伍德里奇《计量经济学导论》复习笔记和课后习题详解-含有定性信息的多元回归分析：二值变量

伍德里奇《计量经济学导论》复习笔记和课后习题详解■含有定

性信息的多元回归分析：二值变量

第7章含有定性信息的多元回归分析：二值(或虚拟)变量

7.1复习笔记

考点一：带有虚拟自变量的回归*****

1.对定性信息的描述

定性信息是指通常以二值信息(0-1)的形式出现的信息，如性别、

是否结婚等。在计量经济学中，二值变量又称为虚拟变量。

2.只有一个虚拟自变量

(1)只有一个虚拟自变量的简单模型

考虑决定小时工资的简单模型：wage=[30+60female+pleduc

根据多元回归的解释方式，表示控制不变时,

+uo60educfemale

变化1单位给wage带来的变化。假定零条件均值假定E(u|female,

educ)=0成立,那么：50=E(wage|female=1,educ)-E

(wage|female=0,educ),其中female=1表示女性,female

=0表示男性。可以发现，在任意教育水平下，男性与女性的工资差异

是固定的，女性工资比男性工资多

60o

除了P0之外，模型中只需要引入一个虚拟变量。因为female+

所以引入两个虚拟变量会导致完全多重共线性，即虚拟变

male=lz

量陷阱。

(2)当因变量为log(y)时，对虚拟解释变量系数的解释

当变量中有一个或多个虚拟变量，且因变量以对数的形式存在时,

虚拟变量的系数可以

理解为百分比的变化。将虚拟变量的系数乘以100,表示的是在

保持所有其他因素不变时y的百分数差异，精确的百分数差异为：

其中八

100-[exp(Api)-l]e

Pl是一个虚拟变量的系数。3.使用多类别虚拟变量

(1)在方程中包括虚拟变量的一般原则

如果回归模型具有g组或g类不同截距，一种方法是在模型中包

含g-1个虚拟变量和一个截距。基组的截距是模型的总截距，某一组

的虚拟变量系数表示该组与基组在截距上的估计差异。如果在模型中

引入g个虚拟变量和一个截距，将会导致虚拟变量陷阱。

另一种方法是只包括g个虚拟变量，而没有总截距。这种方法存

在两个实际的缺陷：①对于相对基组差别的检验变得更繁琐；②在模

型不包含总截距时，回归软件通常都会改变R2的计算方法。具体而

言,就是公式R2=1-SSR/SST中的总平方和SST,被一个没有将y

i减去其均值的总平方和SST0取代，由此得到的R02=l-SSR/SST

0称为未中心化的R2,从而有可能使得拟合优度指标失效。SST0的

计算公式为：

2

01SSTn

iiy==1(2)通过虚拟变量来包含序数信息

假设要估计城市信用等级对市政债券利率(MBR)的影响。城市

信用等级是一个序数变量，范围是0~4,称这个变量为CR。可以对

CR的每个值都定义一个虚拟变量。由于有5个类别，所以可包括4个

虚拟变量，将零信用等级定为基组并省略。若CR=1,则CR1=1,

否贝I」CR1=O;若CR=2,贝UCR2=1,否贝！JCR2=0,以止匕类推。

因止匕，可以转化为估计模型：MBR=PO+61CR1+62CR2+

63CR3+64CR4+其他因素。

以61为例，系数的解释为：61为信用等级为1级的城市和信用

等级为0级的城市之间在MBR上的差异(保持其他因素不变)。

考点二：涉及虚拟变量的交互作用★★★★

1.虚拟变量之间的交互作用

具有定量意义的变量在回归模型中可以具有交互作用，类似的，

虚拟变量也能产生交互作用。虚拟变量的交互作用就是在模型中引入

虚拟变量的乘积形式。

2.容许出现不同的斜率

(1)不含交互项的模型

在多元回归模型中存在任意几个组之间的截距不同的情况。在有

些情况下，虚拟变量也可与非虚拟的解释变量有交互作用，从而出现

不同的斜率。

考虑模型：log(wage)=(pO+SOfemale)+(01+

Slfemale)educ+u。当female=0时，模型可以写成：log

(wage)=pO+pleduc+u;当female=1时，模型变为：log

度量的是男性和女性

(wage)=(30+60+(pl+51)educ+uo60

在截距上的差异，而61度量男性和女性在斜率(即受教育回报)上的

差异。

(2)含有交互项的模型

考虑模型：log(wage)=p0+80female+pleduc+

一个重要的假设是，男性和女性受教育的回报是

81female-educ+uo

相同的，这可以表述成H0:81=0。这意味着log(wage)对educ

的斜率对男性和女性而言无差异。在这个虚拟假设之下，允许在不同

教育水平下，男性和女性的工资存在差异，但性别工资差异在各种相

同教育水平上必须相同。

若对受教育程度相同的男性和女性的平均工资相同这个假设感兴

趣，则50和61都必须同时为零。必须使用F检验来检验虚拟假设H0:

80=0,81=0o

3.检验不同组之间回归函数上的差别

在含有k个解释变量和1个截距项的一般模型中，假设有两组g二

和。对和将模型写成:

1g=2g=lg=2y=Pg,O+pg,lxl+pg,

2x2+...+0g,kxk+uo

检验这两组的截距和所有斜率都相同，就意味着产生了k+1个约

束。可以认为无约束模型除了截距和变量本身外，还有一组虚拟变量

和交互项，那么其自由度为n-2(k+1).无约束模型的残差平方和

可通过两个分离的回归得到，这两个不同回归分别对应着两个不同的

组，令SSR1(SSR2)表示针对第一组(第二组)估计式所得到的残

差平方和，它涉及nl(n2)个观测。而约束模型的残差平方和就是将

两组混合在一起并估计同一个方程时所得到的SSRp。

在此基础上，就可以计算F统计量：F={[SSRp-(SSR1+

SSR2)]/(SSRl+SSR2)}-{[n-2(k-1)]/(k+1)}o其中，n为

总观测次数。在计量经济学中，这也被称为邹至庄统计量。邹至庄检

验的一个重要局限是原假设要求各组之间不存在任何差异。但在更多

情况下，允许组间的截距不同，然后再来检验斜率的差别会更有意义。

邹至庄检验的步骤包括：

(1)分别对两组数据进行回归估计得到残差平方和SSR1和SSR2,

两者之和即为无约束模型的残差平方和。

(2)将两组数据混合进行估计得到残差平方和SSRp,这就是为

受约束回归残差平方和。

(3)构造F统计量，并与给定显著水平下F的临界值进行比较。

若F值大于临界值，

则拒绝原假设，即说明两个回归函数存在差异。

考点三：二值因变量：线性概率模型★★★★

1.线性概率模型

考虑模型：y=BO+Blxl+02x2+...+Bkxk+uo在零条件均

值假定MLR.4成立时，E(y|x)=po+plx1+p2x2+...+pkxke

当y是一个取值为0和1的二值变量时，P(y=l|x)=E(y|x)

总是成立的。因此有:P(y=1|x)=p0+plx1+p2x2+...+pkx

ko这意味着成功的概率p(x)=P(y=l|x)是所有x变量的一个

线性函数。

方程P(y=1|x)=p0+plx1+p2x2+...+0kxk是二值响应

模型的一个例子，P(y=l|x)被称为响应概率。因为响应概率是所

有参数P的线性函数，所以这类模型又被称为线性概率模型(LPM)。

在LPM中，在保持其他因素不变时，印度量因xj的变化导致成功概

率的变化(j=1,2k):?P(y=l|x)=Pj?xje

2.线性概率预测

以二值变量为因变量进行预测时，预测的概率可能不会落在0~1

区间内。令八yi表示拟合值，定义预测值iy在八yi1.5时取值为1,

并在八

yi

<0.5时取值为0。现在，便得到一组预测值iy,这些预测值和y

i一样，取值不是。便是1。利用yi和iy

的数据,就可以得到正确预测yi=1和yi=0的频率以及全部正

确预测的比例。若用百分比表示全部正确预测的比例，便是二值因变

量拟合优度的一个广泛使用的指标。

3.线性概率模型可能存在异方差性

当y是二值变量时，以x为条件的方差为:Var(y|x)=p(x)

[1-p(x)]0其中，p(x)=pO+plxl+...+pkxko这意味着，除

非概率与任何一个自变量都不相关，否则，线性概率模型中就一定存

在着异方差性。因此，由于y的二值特性，线性概率模型违背了一个

高斯・马尔可夫假定。

4.离散因变量的回归结果解释

一般地，在假设MLR.1和MLR.4下：E(y|xl,x2,xk)

=P0+plxl+p2x2+...+pkxkopj是指在其他条件不变时，xj的增

加对y的期望值的影响。给定一组xj值，拟合值

A

p0+Aplxl+Ap2x2+...+Apkxk就是E(y|xl,x2,,xk)

的一个估计。因此Mj是当?xj=1时，对y的平均变动的估计(保持

其他因素不变)。

7.2课后习题详解

一、习题

1.利用SLEEP75中的数据(也可参见第3章习题3),我们得到

如下估计方程：

sleep=3840X3-0.1bytotwrk-11.7\educ-8.70砍c+().1+87.75mHc

(235.11)(0.018)(5.86)(11.21)(0.134)(34.33)

/i«706・R)・0/23.F-0.117

变量sleep是每周晚上睡眠的总分钟数，totwrk是每周花在工作

上的总分钟数，educ和age则以年为单位，而male是一个性别虚拟

变量。

(i)所有其他因素不变，有没有男性比女性睡眠更多的证据？这

个证据有多强？

（ii）工作与睡眠之间有统计显著的取舍关系吗？所估计的取舍关

系是什么样的？

（iii）为了检验年龄在其他因素不变的情况下对睡眠没有影响这

个原假设，你还需要另外做什么回归？

答：（i）变量male的回归系数是87.75,根据估计结果可知，男

性每周的睡眠时间要比女性每周的睡眠时间多近一个半小时。又因为

tmale=87.75/34.33-2.56

其值接近于99%的置信水平下的双侧检验的临界值（大约为

2.58）,因此男性比女性睡眠更多的证据是相当强的。

（ii）变量totwrk的t统计量的值为：

ttotwrk=-0.163/0.018*-9.06

这是非常显著的。这个系数表明每周平均多工作一个小时（60分

钟），对应的平均每周晚上睡眠将减少0.163x60,9.8（分钟）。

（iii）需要对不含变量age和age2的模型进行回归，以便得到R

r2,即受约束模型的R2。当模型中含有变量age和age2时，当且仅

当两个变量age和age2前的系数均为0时,才表明年龄在其他因素

不变的情况下对睡眠没有影响这个原假设成立。

2BWGHT中的数据，可估计出如下方程：

log（hwfiht）=4.66一0.0044c/g,v+0.0093log（^famine）+0.016parity

（0.22）（0.0009）（0.0059）（0.006）

+O.O27male+0.055white

（0.010）（0.013）

/1=I388.R2=0.0472

和

log(hwfiht)=4.65-O.OO52c7g.v+0.011Olog(famine)

(0.38)(0.0010)(0.0085)

+0.017parity+0.034/wa/e

(0.006)(0.011)

+0,045while-0.0030molheduc+0.0032fatheduc

(0.015)(0.0030)(0.0026)

^=1191./?2=0.0493

变量定义和例4.9中一样，但我们增加了两个虚拟变量：一个虚拟

变量表明孩子是不是男孩，另一个虚拟变量则表明这个孩子是不是白

人。

(i)在第一个方程中，解释变量cigs的系数。具体而言，每天多

抽10根烟对出生体重有何影响？

(ii)在第一个方程中，保持其他因素不变，预计一个白人孩子的

出生体重比一个非白人孩子重多少？这个差异是统计显著的吗？

(iii)评价motheduc的估计影响和统计显著性。

(iv)从这些给定信息中，为什么不能计算出检验motheduc和

fatheduc联合显著性的F统计量？为了计算这个统计量，还需要做些

什么？

答［(i:如果变量cigs每增加10根,即每天多抽10根烟,则：

Alog(6wg/?/)=-0.0044x10=-0.044

即婴儿出生体重将减少大约4.4%。

(ii)在第一个方程中，保持其他因素不变，预计一个白人孩子比

一个非白人孩子的出生体重多5.5%。另外，twhite*4.23,在一般常

用的显著性水平下都是显著的。因此，一个白人孩子与一个非白人孩

子的出生体重在统计上是有显著差异的。

(iii)如果母亲的教育年限每增加1年，孩子的出生体重将增加

这个影响是很小的，其因此母亲的受教育年

0.3%,