2024陕西高考数学试卷及答案解析

陕西省2024年高考理科数学试题及答案

（Word版）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

L业二()

1+Z

A.1+2/B.1—2/C.2+zD.2—/

2.设集合A={1,2,4},B=|X|X2-4X+W=0}.若A「B={1},则8=()

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百

八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层

灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A,1盏B.3盏C.5盏D,9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某

几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部

分所得，则该几何体的体积为（）

A.904B.634

C.427rD.36兀

2x+3y-3<0

5.设x,），满意约束条件2A:-3〉+320,则z=2x+y的最小值是（）

y+3>0

A.—15B.—9C.1D.9

6.支配3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的支配方式共

有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成果.老师说：你们四人中有2位优秀,

2位良好，我现在给甲看乙、丙的成果，给乙看丙的成果，给丁看甲的成果.看后甲对大家说:

我还是不知道我的成果.依据以上信息，则（）

A.乙可以知道四人的成果［开始］

B.丁可以知道四人的成果

C.乙、丁可以知道对方的成果

D.乙、丁可以知道自己的成果

8.执行右面的程序框图，假如输入的〃=-1,则输出的

S=（）

A.2B.3C.4D.5

9,若双曲线C：r-==1（。＞0,8＞。）的一条渐

a~

近线被圆（工一2）2十）,2-4所截得的弦长为2,则C的

/输出S/

离心率为（）

［结束］

A.2B.C.V2D.3叵

3

10.已知直三棱柱ABC-A|B|G中，ZABC=120AB=2,BC=CC)=1,则异面直线AB1

与BQ所成角的余弦值为（）

正B巫

U・------D.

V-5

11.若二=-2是函数“r）=，+or-l）e*T的极值点,则/（刈的微小值为（）

A.-1B.-2/c.5e'3D.1

12.已知AABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则Pa,（P8+PC）的最小值是（）

34

A.-2B.C.D.-1

23

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽

到的二等品件数，则DX=.

14.函数f(x)=sirPx+gcosx-二xw0,巳）的最大值是

2

15.等差数列｛%｝的前〃项和为S”，为=3,04=10,则支"二

k-l\

16.已知F是抛物线C：V=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN

的中点，则|FN|二

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17〜21题为必做题，每个试

题考生都必需作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。

（-）必考题：共60分。

17.（12分）

AABC的内角AB,C的对边分别为。也c,已知sin（A+C）=8sin20.

2

⑴求cosB

（2）若a+c=6,A48C面积为2,求反

18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱,

测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

I.设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事务：旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的

箱产量不低于50kg,估计A的概率；

2.填写下面列联表，并依据列联表推断是否有99席的把握认为箱产量与养殖方法有关:

(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点与，且"2</(/)<2一3.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系X勿中，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标

方程为pcos0=4.

(1)附为曲线G上的动点，点。在线段仍上，且满意|OM|"OP|=16,求点户的轨迹G的

直角坐标方程；

(2)设点力的极坐标为(2,工)，点8在曲线C,上，求面积的最大值.

3'

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知。>()力>0,/+护=2,证明：

(1)+/)24；

(2)a+b<2.

参考答案

1.D

2.C

【解析】1是方程f—4x+〃?=0的解，戈=1代入方程得〃?=3

••・--4x+3=0的解为x=l或工=3,.•・3={1，3}

3.B

【解析】设顶层灯数为4,q=2、邑=辿2)=381,解得4=3.

1-2

4.B

【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半.

12,12,

V=K,--V|=7i-310--n-3-6=6371

5.A

【解析】目标区域如图所示，当直线)，=-2r+z取到点(-6,-3)时，所求？最小值为-15.

6.D

【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作.

由此把4份工作分成3份再全排得C：.A；=36

7.D

【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最终甲说的话.

甲不知自己成果T乙,丙中必有一优一良，(若为两优，甲会知道自己成果；两良亦然)T

乙看了丙成果，知自己成果一丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成果.

8.B

【解析】S=0,&=1,。=-1代入循环得，％=7时停止循环，S=3.

9.A

【解析】取渐近线)，=2工，化成一般式法-〃)，=(),圆心(2,0)到直线距离为/产，

a\l(r+b-

得d=4/,/=4,e=2.

10.C

【解析】M,N,P分别为9，网，B£中点,则AkBG夹角为例N和NP夹角或其补角(异

面线所成角为|0,1)

可知=岗=冬NP=gBC、=与,

作8c中点Q,则可知△PQM为直角三角形.

PQ=1,MQ=-AC

△A5C中，AC2=AB2+BC2-2AB-cosZABC

=4+l-2x2xl•（-；）=7,AC=y/l

则例Q=4I,则△AIQP中，MP=y）MQ2+PQ2

则△PMN中，cosNPNM=MN+"S

2MHNP

又异面线所成角为jo,：,则余弦值为平.

11.A

【解析】/'(%)=[/+(a+2)x+a—l}e*T,

则/,(-2)=[4-2(«+2)+6/-1].£-3=0=>«=-1,

则/(x)=(x2_x_1)./T,尸(x)=+x_2).

令r(x)=。，得x=—2或x=l,

当xv-2或x>l时，/(八)>0,

当-2c<】时，r(“<o,

贝IJf(x)微小值为/(l)=-L

12.B

【解析】几何法：

如图，PB+PC=2PD（。为8C中点）,

则PA\PB+PC^=IPDPA.

要使抬尸。最小，则以，PO方向相反，即P点在线段AQ上,

贝lj2P/>E4min=-2|PA|-|PD|,

即求|/7才|以|最大值，

又网+四=|回=2x半=5

乙

则网呼I吗t=图1,

33

则22。％“加=-2x-=—-.

42

解析法：

建立如图坐标系，以4c中点为坐标原点,

A(0,G),B(-l,0),c(l,0).

设P(X，y),

PA=(-x,>/3-y),PB=(-1-x,-y)

PC=(\-x,-y),

•••PA(PB+PC)=2x2-2y[2y+2y2

则其最小值为2x（—：）=—•!，此时x=0,）'=等.

13.1.96

【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中〃=0.02,〃=100

则0V=np(\-p)=100x0.02x0.98=1.96

14.1

【解析】/(A)=sin2x+V3cosx--xe

41

3

/(A)=1-COS?X+石COSJ-j

令cosx=t且fw[0,1]

y=-r+G+-

4

、2

I2J

则当"当时，/（X）取最大值1.

15.空

〃+1

【解析】设｛4｝首项为％,公差为d.

则/=4+2d=3

54=4%+6J=10

„./?(«+!)

求得4=1,d=\则M=〃，S„=---

1_2222

MS*1x22x3/?(/!-1)+

16.6

【解析】V=8x则〃=4,焦点为F(2,0),准线/:x=—2,

如图，M为b、N中点，

故易知线段BM为梯形AFMC中位线,

••.CN=2,AF=4,

.,.\ME\=3

B

又由定义=A

且|MN|=|阴,

：.\NF\=\NM\+\MF\=6

【解析】(1)依题得：sinB=8sii?0=8•1-c°s"=火|一cosB).

Vsin2B+cos2B=l,

16(1-cosB)2+cos28=1,

(17cosB-15)(cosB-l)=0,

c15

••COSD=---9

Q

(2)由⑴可知sin8=—.

ac•sinA=2,

cosB=——.

17

.a2+c2-b215

•-------------------=-----I

lac17

•*-a2+c2-b2=15,

(a+c)2-2ac-/?2=15,

.・.36-I7-Z?2=15,

•*•/?=2.

18.

【解析】(1)记：“旧养殖法的箱产量低于50kg”为事务8

“新养殖法的箱产量不低于50kg”为事务C

而月⑻=0.040x5+0.034x5+0.024x5+0.014x5+0.012x5

=0.62

P(C)=0.068x5+0.046x5+0.010x5+0.008x5

=0.66

P(4)=P(8)P(C)=0.4092

(2)

箱产量＜50kg箱产量250kg

中/华-资*源5

6238

库旧养殖法

新养殖法3466

由计算可得K?的观测值为

200x(62x66-38x34/

=15.705

100x100x96x104

15.705>6.635

二•P(K?26.635卜0.001

..•有99%以上的把握产量的养殖方法有关.

(3)1-5=0.2,0.2-(0.004+0.020+0.044)=0.032

QQ

0.032-0.068=—,一x5=2.35

1717

50+2.35=52.35,，中位数为52.35.

19.【解析】

(1)令%中点为产，连结防，BF,CE.

•「E,F为PD,必中点，JEF为△24。的中位线，AEF^AD.

又ZE4D=ZABC=90°,/.BC//AD.

又「A8=8C='A。，.*•BC2L.-AD,EF££C.

2~2

二.四边形Bar为平行四边形，,CE//BF.

又••,8/u面R48,「.CE〃面248

(2)以4)中点。为原点，如图建立空间直角坐标系.

设44=4C=1,则0(0,0,0),A(0,-1,0),8(1,-1,0),C(1,0,0),以0,1,0),

P(0,0,6).

M在底面48CD上的投影为M',•••MW_L8W.•••ZMS”=45。，

^MBM'为等腰直角三角形.

•「△POC为直角三角形，|OC|=等|OP|,二/尸。0=60。.

设=|GWZ|=—«,|O"|=1-旦・・•・M0,0.

3313，

怛M[=J(,a)+r+0、=J3"+1=a=a=*.|OM[=1一曰a=I一日.

.,.”卜一日,0,0,M1一4,0,告]

，及।向

AM=,AB=(\,0,0),设平面的法向量〃?=(0,y,z).

22)

y+乎4=0,in=(0»一瓜,2)

人力=((),2,0),人8=(1,0,0).设平面AB。的法向量为〃=((),0,z2),

n=(0,0,1).

.-m-nVio

••cos<rn,n>=।~~r-j-r一行•

KTH

二二面角M—的余弦值为巫

5

20.

【解析】⑴设P(x,y),易知N(x,0)

NP=Q,y)又NM=%NP

%yj,又M在椭圆上.

・皆+(3)=1,即丁+丁=2.

⑵设点2(-3，%),P(xp，»),(为丰0),

由已知：OP,PQ=(Xp,»)-(-3-»,%-)》)=1，

OP(OQ-OP]=OPOQ-y)F^=1,

OPOQ=|O叶+1=3,

设直线OQ：y=^-x

—3

因为直线/与L垂直.

3

“

故直线/方程为>,=—(.V--Vp)+yp,

令1y=0,得"％=3(工一%),

一§."Q=Xf，

i

x=_/.)b+x〃，

yPyQ=3+3与，

3"〃

若％=()，则-3.%=3,=-l,»=±1,

直线。。方程为丁=0,直线/方程为x=-l,

直线/过点(-1,0),为椭圆C的左焦点.

21.

【解析】⑴因为f(x)=x(or-a-lnx)20,x>0,所以a.a-lnx'O.

令g(x)=ar-a-lnx,则g(l)=0,g，(x)==,

当aWO时,gf(x)<0,g(x)单调递减，但g(l)=0,x>l时，g(x)<。；

当a>0时，令g[x)=O,得x=L

当0<x/时，g\x)<0,g(x)单调减;当时，g[x)>0,g(x)单调增.

aa

若0<4<1,则g(x)在(1,：)上单调减，g\)<g(l)=o；

若a>1,则g(x)在小1)上单调增，gg卜(1)=0;

若4=1,则g(x)min=g('=g(1)=。，g(x)2O.

综上，67=1.

(2)f(x)=x2-x-jinx,/z(x)=2x-2-lnx,x>0.

1?v_1

令力(力=2工一2-Inx,则〃'(x)=2——=-,x>0.

令介'(x)=0得x=g,

当OvxJ时,//(x)<0,力(工)单调递减；当%>工时，”(x)>0,/?")单调递增.

22

所以，h(x)=//-|=l-2+ln2<0.

\/mm2J

因为/?(e-2)=2e-2>0,刈2)=2-山2>0,2s(；,+oo

所以在（°，；）和（g，+8）上，即/'（'）各有一个零点.

设/‘“）在（0,§和（；，+8）上的零点分别为5,%因为r（x）在（o，；）上单调减,

所以当0＜x＜.”时，r（x）＞0,/（x）单调增；当天＜]＜；时，ff（x）＜0,/（x）

单调减.因此，为是f（x）的极大值点.

因为，尸（刈在传，+oo]上单调增，所以当;＜/＜天时，/（工）＜0,/（“单调减，

12J2

时