2024年河南省开封市祥符区中考数学一模试卷附答案解析

2024年河南省开封市祥符区中考数学一模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.

1.（3分）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作+50元，那么亏损30

元，记作（）

A.+30元B.-20元C.-30元D.+20元

2.（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类#物质文化遗产代表作名录，下列四幅作

品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，乂是中心对称图形的是（）

3.（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使

用.经测算，•粒芝麻的质量约为0.00000201依，将0.00000201用科学记数法表示为（）

A.2.01X10-8B.0.201X10'7

C.2.01X10'6D.20.1X10-5

4.（3分）如图，直线八〃/2，aABC是等边三角形，Zl=50°,则N2的大小为（）

A.60°B.80°C.70。D.1000

5.（3分）学校新开设了航模、足球、绘画三个社团，如果晓晓和洋洋两名同学每人随机选择参加其中一

个社团，那么晓晓和洋洋选到一社团的概率为（）

2111

A.-R.-C.-D.-

3236

6.（3分）已知点（2,-6）在函数的图象上，则下列有关函数的说法正确的是（）

A.该函数的图象经过点（-3,-4）

B.该函数的图象位于第一、三象限

C.当心>0时，），的值随x的增大增大

D.当-1时，y>4

7.（3分）若方程,-x+&=0没有实数根，则k值可以是（）

A.-2B.V2C.-D.-1

5

8.（3分）如图，菱形A8CO中，E、尸分别是AB、AC的中点，若E尸=3,则菱形A8CQ的周长为（）

A.24B.18C.12D.9

9.（3分）如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C,试在方格中建立平面直角坐标系，使点4的坐标为

（-2,4）,则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）

C.(-1,1)D.(2,1)

10.（3分）如图1,在等边三角形A/3C中，AB=2,G是4c边上一个动点且不与点8、C重合，”是AC

边上一点，且NAGH=30°.设AG=x,图中某条线段长为y,），与x满足的函数关系的图象大致如图

D.线段C”

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）若代数式关^有意义，则实数x的取值范围是.

12.（3分）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各

类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃

圾投放量分布的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区500户居民这一天投放的可回收垃圾

共约千克.

有害垃圾5%

13.（3分）请写出一个二次函数解析式，要求满足如下条件：。当x＞（）时，），随着x的增大而增大；②该

二次函数图象向上平移2个单位长度后经过原点.你写出的二次函数解析式为.

14.（3分）如图，在中，ZC=90°,AB=6,AZ）是NBAC的平分线，经过A,。两点的圆的

圆心0恰好落在AB上，0。分别与AB.AC相交于点E、F.若圆半径为2.则阴影部分面积

15.（3分）如图，在等腰口△ABC中，AC=BC=4,ZC=90°,。为边AC的中点，E为边4B上的一

个动点，连接DE,将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A',当A'E1AC时，BE的长度

为.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.（10分）计算或化简：

（1）7=8-（V27-1）°+V64;

（2）1一$4^.

aa'+2a

17.(9分)某中学举行了一次“消防知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取「七年级、八年级两

个年级各50名学生，对他们此次竞赛的成绩(得分取整数，满分为100分)分别进行了整理、描述和

分析.下面给出部分信息.

a.七年级学生竞赛成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组：40WxV5(),50Cx<60,60^x<70,

70WxV80,80WxV90,90^.r<l00)；

从七年级学生竞赛成绩在80Wx<90这一组的是：808181828284868686888889

c.这两个年级学生竞赛成绩的平均数、众数、中位数如表：

成绩平均数中位数众数

七年级学生82m86

八年级学生838584

根据以上信息，回答下列问题：

(1)m=；

(2)你认为在此次竞赛中哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由；

(3)该校七年级有学生80()人，则七年级学生竞赛成绩超过85的人数约是多少？

▲凝热

18.(9分)如图，已知一次函数>=依+8与反比例函数y=?(》>())的图象交于点4(2,3),B(6,1),

与两坐标轴分别交于C,D两点,连接。4,OB.

(1)求出一次函数的表达式和，〃的值；

(2)若点尸在y轴上，且S△出求点P的坐标.

19.（9分）如图,在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔8C,在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76。，

在坡底的点P处测得塔顶B的仰角为45°,已知斜坡长用=26/〃，坡度为1：2.4,点4与点C在同一

水平面上，旦AC〃P。，8cLAC.请解答以下问题：

（1）求坡顶A到地面PQ的距离；

（2）求信号塔的高度.（结果精确到1〃?，参考数据:sin760-0.97,cos76°-0.24,tan76°%4.00）

20,（9分）如图，。。的直径AB与其弦CO相交于点E,过点A的切线交CO延长线于点凡且NAE。

=NEAD.

（1）求证：AD=FD\

（2）若AE=6,sinLAFE=求。。半径的长.

21.（9分）端午节是中国首个入选世界非遗的节日，FI期是每年农历五月初五.民间有“赛龙舟”、“吃粽

子”等习俗.某商场在端午节来临之际准备购进4、4两种粽子进行销售，据了解，用3000元购买4

种粽子的数最（个）比用3360元购买8种粽子的数最（个）多40个，且8种粽子的单价（元/个）是

A种粽子单价（元/个）的1.2倍.

（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？

（2）若商场计划购进这两种粽子共2200个销售，且购买A和粽子的费用不多于购买B种粽子的费用，

写出总费用〉（元）与购买A种粽子数量。（个）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低?

最低是多少元？

22.（1（）分）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一.如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞

行后落在着陆坡8C上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分.这里。4表示起跳点

4到地面0B的距离，OC表示着陆坡8C的高度，OB表示着陆坡底端B到点0的水平距离.建立如图

所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度），（单位：加）与水平距离x（单

fe：m）近似满足函数关系产一金/+〃x+c.已知0人=7（加，0C=6（）〃z,落点夕的水平距离是4（加,

竖直高度是30/〃.

（1）点A的坐标是，点P的坐标是；

（2）求满足的函数关系v=—表/+hx+c；

10

（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水

23.（10分）转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵话应用.

如图1,将△A8C绕点。按顺时针方向旋转60。得到△NMC,连接8M,则8C与8M之间的数量关系

是

(2)拓展探究：

如图2,点D，E分别是8aAe的中点，连接OE,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMM

①求证：ABCMsAACN；

②用等式表示AC与AN之间的数量关系，并说明理由；

(3)问题解决：

点。，F分别是BC,4c的中点，连接OE,将△CQE绕点C旋转得到△CMM请直接写出点A,M,

N在同一直线上时8M的长.

2024年河南省开封市祥符区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.

1.（3分）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作+50元，那么亏损30

元，记作（）

A.+30元B.-20元C.-30元D.十20元

【解答】解：•・•盈利50元，记作：+50元，

，亏损30元，记作：・30元.

故选：C.

2.（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作

品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

C.D.、~/

【解答】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故8选项不合题意；

C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故。选项不合题意；

D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故。选项合题意：

故选：D.

3.（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使

用.经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201依，将0.00000201用科学记数法表示为（）

A.2.01X10-8B.0.201X107

C.2.01X106D.20.1X10'5

【解答】解:0.00000201=2.01X10-6.

故选：C.

4.（3分）如图，直线△ABC是等边三角形，Zl=50°,则/2的大小为（)

A

/i

BC

A.60°B.80°C.70°D.100°

【解答】解:

「△ABC是等边三角形，

・・・NA=60°,

V/1///2,Zl=50°,

AZl=Z3=50°,

，N4=I8O0-Z3-Z4=70°，

.*.Z2=70°.

故选：C.

5.（3分）学校新开设了航模、足球、绘画三个社团，如果晓晓和洋洋两名同学每人随机选择参加其中一

个社团，那么晓晓和洋洋选到一社团的概率为（）

2111

A.-B.-C.—D.~

3236

【解答】解：把航模、足球、绘画三个社团分别记为A、B、C,

画树状图如下：

开始

晓晓ABC

/4\/T\/N

洋洋ABCABCABC

共有9个等可能的结果，晓晓和洋洋选到一社团的结果有3个，

・••晓晓和洋洋选到一社团的概率为:=

93

故选：C.

6.（3分）已知点（2,-6）在函数）=（的图象上，则下列有关函数,，=（的说法正确的是（）

A.该函数的图象经过点（-3,-4）

B.该函数的图象位于第一、三象限

C.当时，），的值随工的增大增大

D.当%>-1时，y>4

【解答】解：•・•点（2,-6）在函数的图象上，

:・k=2X（-6）=-12<0,

.・.函数）,=。位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随工的增大增大，

V-3X（-4）=12片-12,

・••该函数的图象不经过点（-3,-4）,

把-1代入），=一工求得），=12,・••当xA-1时，y>12

X

故选：C.

7.（3分）若方程f-工+&=0没有实数根，则左值可以是（）

L1

A.-2B.V2C.-D.-1

5

【解答】解：•・•方程f-x+A=O没有实数根，

・•・A=（-1）2-4AV0,

解得：

*・；2V*,V2>|,|TV*

・••我值可以是

故选：B.

8.（3分）如图，菱形A8CD中，E、尸分别是A8、AC的中点，若EF=3,则菱形ABC。的周长为（）

A.24B.18C.12D.9

【解答】解：:昆产分别是八8、AC的中点,

：.BC=2EF=6,

•・•四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC=CD=AD=6,

・•・菱形A8CD的周长=4X6=24,

故选:A.

9.（3分）如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C,试在方格中建立平面直角坐标系，使点4的坐标为

（-2,4）,则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）

C.(-1,1)D.(2,1)

【解答】解：如图所示,

\*AW=\f卬〃=3,

：.AH=V12+32=<10：

VBC=3,QH=1,

:・BH=Vl2+32=V10；

:・AH=BH,

同理，AD=BD,

所以G"为线段A3的垂直平分线，

易得EF为线段AC的垂直平分线，

H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，

则BH=AH=HC,

”为圆心.

则该圆弧所在圆的圆心坐标是（-1,1）.

故选：C.

10.（3分）如图1,在等边三角形AAC中，AIJ=2,G是3c边上•个动点且不与点6、。重合，〃是AC

边上一点，且NAGH=30。.设8G=x,图中某条线段长为）,），与x满足的函数关系的图象大致如图

2所示，则这条线段可能是图中的（）

D.线段C”

【解答】解：若线段CG=y,由题意可得，），随x的增大减小，故选项A错误；

若线段AG=），，由题意可得，y随工的增大先增大再减小，并且左右对称，故选项3错误；

若线段4，=），，由题意可得，y随工的增大先减小再增大，故选项C错误；

若线段CH=y,由题意可得，），随X的增大先增大再减小，故选项D正确：

故选：。.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11（3分）若代数式•，上彳有意义,则实数x的取值范围是.\>1.

【解答】解：根据题意得：x-1>0,

.*.x>1.

故答案为：x>\.

12.（3分）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区5（）户家庭某一天各

类生活垃圾的投放最，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总最是100千克，并画出各类生活垃

圾投放量分布的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区500户居民这一天投放的可回收垃圾

共约150千克.

有害垃圾5%

【解答】解：估计该小区5（X）户居民这一天投放的可回收垃圾共约封xlOOX（1-60%-20%-5%）

DXZ

=1000X15%=150（千克），

故答案为：150.

13.（3分）请写出一个二次函数解析式，要求满足如下条件：。当x>0时，），随着x的增大而增大；②该

二次函数图象向上平移2个单位长度后经过原点.你写出的二次函数解析式为v=f-2（答案不唯

一）.

【解答】解：•・•当x>0时，y随着x的增大而增大，

・•・抛物线的顶点坐标在y轴左侧，抛物线开口向上，

•・•二次函数图象向上平移2个单位长度后经过原点，

・••抛物线与y轴的交点为（0,-2）,

，符合条件的二次函数解析式可以为y=--2.

故答案为：），=7-2（答案不唯一）.

14.（3分）如图，在RlZXABC中，ZC=90°,AB=6,AD是N84C的平分线，经过A,。两点的圆的

2

圆心。恰好落在AB上，OO分别与AB.AC相交于点E、F.若圆半径为2.则阴影部分面积

【解答】解：连接OO,。凡

:人。是NZMC的平分线，

：.ZDAB=ZDAC,

\'OD=OA,

：.ZODA=ZOAD,

：,ZODA=ZDAC,

：.0D〃AC,

・・・NO/?B=NC=90°,

I.S△4FT)=5△。行t，

・\SB|=S扇形。卜A，

V0D=0A=2,A8=6,

03=4,

・•.OB=2OD,

，N8=30°,

・・・NA=60°,

'：OF=OA,

△AOF是等边三角形,

・・・NAO尸=60°,

.CC八「60・TT・222兀

••3阴一3扇形ObA=--=可・

故答案为：y

15.（3分）如图，在等腰RtZXABC中，AC=BC=4,ZC=90",。为边AC的中点，£为边A4上的一

个动点，连接。£，将△居0沿。£折叠，点A的对应点为A',当A'E_L4C时，"的长度为_272-2

或2a+2.

当〃在。下方时，如图:

•・・AC=8C=4,ZC=90°,

：.AB=4y[2,NA=45°，

•・•将△ABC沿。E折叠，点A的对应点为A',。为边AC的中点,

・・・NA'=NA=45°，AD=AD=2,

•・WEA-AC,

：.AAEF,△4D尸是等腰直比三角形,

:・DF==V2»

：.AF=AD+DF=2+>/2,

：.AE=V2AF=2V2+2,

：,BE=AB-AE=4>/2-(272+2)=2&一2；

当尸在。上方时，如图:

A

BC

同理可得4'O=AO=2,

・・・。尸=等=&,

：.AF=AD-DF=2-y[2,

，AE=V2AF=2V2-2,

：.BE=AB-AE=2^2+2：

故答案为：2e-2或2在+2,

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.（10分）计算或化简:

(1)V^8-(V27-1)°+V64；

a2-l

(2)1--

Q2+2Q，

【解答】解:(1)V^8-(x<27-1)°+V64

=-2-1+8

a2-l

(2)

a—la(a+2)

a(a+l)(a-l)

.Q+2

=,-^+l

a+l—a—2

-a+1-

1

a+1,

17.（9分）某中学举行了一次“消防知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了七年级、八年级两

个年级各50名学生，对他们此次竞赛的成绩（得分取整数，满分为100分）分别进行了整理、描述和

分析.下面给出部分信息.

a.七年级学生竞赛成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40WxV50,50«60,60«70,

70WxV80,80WxV90,90^.v<100）；

近七年级学生竞赛成绩在80WxV90这一组的是：808181828284868686888889

c,这两个年级学生竞赛成绩的平均数、众数、中位数如表：

成绩平均数中位数众数

七年级学生82m86

八年级学生838584

根据以上信息，回答下列问题：

（1）m=83；

（2）你认为在此次竞赛中哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由；

（3）该校七年级有学生800人，则七年级学生竞赛成绩超过85的人数约是多少？

【解答】解：（1）将七年级学生竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26位的为82和84,

••・加=（82+84）4-2=83.

故答案为：83.

（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是八年级.

理由是：八年级的平均数和中位数高于七年级.

（3）从样本中可知，七年级学生竞赛成绩超过85的人数为6+18=24（人），

800x翳=384（人。

・••该校七年级学生竞赛成绩超过85的人数约为384人.

18.（9分）如图，已知一次函数）=履+。与反比例函数y=?（x>0）的图象交于点A（2,3）,8（6,1）,

与两坐标轴分别交于C,。两点，连接04OB.

（1）求出一次函数的表达式和〃?的值；

（2）若点P在1y轴上，且S/、PAO=S/\AOB,求点P的坐标.

【解答】解：(1)丁点A(2,3),B(6,1)在一次函数y=心+。(人工0)的图象上，

•嘘解得忙》

・•・一次函数的解析式为y=-3+4.

•・•点A(2,3)在反比例函数y=£。＞0)的图象上，

・・・，〃=2X3=6；

(2)由直线j=-^x+4可知C(0,4),

：.OC=4,

VA(2,3),B(6,1),

•^S/XAOR=SABOC-SMOC=^X4X6-^X4X2=8.

设P(0,)，)，

VB(-3,-2)

则S△用o=x2=4,解得x=±4,

当尸在)，轴上时，设P(0,y),

则S&O8P=|.v|x2=8,

解得)，=±8.

J.点尸的坐标为(0,8)或(0,-8).

19.(9分)如图,在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔8C,在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°,

在坡底的点P处测得塔顶8的仰角为45°,已知斜坡长雨=26/〃，坡度为1：2.4,点A与点C在同一

水平面上，且AC〃PQ,BCLAC.请解答以下问题：

(1)求坡顶A到地面PQ的距离；

(2)求信号塔4C的高度.(结果精确到1m,参考数据:sin760-0.97,cos76°-0.24,tan76°%4.00)

【解答】解：(1)如图，过点A作A"_LPQ,垂足为〃,

•・•斜坡AP的坡度为1：2.4,

•_A_H_15

•,PH-2.4-12'

设A”=5攵，则PH=12女，

在RtZiAHP中，由勾股定理，得

AP=>JAH2+PH2=J(5k)2+(12k)2=13k.

・•・13A=26,

解得k=2.

：.AH=\O(m).

答：坡顶A到地面PQ的距离为10m.；

(2)如图，延长BC交PQ于点

由题意可知四边形AHDC是矩形，

：.CD=AH=\0m,AC=DH.

VZBPD=45°,NBDP=90：

:・PD=BD.

12X2=24(〃)

设BC=x,贝Ijx+I0=24+OH.

：.AC=DH=(x-14)m.

pr

在中.tan/LRAC=tan76°=

x

即-------«4.00.

X-14

解得xk19(m).

答：信号塔BC的高度约为19〃?.

20.（9分）如图，OO的直径AB与其弦CO相交于点E,过点4的切线交CO延长线于点入且N4E。

=NEAD.

(1)求证：AD=FD；

(2)若4E=6,Sinz-AFE=求。。半径的长.

【解答】(1)证明：:AF与圆相切于A,

J直径

/.ZFAD+ZEAD=ZF+ZAED=Z90°,

丁NAED=/EAD,

AZF=ZMD,

:.AD=FD；

(2)解：连接BO,

VZE4F=90°,

3

sinz.AFE=^,

cosZAEF=箓=

*：AE=6,

：.EF=\O,

ZAED=ZEAD,

：,AD=ED,

：.AD=1EF=5,

乙

〈AB是圆的直径,

・・・NAO8=9(r,

•・•ZAED=ZEAD,

3

VcosZEAD=cosZAEF=

•_A_D__3

••,

AB5

・・・AB=学,

・・・。0半径的长是二.

21.（9分）端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五.民间有“赛龙舟”、“吃粽

子”等习俗.某商场在端午节来临之际准备购进4、8两种粽子进行销售，据了解，用3000元购买A

种粽子的数量（个）比用3360元购买8种粽子的数量（个）多40个，且8种粽子的单价（元/个）是

A种粽子单价（元/个）的1.2倍.

（1）求A、6两种粽了的单价各是多少？

（2）若商场计划购进这两种粽子共2200个销售，且购买A和粽子的费用不多于购买B种粽子的费用，

写出总费用），（元）与购买A种粽子数量〃（个）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？

最低是多少元？

【解答】解：（1）设A种粽子单价为x元/个，则8种粽子单价为元/个，

,30003360

根据题尽，得：------——=40,

x1.2x

解得：x=5,

经检验，x=5是原方程的解，

1.2x=6；

答：A种粽子单价为5元/个，则8种粽子单价为6元/个；

（2）设购进A种粽子a个,则购进8种粽子（2200-a）个，

依题意，得：5a<6（2200-a）,

解得：aW1200,

由题意得：y=5a+6（2200・a）=・a+132OO,

当a=120（）时，y最小=12000,

2200-1200=1000,

答：购进A种粽子120（）个，购进8种粽子108）个，总费用最低，最低是12000元.

22.（10分）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一.如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞

行后落在着陆坡8C上的点尸处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分.这里。4表示起跳点

A到地面08的距离，。。表示着陆坡8c的高度，OB表示着陆坡底端8到点O的水平距离.建立如图

所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：加）与水平距离x（单

&.：m）近似满足函数关系尸一方2+灰+0.已知OA=70/〃，0c=606，落点〃的水平距离是40m,

竖直高度是30/n.

（1）点A的坐标是（0，70）,点P的坐标是（40,30）；

⑵求满足的函数关系产一徐2+滓；

(3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水

故答案为：(0,70),(40,30)；

-1

(2)把A(0,70),P(40,30)代入尸一金/+/zr+c得:

c=70

--^xl600+40/?+c=30'

1O

3

解得匕=2,

tc=70

所以二次函数的表达式为产一击/+发+70；

(3)如图，作MN〃y轴分别交抛物线和8c于M、N两点，

AC(0,60),

设线段BC的关系式为尸依则偏；：*=30'

解得：卜=.

(m=60

所以线段BC的关系式为产-本+60,

设M(a,-兼M+|G+70),则N(a,-1«+60),

1Gq?1^91c

则MN=一心，广+前+70+*-60=