））已知函数的定义域和值域都是，则______．【答案】【分析】分、两种情况讨论，分析函数的单调性，可得出关于实数、的等式组，解出这两个未知数的值，即可得出结果.【详解】当时，函数在上为减函数，则，解得；当时，函数在上为增函数，则，无解.综上所述，，，故.故答案为：.14．（2021·宁夏银川市·银川一中高二期中（文））函数的单调递减区间是______．【答案】【分析】令，求得函数的单调区间，再根据指数函数得单调性结合复合函数的单调性即可得出答案.【详解】解：令，则，则函数在上递增，在上递减，又是减函数，根据复合函数得单调性得函数的单调递减区间是.故答案为：.15．（2020·江苏省西亭高级中学）若，则不等式的解集是__________．【答案】；【分析】由题意利用指数函数的单调性，解一元二次不等式，求得的范围．【详解】解：，则由不等式可得，即解得或，故答案为：．16．（2021·安徽（文））已知函数，则_____________.【答案】505【分析】利用配对计算．【详解】，∴，故.故答案为：505．四、解答题17．（2021·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）已知奇函数.（1）求的值.（2）求在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据奇函数的定义即可求出结果；（2）根据函数的解析式判断出在区间上单调递增，进而可以求出值域.【详解】（1）因为为奇函数，所以，即，所以，故；（2）由（1）知，由于在上单调递增，因为在上单调递增，故在区间上单调递增，所以，，因此在区间上的值域为.18．（2021·江苏高一课时练习）定义在上的奇函数，已知当时，＝．（1）求在上的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）结合奇函数在原点有意义时，有，即可求出的值，然后根据奇函数的定义即可求出结果；（2）参变分离后构造函数，根据函数的单调性即可求出最大值，从而可以求出结果.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，，所以，解得，所以时，，当时，，所以，又，所以，，即在上的解析式为.（2）因为时，，所以可化为，整理得，令，根据指数函数单调性可得，与都是减函数，所以也是减函数，，所以，故数的取值范围是.19．（2021·全国高一课时练习）给出下列三个条件：①周期为1的函数：②奇函数；③偶函数．请逐一判断并筛选出符合题意的一个条件（均需说明理由），补充在下面的问题中，并求解．已知函数是______．（1）求的值；（2）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）【分析】（1）若选①：利用周期性，可得，求解即可；若选②：利用奇函数的性质，可得，求解即可；若选③：利用偶函数的定义，可得在定义域上恒成立，求解即可．（2）利用（1）中的结论，得到不等式，然后分两种情况求解即可．【详解】解：（1）函数，的定义域为，若选①：是周期为1的函数，则，即，无解，不合题意；若选②：为奇函数，则，即，方程无解，不合题意；若选③：为偶函数，则在定义域上恒成立，即，整理可得，解得，此时为偶函数；所以（2）由，可得，①，即，解得；②，即，此时无解．综上所述，不等式的解集为．20．（2022·全国高三专题练习）（1）已知，求在，上的值域；（2）已知是一次函数，且满足，求的值域及单调区间．【答案】（1），；（2）值域为：，，；单调增区间为：和．【分析