数学学案：函数的单调性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.1.3函数的单调性1．函数单调性的概念一般地，设函数y＝f(x）的定义域为A，区间M⊆A。如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量Δx＝x2－x1＞0,则当Δy＝f(x2)－f(x1）＞0时,就称函数y＝f（x）在区间M上是增函数,如下图所示．当Δy＝f(x2)－f（x1)＜0时,就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如下图所示．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性（区间M称为单调区间）．谈重点对函数单调性的理解1．函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间是定义域的子集．如函数y＝x2的定义域为R，当x∈［0，＋∞）时是增函数，当x∈（－∞，0）时是减函数．2．函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性，即“任意取x1，x2”，“任意”二字决不能丢掉；二是有大小,即x1＜x2（x1＞x2）；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．3．单调性是一个“区间"概念，如果一个函数在定义域的几个区间上都是增（减）函数,但不能说这个函数在其定义域上是增(减）函数．如函数f(x)＝eq\f(1,x)在（－∞，0)上是减函数，在（0，＋∞）上也是减函数，但不能说f(x）＝eq\f(1,x)在(－∞，0）∪（0,＋∞)上是减函数．因为当x1＝－1，x2＝1时有f（x1)＝－1＜f（x2）＝1，不满足减函数的定义．4．单调区间端点的写法：对于单独的一个点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减性变化，所以不存在单调问题，因此在写此单调区间时,包括端点可以，不包括端点也可以,但对于某些无意义的点,单调区间就一定不包括这些点．【例1－1】下列说法不正确的有（）①函数y＝x2在(－∞，＋∞）上具有单调性,且在(－∞，0）上是减函数；②函数的定义域为(－∞，0)∪(0,＋∞)，且在其上是减函数;③函数y＝kx＋b（k∈R)在（－∞，＋∞)上一定具有单调性;④若x1，x2是f(x）的定义域A上的两个值，当x1＞x2时，有f(x1）＜f(x2）,则y＝f(x)在A上是增函数．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①函数y＝x2在(－∞，0］上是减函数,在[0，＋∞）上是增函数，故其在（－∞，＋∞）上不具有单调性；②(－∞，0）和（0，＋∞)都是函数的单调区间，在这两个区间上都是减函数，但在整个定义域上不是减函数;③当k＝0时，y＝b，此时函数是一个常数函数，不具有单调性;④因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性,所以不能由此判定函数的单调性．答案：D【例1－2】若对于任意实数x总有f（－x）＝f(x），且f（x)在区间(－∞，－1]上是增函数,则()A．＜f(－1)＜f(2）B．f(－1)＜＜f(2）C．f(2）＜f（－1)＜D．f(2）＜＜f(－1)解析：∵函数f（x)对于任意实数x总有f(－x)＝f（x),∴f(－2）＝f（2）．∵f(x）在区间（－∞，－1］上是增函数，且－2＜＜－1，∴f（－2)＜＜f(－1)，即f（2）＜＜f（－1）．答案：D【例1－3】定义在R上的函数f(x)是增函数,A(0，－1），B（3,1)是其图象上的两点,那么不等式｜f（x＋1）|＜1的解集为(）A．（－1，2）B．[3，＋∞)C．［2，＋∞)D．（－∞,－1］∪（2，＋∞）解析：∵A(0，－1),B(3，1)是函数f(x）图象上的两点，∴f(0)＝－1,f（3)＝1.由｜f（x＋1）|＜1，得－1＜f(x＋1）＜1,即f（0）＜f（x＋1）＜f(3)．∵f(x）是定义在R上的增函数，∴由单调函数的定义，可知0＜x＋1＜3。∴－1＜x＜2。答案：A2．函数单调性的判断方法（1）图象法对于简单函数或可化为简单函数的函数,由于其图象较容易画出，因此,可利用图象的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间．常见函数的图象及其单调性如下表：函数类型正比例函数y＝kx（k≠0)一次函数y＝kx＋b(k≠0）k＞0k＜0k＞0k＜0图象单调性在R上是增函数在R上是减函数在R上是增函数在R上是减函数图象单调性在eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b，2a)))上是减函数，在eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(b，2a），＋∞))上是增函数在eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f（b，2a)）)上是增函数，在eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（b,2a）,＋∞））上是减函数在（－∞,0)和(0，＋∞)上都是减函数在（－∞，0）和(0,＋∞)上都是增函数以上基本初等函数的单调性作为结论记住,可以提高解题速度．【例2－1】写出下列函数的单调区间:(1)y＝｜2x－1|；（2)y＝｜x2－3x＋2|；(3).分析：本题画出各个函数的图象后，就可以得出相应的单调递增或单调递减区间了．图1解：(1）y＝｜2x－1｜＝如图1所示,函数的单调递增区间是；单调递减区间是.(2)y＝｜x2－3x＋2|＝如图2所示,函数的单调递增区间是和[2，＋∞）；单调递减区间是(－∞,1]和。图2图3(3).如图3所示,函数的单调递减区间是(－∞,－3)和(－3，＋∞）．谈重点由图象得出函数的单调区间对于函数求单调区间，可以根据图象及结合基本函数的单调性来寻找的．对于有些函数,如果能够画出函数的图象，那么寻找单调区间就比较容易了，此类题目通常是与基本函数（如一次函数、二次函数、反比例函数以及后面学的指数函数与对数函数等)有关的函数．【例2－2】已知四个函数的图象如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(）解析：已知函数的图象判断其在定义域内的单调性，应从它的图象是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知选项B中的函数在定义域内为增函数．答案:B谈重点单调函数的图象特征函数的单调性反映在图象上是在指定的区间(也可以是定义域）从左到右图象越来越高或越来越低（注意一个点也不能例外，如本例C中的函数只有一个点例外,受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图象上的直观表现．【例2－3】画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的图象,说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图象后,观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．解：当x≥0时,f(x)＝－(x－1)2＋4，其开口向下,对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)＝0,f(0)＝3；当x＜0时，f（x）＝－(x＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f（－3）＝0。作出函数的图象(如图）,由图看出，函数在（－∞，－1］，[0,1］上是增函数，在［－1，0],［1,＋∞）上是减函数．辨误区写函数的单调区间易忽略的问题1．如果一个函数有多个单调增(减)区间,这些增(减）区间应该用逗号隔开（即“局部”）或用“和”来表示，而不能用并集的符号“∪"连接;2．确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间．如虽然函数y＝x2在区间[2，3］，[5,9]，[1，＋∞）上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成［0，＋∞），而不能写区间[0,＋∞）的任一子区间;3．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图象在该点处连续，则书写函数的单调区间时,既可以写成闭区间,也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义,则书写函数的单调区间时必须写成开区间．(2)定义法如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行,步骤如下：①取值:设x1，x2为给定区间内任意的两个值,且x1＜x2（在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性,它代表区间内的每一个数，所以,在证题时不能用特殊值来代替它们）；②作差变形：作差Δy＝f（x2）－f(x1)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；③定号:确定差值Δy的符号，当符号不确定时,可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则）；④判断：根据定义作出结论（若Δx＝x2－x1与Δy＝f（x2)－f（x1)同号，则给定函数是增函数;异号，就是减函数）．【例2－4】（1)证明函数在定义域上是减函数；(2）证明函数f（x）＝x3＋x在R上是增函数；(3)证明函数f（x)＝x＋在（0，1)上为减函数．分析:证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f(x1），f（x2)的差Δy＝f（x2)－f（x1)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式．证明：(1）的定义域为[0，＋∞)，任取x1,x2∈[0，＋∞),且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2)－f(x1)＝＝，由单调函数的定义可知，函数在定义域［0，＋∞)上是减函数．(2)设x1,x2∈R，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2）－f(x1）＝(x23＋x2)－（x13＋x1）＝(x23－x13）＋（x2－x1）＝(x2－x1)(x22＋x1x2＋x12）＋（x2－x1)＝(x2－x1）(x22＋x1x2＋x12＋1)＝，由单调函数的定义可知，函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．（3）设x1,x2∈(0,1)，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0,Δy＝f(x2）－f（x1）＝＝(x2－x1）＋＝(x2－x1）＝。∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2－1＜0，x1x2＞0。∴Δy＝f(x2）－f(x1）＜0。∴由单调函数的定义可知，函数在(0，1)上为减函数．辨误区利用定义证明函数的单调性需谨慎在第（1）题中，有的同学认为由0≤x1＜x2，可得0≤eq\r(x1）＜eq\r（x2)，这种证明实际上利用了函数y＝eq\r（x)的单调性，而y＝eq\r(x)的单调性我们没作证明,因此不能使用；在第（1）题中还使用了“分子有理化”的变形技巧，要注意观察这类题目的结构特点．3．利用函数的单调性比较两个函数值的大小若函数y＝f（x）在给定的区间A上是增函数，设x1,x2∈A，且x1＜x2，则有f（x1)＜f（x2）；若函数y＝f(x）在给定的区间A上是减函数,设x1，x2∈A,且x1＜x2，则有f（x1)＞f（x2)．所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小．否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小．【例3】设函数f（x)是区间（0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1）与的大小关系为________．解析：∵a2－a＋1＝＞0，又∵f(x）在(0，＋∞）上是减函数，∴当时，a2－a＋1＞，有f（a2－a＋1)＜；当时，a2－a＋1＝，有f(a2－a＋1）＝.综上可知，f(a2－a＋1）≤。答案：f(a2－a＋1)≤4．利用函数的单调性确定参数范围已知函数的单调性,求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想,运用函数单调性的逆向思维思考问题．这类问题能够加深对概念、性质的理解．例如：已知函数f（x)＝x2－2(1－a）x＋2在（－∞，4]上是减函数,求实数a的取值范围．由于二次函数是我们最熟悉的函数,遇到二次函数就画图象，会给我们研究问题带来很大方便．要使f(x)在（－∞，4]上是减函数，由二次函数的图象可知，只要对称轴x＝1－a≥4即可，解得a≤－3。谈重点对分段函数的单调性的理解求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图象之间的上下关系．【例4】已知函数是（－∞，＋∞)上的减函数，求实数a的取值范围．分析：函数f(x）是一个分段函数，其图象由两部分组成．当x＜1时，f(x）＝(3－a)x＋4a,其图象是一条射线(不包括端点）;当x≥1时，，其图象由a的取值确定，若a＝0，则为一条与x轴重合的射线,若a≠0，则为反比例函数图象的一部分（曲线)．已知函数f(x）是(－∞，＋∞）上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x＜1时的图象位于x≥1时的图象的上方。解：由题意知，函数f(x)＝（3－a）x＋4a（x＜1）与(x≥1）都是递减的，且前者图象位于后者图象的上方（如图所示)．∴即∴a＞3.∴实数a的取值范围是{a|a＞3}．5．利用函数的单调性求函数的最值若函数在给定的区间上是单调函数,可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，若函数f（x)在某一闭区间[a，b］上是增函数,则最大值在右端点b处取得,最小值在左端点a处取得;若函数f(x)在某一闭区间［a，b]上是减函数，则最大值在左端点a处取得，最小值在右端点b处取得．解题时也可结合函数的图象，得出问题的答案．【例5－1】求的最小值．分析：求函数的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．解：的定义域为［1,＋∞)，任取x1，x2∈［1,＋∞），且x1＜x2，Δx＝x2－x1＞0,则Δy＝f(x2）－f（x1)＝(x2＋)－(x1＋)＝（x2－x1）＋(－）＝(x2－x1）＋＝（x2－x1)·.∵Δx＝x2－x1＞0,1＋＞0，∴f（x2)－f(x1)＞0。∴f(x)在［1，＋∞）上为增函数，∴f(x）min＝f(1）＝1。【例5－2】已知函数(x∈[－3，－2])，求函数的最大值和最小值．解：设－3≤x1＜x2≤－2,则f(x1）－f（x2）＝＝＝.由于－3≤x1＜x2≤－2，则x1－x2＜0，x1＋1＜0,x2＋1＜0。所以f（x1）＜f（x2)．所以函数在[－3,－2]上是增函数．又因为f（－2)＝4，f(－3）＝3，所以函数的最大值是4，最小值是3。6．利用函数的单调性解不等式函数的单调性具有可逆性,即f（x)在区间D上是递增的，则当x1，x2∈D且f(x1）＞f(x2)时，有x1＞x2〔事实上，若x1≤x2，则f(x1）≤f(x2)，这与f(x1)＞f(x2)矛盾〕．类似地，若f（x）在区间D上是递减的，则当x1，x2∈D且f（x1）＞f(x2)时，有x1＜x2.利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式．此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域要求，最后取几个不等式的解的交集即可．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，在解决比较函数值的大小问题时,要注意将对应的自变量放在同一个单调区间上．【例6】已知y＝f（x）在定义域(－1，1）上是减函数，且f（1－a)＜f(a2－1)，求a的取值范围．分析：由于函数y＝f（x)在定义域(－1，1)上是减函数,且f(1－a)＜f（a2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a∈（－1,1），a2－1∈（－1,1)，且1－a＞a2－1，解此关于a的不等式组,即可求出a的取值范围．解：由题意可得由①得0＜a＜2,由②得0＜a2＜2，∴0＜|a|＜，∴,且a≠0。由③得a2＋a－2＜0,即(a－1)(a＋2）＜0，∴或∴－2＜a＜1.综上可知0＜a＜1，∴a的取值范围是0＜a＜1。7．复合函数单调性的判断方法一般地，如果f(x）,g(x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论:（1）f(x)，g(x）的单调性相同时，f（x）＋g（x）的单调性与f（x)，g(x)的单调性相同．（2）f（x），g(x)的单调性相反时，f（x）－g（x）的单调性与f（x）的单调性相同．（3）y＝f(x)在区间I上是递增(减)的,c，d都是常数，则y＝cf（x）＋d在I上是单调函数．若c＞0，y＝cf(x）＋d在I上是递增（减）的；若c＜0,y＝cf（x)＋d在I上是递减(增)的．（4)f(x)恒为正或恒为负时,y＝eq\f(1,fx）与y＝f(x)单调性相反．(5）若f(x）＞0,则函数y＝f(x)与y＝eq\r(fx)具有相同的单调性．(6)复合函数y＝f[g(x)］的单调区间求解步骤：①将复合函数分解成基本初等函数y＝f（u),u＝g（x);②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个函数的单调区间;④若两个函数在对应区间上的单调性相同，则y＝f[g（x)]为增函数；若不同,则y＝f[g(x）］为减函数．该法可简记为“同增异减”．值得注意的是：在解选择题、填空题时我们可直接运用此法，但在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．【例7】求的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域,再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．解：要使函数有意义，需满足x2＋2x－3≥0,即（x－1)(x＋3)≥0。∴或∴x≥1，或x≤－3。∴函数的定