数学学案：函数的应用（Ⅱ）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。4函数的应用（Ⅱ)1．函数模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述一种数学结构．数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是重要的数学模型,用函数解决方程问题,使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用．而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁．本节涉及的函数模型有:（1)指数函数模型:y＝a·bx＋c(b＞0,b≠1,a≠0)，当b＞1，a＞0时，其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．(2)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m≠0,a＞0,a≠1)，当a＞1，m＞0时，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．（3)幂函数模型:y＝a·xn＋b(a≠0)，其中最常见的是二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0），当a＞0时，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点,分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．【例1－1】据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度,设2012年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2012年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是（)A．B．C．y＝0.9550－x·mD．y＝（1－0。0550－x）·m解析：设每年的冰雪覆盖面积减少率为a.∵50年内覆盖面积减少了5%，∴（1－a)50＝1－5%，解得。∴从2012年起，经过x年后,冰雪覆盖面积.答案：A【例1－2】某公司为应对金融危机的影响，拟投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率1%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率3％，按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?（结果精确到0.01万元）分析:这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题．可先按单利和复利计算5年后的本利和分别是多少，再通过比较作答．解：本金100万元，年利率1%，按单利计算,5年后的本利和是100×（1＋1%×5)＝105(万元）．本金100万元，年利率3％，按每年复利一次计算，5年后的本利和是100×（1＋3%）5≈115。93(万元）．由此可见按年利率3％每年复利一次投资要比按年利率1%单利投资更有利，5年后多得利息约10。93万元．谈重点利息的计算利息分单利和复利两种．单利是只有本金生息，利息不再生息,而复利是把前一期的本利和作为本金再生息,两种情况要注意区分．我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄，如某人存入本金a元，其月利率为r，则按单利和复利计算n个月后的本利和分别为a(1＋nr)和a(1＋r）n.2．指数函数模型的应用(1)实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来表示，在建立函数模型时注意用区分、列举、归纳等方法来探求内在的规律．（2）当实际应用题中没有给出函数模型而函数模型又唯一时，其解题步骤是：第一步：认真读题,缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景；第二步：恰当地设未知数，列出函数解析式,将实际问题转化成函数问题,即实际问题函数化；第三步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函数问题的解;第四步：将所得函数问题的解还原成实际问题的结论．（3)把数学结果转译成实际问题作出解答．上述四步可简单地概括为：实际问题，读题(文字语言)⇒数学问题，建模（数学语言）⇒求解数学问题（数学应用)⇒反馈（还原成实际问题的答案)．【例2】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明:礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内,礼品价值为（n＋1）元时比礼品价值为n元（n∈N＋)时的销售量增加10%,若未赠礼品时的销售量为m（m＞0）件，(1）写出礼品的价值为n元时,利润yn(元）与n(元）的函数关系式；（2）请你设计礼品的价值，以使商店获得最大利润．分析：（1)根据题意易得；（2）需借助指数函数的单调性，使得n取某个值时，其前面和后面的取值都比它小，即解：（1)当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10％)n；利润yn＝(100－80－n)·m·（1＋10%）n＝(20－n）·m·1.1n（0＜n＜20,n∈N＋)．(2)令yn＋1－yn≥0，即（19－n）·m·1。1n＋1－(20－n)·m·1.1n≥0，解得n≤9。所以y1＜y2＜y3＜…＜y9＝y10.令yn＋1－yn＋2≥0，即（19－n）·m·1.1n＋1－(18－n）·m·1。1n＋2≥0，解得n≥8.所以y9＝y10＞y11＞y12＞y13＞…＞y19，所以当礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．3．对数函数模型的应用地震震级的变化规律、溶液pH的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．例如：我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．（1）计算燕子静止时的耗氧量是多少个单位．（2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少?分析：(1）在题中所给函数式中令v＝0即可；(2）令函数式中Q＝80即可求得此时的v.解：(1）当燕子静止时，它的速度v＝0，代入函数关系式可得，解得Q＝10,即燕子静止时的耗氧量是10个单位．（2)将耗氧量Q＝80代入函数关系式得＝5log28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.【例3】某型号运载火箭可以安全地把某载人飞船送上太空．在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y(单位：km/s)关于燃料重量x（单位:吨）的函数关系式为y＝kln（m＋x)－kln(m)＋4ln2（x≠0），其中m是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为(－1）m吨时，火箭的最大速度是4km/s。(1）求y＝f（x)；(2)已知该运载火箭的起飞重量是479。8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料),火箭的最大速度为8km/s，求装载的燃料重量(e≈2.7，精确到0.1.）．解：(1)由题意得当x＝(－1)m时，y＝4，当4＝kln[m＋(－1)m］－kln(m）＋4ln2，解得k＝8。所以y＝8ln(m＋x）－8ln（m)＋4ln2，即.(2)由于m＋x＝479。8,则m＝479。8－x，令，解得x≈302.1,即装载的燃料重量约为302.1吨．点技巧由题意准确找出解题的关键点解决本题的关键是求出函数解析式中k的值．(1）转化为已知自变量求函数值．（2）转化为已知函数值求相应自变量．4．拟合函数模型的应用（1）此类题目的解题步骤①作图：根据已知数据作出散点图．画散点图时，首先确定自变量和因变量,再以自变量的值为横坐标,以观察到的对应的因变量的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点．当然,如果条件允许，最好借助于计算机画出最准确的散点图．②选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图象形状,利用“假设”，找出比较接近的函数模型．这要求会根据图象形状估计函数模型:图象是直线,那么函数模型是一次函数模型y＝kx＋b（k≠0）；图象是抛物线，那么函数模型是二次函数模型y＝ax2＋bx＋c（a≠0）;图象位于某条垂直于y轴的直线一侧，与y轴相交,且是“上升”的或“下降”的，那么函数模型是指数函数模型；图象位于某条垂直于x轴的直线一侧，与x轴相交,且是“上升"的或“下降”的,那么函数模型是对数函数模型．③根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．④利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据．(2)关于“假设"问题就一般的数学建模来说,是离不开“假设"的，如果在问题的原始状态下不作任何“假设”，将所有的变化因素全部考虑进去,对于稍复杂一点的问题就无法下手了．“假设”的作用主要表现在以下几个方面：①进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用．通常初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗．在“假设”时就可以设这些因素不需考虑．②降低解题难度．经过适当的“假设”可以建立数学模型，使问题简单化,从而得到相应的解．一般情况下，最先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解．【例4】某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A商品金额(万元）123456获纯利润(万元）0.651。391。8521.841.40获纯利润（万元)0.250.490.7611。261。51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助确定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字)．规范解答顾问点评解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：观察散点图可以看出：A种商品的所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示：取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2。把点（1，0.65）代入，得0.65＝a（1－4)2＋2，解得a＝－0。15.所以y＝－0。15(x－4）2＋2。（得分点)B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的,可用一次函数模型模拟，如图②所示：设y＝kx＋b，取点（1,0。25)和（4,1）代入，得解得所以y＝0。25x。(得分点）即前6个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0。15(x－4)2＋2；前6个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x。设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元），总利润为W（万元)，则（得分点）所以当（万元）时，W取最大值，约为4。1万元．此时xB≈8。8（万元）．（得