数值分析李庆扬第9章常微分方程初值问题数值解法讲义

2024年11月19日1例如：时，第9章常微分方程初值问题数值解法9.1引言微分方程：包含自变量、未知函数和未知函数导数或微分的方程。例如：，求定解条件：求解微分方程时，所附加的条件——定解问题。初始条件：给出积分曲线在初始时刻的值——初值问题。例如：时，边界条件：给出积分曲线在首末两端的值——边值问题。常微分方程：未知函数为一元函数。偏微分方程：未知函数为多元函数。2024年11月19日2一阶常微分方程的初值问题：求解注意：——解函数、积分曲线；——微分函数。确定初值问题的解存在而且唯一：李普希兹条件。，2024年11月19日3如果存在实数，使得称关于满足利普希茨条件，为的利普希茨常数。说明：条件可理解为解函数无限接近时，微分函数也无限接近。定理1设在区域上连续，且关于满足利普希茨条件，则对任意常微分方程初值问题当时存在唯一的连续可微解。2024年11月19日4关于方程的解对扰动的敏感性，有结论：定理2设在区域上连续，且关于满足利普希茨条件，设初值问题，，其解为，则说明：①定理表明解对初值的敏感性，即初值不同，解也有差异；②解得敏感性与微分函数有关：当的利普希茨常数较小时，解对初值相对不敏感；当较大时，初值的扰动会引起解剧烈变化—病态问题；2024年11月19日5数值解法：在一系列离散点上，求解近似值。“步进式”：顺着节点排列顺序，一步一步地向前推进。步长：常用等步长，节点为单步法：计算时，只用到前一点的值步法：计算时，用到前面点的值2024年11月19日69.2简单的数值方法9.2.1欧拉法与后退欧拉法初值问题：解的形式：是通过点的一条曲线——积分曲线。特点：积分曲线上每一点的切线斜率为2024年11月19日7尤拉方法：①将解区间离散化，选择步长，得到离散点：；②由切线，切线与交点：的近似值；③再由向前推进到，得到折线，近似。2024年11月19日8任意折线：过点作直线，斜率，——欧拉方法若初值已知，由此可逐次算出：2024年11月19日9P281例1求解初值问题解：欧拉公式为，2024年11月19日10局部截断误差：设前一步值准确，算下一步出现的误差假设：泰勒展开函数：局部截断误差：2024年11月19日11后退的欧拉法：离散化：求解微分方程的关键，消除导数项，

基本方法之一是用差商替代导数项。例如：——向前的欧拉公式（显式）2024年11月19日12同理：——后退的欧拉公式（隐式）注意：①显式计算方便，隐式稳定性较好；②上式隐含，采用迭代法求解。2024年11月19日13欧拉公式的另一种理解：将常微分方程改写对微分方程从到积分由积分左矩形公式得再以代替，以代替——向前的欧拉公式2024年11月19日14对微分方程从到积分由积分右矩形公式得再以代替，以代替——后退的欧拉公式同理：2024年11月19日15迭代法求解：后退的欧拉公式——逐步显示①先用尤拉格式，求出初值：②再将结果代入微分函数：③反复迭代，直到收敛：2024年11月19日16讨论迭代的收敛性：因函数对满足利普希茨条件比较欧拉的后退公式和其次迭代结果两式相减得由此可知：只要迭代法就收敛到解。2024年11月19日17可以证明：局部截断误差后退的欧拉公式向前的欧拉公式因此：平均可减少误差——梯形格式。（注意：误差不可能消除，两公式不同。）2024年11月19日189.2.2梯形方法向前欧拉方法：后退欧拉方法：梯形方法：两者平均注意：梯形公式可有效减小误差，计算结果更接近实际值。（图示表示梯形法计算结果）2024年11月19日19用迭代法求解：梯形法（用向前公式求初值）（即将上次结果代入）反复迭代，直到两次迭代结果达到误差要求。问题：每个节点，都需迭代计算，计算量太大。2024年11月19日20分析迭代过程的收敛性：比较梯形公式和其迭代公式，并相减两式由利普希茨条件，有若选取充分小，使得，则时有2024年11月19日219.2.3改进欧拉公式①先用向前欧拉公式，求得一个初步的近似值预测：②再用梯形公式，将结果校正一次校正：平均化形式：2024年11月19日22P284例2用改进的欧拉方法求解初值问题：解：2024年11月19日239.2.4单步法的局部截断误差与阶初值问题单步法求解的一般形式为（其中多元函数与有关）当含有时，方法是隐式的，否则为显式方法。显式单步法可表示为称为增量函数，例如对欧拉法有2024年11月19日24定义1设是初值问题的准确解，称为显式单步法的局部截断误差。注意：上述中假设在前各步没有误差，故误差是局部的。当时，计算一步，则有局部截断误差：是计算一步的误差，也是公式误差。2024年11月19日25如果将函数在处泰勒展开欧拉法的局部截断误差为这里称为局部截断误差主项。显然2024年11月19日26定义2设是初值问题的准确解，若存在最大整数使显式单步法的局部截断误差满足则称该方法具有阶精度。若将局部截断误差展开，写成则称为局部截断误差主项。2024年11月19日27以上定义对隐式单步法也适用。同样将函数在处泰勒展开后退欧拉法的局部截断误差为这里是一阶方法，局部截断误差主项为2024年11月19日28同样对梯形公式局部截断误差为故梯形法是二阶方法，局部截断误差主项为2024年11月19日299.3龙格-库塔方法9.3.1显式龙格-库塔法的一般形式对欧拉法欧拉法为阶，其增量函数为对改进的欧拉法其增量函数为比起欧拉法，增加了计算一个右函数的值，有阶精度。2024年11月19日30提高公式阶数：增加增量函数中的值对于一阶常微分方程，等价的积分形式提高公式阶数：必须提高数值求积精度，需增加求积节点说明：①求积节点越多，积分精度越高，求解公式阶数越大②增量函数注意：——级数，——阶数，两者不同2024年11月19日31对于二级显式龙格-库塔法：考察区间内一点用、两点的函数值、：构造增量函数2024年11月19日32对于可用欧拉公式预测：因此有二级显式龙格-库塔法：2024年11月19日33同理，三级显式龙格-库塔法：注意：需用、的线性组合计算2024年11月19日34

级显式龙格-库塔法：R-K方法这里均为常数时为欧拉法，阶数2024年11月19日359.3.2二阶显式

R-K法

时，R-K方法计算公式：这里均为待定常数期望：适当选取系数，使公式阶数尽量提高2024年11月19日36局部截断误差为这里将函数在处泰勒展开注意是二元函数，其导数应为全导数。2024年11月19日372024年11月19日38将结果代入局部截断误差：2024年11月19日39要使公式具有阶，必有即非线性方程组的解不是唯一的。可令2024年11月19日40若取：，——改进的欧拉法若取：，，中点公式：相当于数值积分的中矩形公式2024年11月19日419.3.3三阶与四阶显式

R-K方法要得到三阶显式R-K

方法，必须取均为待定参数2024年11月19日42公式的局部截断误差为将按二元函数泰勒展开，使这是8个未知量、6个方程的非线性方程组，解不是唯一的。2024年11月19日43常见的公式之一：库塔三阶方法2024年11月19日44经典公式之一：四阶龙格-库塔方法可以证明：四阶龙格-库塔方法的截断误差为2024年11月19日45P289例3设取步长，从到用四阶龙格-库塔方法求解初值问题：解：公式为2024年11月19日46计算结果：注意：这里步长增大为，

计算精度比改进的欧拉法要高。2024年11月19日479.3.4变步长的龙格-库塔方法步长减小，局部截断误差减小，但：①求解范围内的计算步数增加，计算量增大；②步数增加会导致舍入误差的严重积累。选择步长时，需要考虑的两个问题：①怎样衡量和检验计算结果的精度？②如何依据所获得的精度处理步长？2024年11月19日48考察经典的四阶龙格-库塔公式：从节点出发，先以为步长求出一个近似值将步长折半，从跨两步到，再求得近似值比较两者的局部截断误差：步长折半后，误差减小2024年11月19日49因而，可得误差估计式步长折半前后两次计算结果的偏差检查偏差是否满足给定精度要求，来选择合适步长：①若，