2024高考数学讲义：曲线与方程

2024高考数学讲义：曲线与方程

目录

i.教学大纲......................................................................1

2.教材回扣基础自测一一自主学习•知识积淀...................................I

2.1.曲线与方程的定义.........................................................1

2.2.求动点的轨迹方程的基本步骤..............2

2.3.提醒......................................................................2

2.4.求曲线的方程..............................2

3.课堂作业.....................................................................3

4.考点例析对点微练一一互动课堂•考向探究...................................5

4.1.考点一直接法求轨迹方程.................5

4.2.考点二定义法求轨迹方程.................6

4.3.考点二代入法（相关点法）求轨迹方程.......................................8

5.相关点法求轨迹方程的步骤....................................................9

1.教学大纲

内容要求考题举例考向规律

1.了解方程的曲线与曲线的

方程的对应关系2019•全国n卷⑴（求曲考情分析：本考点在高考

2.了解解析几何的基本思线方程）中一般不单独考查，而是

想和利用坐标法研究几何问2017•全国II卷・T20⑴（求轨结合其他知识综合考查，

题的基本方法迹方程）重点是直接法、定义法、

3.能够根据所给条件选择2016•全国III卷・T21（求轨迹代入法

适当的方法求曲线的轨迹方方程）核心素养：数学抽象

程

2.教材回扣基础自测——自主学习・知识积淀

2.1.曲线与方程的定义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二

元方程“X,y）=O的实数解建立了如下的对应关系：

⑴曲线。上点的坐标都是这个方程的解。

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⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么，这个

方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

2.2.求动点的轨迹方程的基本步骤

(1)建系：建立适当的平面直角坐标系。

(2)设点：轨迹上的任意一点一般设为P(x,y)o

(3)列式：列出或找出动点P满足的等式。

(4)代换：将得到的等式转化为关于x,y的方程。

(5)验证：验证所得方程即为所求的轨迹方程。

2.3.提醒

1.“曲线C是方程人心y)=0的曲线”是“曲线C上的点

的坐标都是方程五-y)=0的解”的充分不必要条件。

2.曲线的交点与方程组的关系：

(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个

曲线方程组成的方程组的实数解；

(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，

两条曲线就没有交点。

2.4.求曲线的方程

1直接法

步骤

(1)建系：建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M

的坐标；

(2)设点：写出适合条件的p(M)的集合

(3)表示:用坐标表示条件p(M),列出方程F(x,y)=O；

(4)化简：化方程f(x,y)=O为最简形式；

(5)下结论：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可

以适当说明。另外，也可以根据情况省略(2),直接列出曲线方程。

2定义法

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(1)如果能够确定动点的轨迹满足某一直曲线的定义，则可根据曲线的定义

直接写出方程。

(2)如果动点的轨迹与圆锥曲线有关，则可运用圆锥曲线定义求出动点的轨

迹方程。

3相关点代入法

如果所求轨迹中的动点，随着另一动点的运动而运动，而另一动点有在某

条己知曲线上，常设法利用轨迹中的动点坐标(x,y),表示己知曲线上动点的坐

标(xLyl),再将它代入已知曲线的方程即可。

4参数法

如果很难找出动点坐标满足的关系，可借助中间变量一一参数，建立起动

点坐标x,y之间的联系，然后消去参数得到曲线方程。

步骤一般为

引入参数一一建立参数方程一一消去参数，得到等价的普通方程。

5交轨法

如果所求轨迹上的动点，是两条动曲线的交点，可用两曲线的方程联立解

得。

3.课堂作业

一、常规题

1.若方程9+£=1(。是常数)，则下列结论正确的是()

A.任意实数Q,方程表示椭圆

B.存在实数4,方程表示椭圆

C.任意实数a,方程表示双曲线

D.存在实数4,方程表示抛物线

解析当a〉0且oWl时，方程表示椭圆。故选B。

答案B

2.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，4(1,0),8(2,2),

若点。满足0C=0A+r(08—。4),其中ZER,则点C的轨迹

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|A41|+|BBi|=2|OOi|=4,由抛物线定义得|A4i|+|85|=|刚+

\FB\,所以|阿+尸3|=4,故/点的轨迹是以A,B为焦点、,长轴

长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，所以抛物线的焦点的轨迹方程

为。+]=1/0)。

答案手+]=1()'八°)

4.考点例析对点微练一一互动课堂・考向探究

4.1.考点一直接法求轨迹方程

【例1】(1)已知A(—1,0),5(1,0)两点，过动点M作x轴

的垂线，垂足为M若MN2=L4N,NB,则当％<0时，动点M的

轨迹为()

A.圆B.椭圆

C.双曲线D.抛物线

解析设"(兀y),则N(x,O),所以MN2=y2,XAN,NB=Mx

+1,0)(—乂0)=2(1—f),所以y2=，i一()，即双2+9=九变

y2

形为f+J=l,所以当』<0时，动点M的轨迹为双曲线。

答案c

(2)与y轴相切且与圆C：f+9-6x=0相外切的圆的圆心

的轨迹方程为o

解析若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆f+y2一

6x=0外切的圆的圆心为尸(x,y)(x>。)，则半径长为IM,因为圆x2

+y2-6x=0的圆心为(3,0),所以y(x_3)2+y2=M+3,则y2=

12x(x>0);若动圆在y轴左侧，则)，=0。即圆心的轨迹方程为V

=12x(x>0)或y=O(x〈O)。

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答案>,2=12x(x>0)或y=0(x<0)

总结反思

利用直接法求轨迹方程

1.利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方

程，然后进行化简。

2.运用直接法应注意的问题：(1)在用直接法求轨迹方程时,

在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏

的点或删除多余的点，这是不能忽视的；(2)若方程的化简过程是

恒等变形，则最后的验证可以省略。

【变式训练】设点A为圆。-1)2+丁=1上的动点，必是

圆的切线，且|必|=1,则点P的轨迹方程是()

A.y2=2xB.(x-l)2+y2=4

C.)r=-2xD.(x—1)2+>^=2

解析如图，设P(x,y),圆心为连接MA,则MA

±PA,且又因为|%|=1,所以1PM=4lM4F+1刈p=。,

即|PM|2=2,所以(X-1)2+)，2=2。

答案D

4.2.考点二定义法求轨迹方程

【例2】已知圆M：(x+l)2+y2=l,圆N：(%—1)2+/=

9,动圆尸与圆M外切并且与圆N内切，圆心尸的轨迹为曲线

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Co求。的方程。

解由已知得圆M的圆心为M(—1,0),半径片=1;圆N的

圆心为ML0),半径后=3。

设圆P的圆心为P(x,y),半径为R。

因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM+|PN|=(R+〃)+(r2—R)=ri+〃2=4>|MN|=2。

由椭圆的定义可知，曲线。是以历，N为左、右焦点，长

半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为，+

y2

a=1(x#—2)o

j*

总结反思

定义法求曲线方程的2种策略

1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直

接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程。

2.定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用

条件把待定系数求出来，使问题得解。

【变式训练】如图，已知aABC的两顶点坐标A(—1,0),

8(1,0),圆石是△A3C的内切圆，在边AC,BC,A3上的切点分

别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，

动点C的轨迹为曲线M,求曲线M的方程。

解由题知|C4|+|C8|=|CP|+|C0|+\AP\+\BQ\=2\CP\+

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\AB\=4>\AB\9

所以曲线M是以A,3为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与

x轴的交点）。

J2

设曲线M：yHO）,

贝4。2=4,z?2=^2—=

7,3

所以曲线M的方程为"+,=1&W0）。

r

4.3.考点三代入法（相关点法）求轨迹方程

【例3】如图，抛物线E：y2=2pxs>o）与圆。：_?+,2=

8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2。过劣弧上动点

P（xo,泗）作圆。的切线交抛物线E于C，。两点，分别以CD

为切点作抛物线E的切线/”勿/i与人相交于点用。

（1）求p的值；

⑵求动点M的轨迹方程。

解（1）由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为（2,2）,代

入y2=2〃x,解得p=l。

)(v2、

（2）由（1）知抛物线E:/=2x,设Ji,D*7,y,#0,

2’/2/

"WO,切线/i的斜率为z,

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则切线/工y—y\=kx—

\2,

代入y2=2x,得ky1—2y+2y\—Ayi=0,

由J=0解得卜=上,所以l\的方程为y=-x+^-

y\y\2

同理/2的方程为y=-x+^o

y22

「1'_yrv2

y=~x工一2，

联立<解得0

1

y=~x

1竺、y=^rI

易知CD的方程为x（）x+y（）y=8,

其中M泗满足看十找=8,m£[2,2班],

y=2x,

由'

x()x+yoy=S,

2

得xoy+2yoy—16=O9

「2yoyr)?2

》+m=-沏工一J，

则5代入5

16)'1+”

尸2

r88

X=——Xo=-

XoX

可得M（x,y）满足彳可得5

)'o_8y

y=­-

I，XoJO丫，

代入焉+网=8,并化简，得[―>2=1,

考虑到的£[2,2gI知问一4,一2庖

y2

所以动点M的轨迹方程为g—）a=l,x£[—4,—2巾]。

5.相关点法求轨迹方程的步骤

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1.明确主动点（已知曲线上的动点）。（尢0，），（）），被动点（要求

轨迹上的动点）/（X,y）。

2.寻求关系式xo=/U，y）,yo=g（x，y）。

3.将沏，州代入已知曲线方程。

4.整理关于x,y的关系式得M的轨迹方程。

【变式训练】（1）己知点P是直线2x—y+3=0上的一个

动点，定点M（—l,2）,。是线段PM延长线上的一点，且『M=

\MQ\9则点Q的轨迹方程是（）