人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：2 3 2 两点间的距离公式

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE12．3.2两点间的距离公式学习目标1.掌握两点间距离公式并会应用.2.用坐标法证明简单的平面几何问题．知识点两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).1．点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.(×)2．当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．(×)3．点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当直线平行于坐标轴时|P1P2|＝|x1－x2|.(×)一、两点间的距离例1如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．解方法一∵|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r(1－32＋7＋32)＝eq\r(104)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－－3)＝－eq\f(2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．延伸探究题中条件不变，求BC边上的中线AM的长．解设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝eq\f(3＋1,2)＝2，y＝eq\f(－3＋7,2)＝2，即点M的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM|＝eq\r(－3－22＋1－22)＝eq\r(26)，所以BC边上的中线AM的长为eq\r(26).反思感悟计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．跟踪训练1已知点A(－1,2)，B(2，eq\r(7))，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．解设P(x，0)，|PA|＝eq\r(x＋12＋－22)，|PB|＝eq\r(x－22＋－\r(7)2)，∵|PA|＝|PB|，∴eq\r(x＋12＋4)＝eq\r(x－22＋7)，解得x＝1，∴P(1,0)，∴|PA|＝eq\r(1＋12＋4)＝2eq\r(2).二、运用坐标法解决平面几何问题例2在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．证明设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．反思感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．跟踪训练2已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝eq\r(b－02＋c－02)＝eq\r(b2＋c2)，|BD|＝eq\r(a－b－a2＋c－02)＝eq\r(b2＋c2).故|AC|＝|BD|.1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于()A．5B.eq\r(37)C.eq\r(13)D．4〖答案〗A〖解析〗|MN|＝eq\r(2＋12＋1－52)＝5.2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于()A．4B．4eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)〖答案〗B〖解析〗∵P(1,1)，Q(5,5)，∴|PQ|＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).3．到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是()A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0〖答案〗B〖解析〗设P(x，y)，则eq\r(x－12＋y－32)＝eq\r(x＋52＋y－12)，即3x＋y＋4＝0.4．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于eq\r(2)的点的坐标是()A．(－4,5) B．(－3,4)C．(－1,2) D．(0,1)〖答案〗BC〖解析〗设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且eq\r(x0＋22＋y0－32)＝eq\r(2)，两式联立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝2.))5．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为_____