2021-2022学年高中数学-第4章-指数与对数章末综合测评苏教版必修第一册

2021-2022学年高中数学第4章指数与对数章末综合测评苏教版必修第一册2021-2022学年高中数学第4章指数与对数章末综合测评苏教版必修第一册2021-2022学年高中数学第4章指数与对数章末综合测评苏教版必修第一册2021-2022学年高中数学第4章指数与对数章末综合测评苏教版必修第一册年级：姓名：章末综合测评(四)指数与对数(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将eq\r(3,－2\r(2))化为分数指数幂，其形式是()A．2 B．－2C．2 D．－2B[eq\r(3,－2\r(2))＝(－2eq\r(2))＝(－2×2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))＝－2.故选B.]2．计算9的结果是()A．eq\f(1,27) B．18C．36 D．eq\f(1,36)A[9＝(32)＝3－3＝eq\f(1,27)，故选A.]3．当eq\r(2－x)有意义时，化简eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2－6x＋9)的结果是()A．2x－5 B．－2x－1C．－1 D．5－2xC[因为eq\r(2－x)有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝eq\r(x－22)－eq\r(x－32)＝(2－x)－(3－x)＝－1.]4．方程2log3x＝eq\f(1,4)的解是()A．9 B．eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3) D．eq\f(1,9)D[∵2log3x＝eq\f(1,4)＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝eq\f(1,9).]5．若lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，则x的值等于()A．1 B．0或eq\f(1,8)C．eq\f(1,8) D．log23D[因为lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0,2x＝3，x＝log23.故选D.]6．已知ab＝－5，则aeq\r(－\f(b,a))＋beq\r(－\f(a,b))的值是()A．2eq\r(5) B．0C．－2eq\r(5) D．±2eq\r(5)B[由题意知ab<0，aeq\r(－\f(b,a))＋beq\r(－\f(a,b))＝aeq\r(－\f(ab,a2))＋beq\r(－\f(ab,b2))＝aeq\r(\f(5,a2))＋beq\r(\f(5,b2))＝aeq\f(\r(5),|a|)＋beq\f(\r(5),|b|)＝0.]7．已知logaeq\f(1,2)＝m，loga3＝n，则am＋2n等于()A．3 B．eq\f(3,4)C．9 D．eq\f(9,2)D[由已知得am＝eq\f(1,2)，an＝3，所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝eq\f(1,2)×32＝eq\f(9,2).故选D.]8．已知2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，则eq\f(M,N)的值为()A.eq\f(1,4) B．4C．1 D．4或1B[因为2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，所以loga(M－2N)2＝loga(MN)，(M－2N)2＝MN，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(M,N)))2－5eq\f(M,N)＋4＝0，解得eq\f(M,N)＝1(舍去)，eq\f(M,N)＝4，故选B.]二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列运算正确的是()A．eq\r(4,a4)＝a B．log2a2＝2log2aC．eq\r(3,－a3)＝－a D．(log29)·(log34)＝4CD[当a<0时，AB不成立，对于C显然成立，由换底公式得[(log29)·(log34)＝eq\f(lg9,lg2)×eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3,lg2)×eq\f(2lg2,lg3)＝4.所以D正确，应选CD.]10．若m>0，n>0，a>0且a≠1，b>0，则下列等式错误的是()A．a－n＝eq\r(n,a)B．logam·logan＝loga(m＋n)C．eq\r(3,m2)＝mD．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))m＝eq\f(am,bm)ABC[a－n＝eq\f(1,an)，故A错误；logam＋logan＝loga(mn)，故B错误；eq\r(3,m2)＝m，故C错误；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))m＝eq\f(am,bm)故D正确．故选ABC.]11．已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，则eq\f(a,b)＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．2AD[令t＝logab，则t＋eq\f(1,t)＝eq\f(5,2)，∴2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0，∴t＝eq\f(1,2)或t＝2，∴logab＝eq\f(1,2)或logab＝2，∴a＝b2，或a2＝b，∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2∴b＝2，a＝4，或a＝2，b＝4.∴eq\f(a,b)＝2，或eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，故选AD.]12．下列命题中，真命题是()A．若log189＝a，log1854＝b，则182a－b＝eq\f(3,2)B．若logx27＝3(log318－log32)，则x＝±eq\r(3)C．若log6[log3(log2x)]＝0，则x＝eq\f(\r(2),4)D．若x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)＝0ACD[对于A，因为log189＝a，log1854＝b，所以18a＝9,18b所以182a－b＝eq\f(182a,18b)＝eq\f(92,54)＝eq\f(3,2).即A正确；对于B，logx27＝3log39＝3×2＝6.所以x6＝27，所以x6＝33，又x＞0，所以x＝eq\r(3).即B错误；对于C，由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，转化为指数式为x＝23＝8，所以x＝8＝eq\f(1,8)＝eq\f(1,\r(8))＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4).即C正确；对于D，由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，所以x＝2，y＝1，所以logx(yx)＝log2(12)＝0，即D正确．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．10lg2－lne＝________.eq\f(1,5)[lne＝1，所以原式＝10lg2－1＝10lg2×10－1＝2×eq\f(1,10)＝eq\f(1,5).]14．若eq\r(x－1)＋eq\r(4,x＋y)＝0，则x2020＋y2021＝________.0[∵eq\r(x－1)≥0，eq\r(4,x＋y)≥0，且eq\r(x－1)＋eq\r(4,x＋y)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,x＋y＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－1.))∴x2020＋y2021＝1－1＝0.]15．已知正数a，b满足ba＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b＝________.4或5[∵ba＝4，∴log2ba＝log24，即alog2b＝2①，又a＋log2b＝3②，联立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,log2b＝2))或者eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,log2b＝1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝4))或者eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝2))，∴a＋b＝4或者a＋b＝5，故答案为：4或5.]16．若2a＝5b＝10，则4－a＝________，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)eq\f(1,100)1[∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴4－a＝eq\f(1,4a)＝eq\f(1,2a2)＝eq\f(1,100)；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log210)＋eq\f(1,log510)＝lg2＋lg5＝lg10＝1.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求下列各式中x的值．(1)log3(log2x)＝0；(2)log2(lgx)＝1；(3)52－log53＝x；(4)(alogab)logbc＝x(a>0，b>0，c>0，a≠1，b≠1)．[解](1)∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝1.∴x＝21＝2.(2)∵log2(lgx)＝1，∴lgx＝2.∴x＝102＝100.(3)x＝52－log53＝eq\f(52,5log53)＝eq\f(25,3).(4)x＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.18．(本小题满分12分)(1)已知3a＝5b＝15，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值．(2)设10a＝2，lg3＝b，用a，b表示log2[解](1)∵3a＝5b∴a＝log315，b＝log515，∴eq\f(1,a)＝log153，eq\f(1,b)＝log155，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log1515＝1.(2)∵10a∴lg2＝a，∴log26＝eq\f(lg6,lg2)＝eq\f(lg2＋lg3,lg2)＝eq\f(a＋b,a).19．(本小题满分12分)(1)化简：log4(24×642)＋log318－log32＋log52×log2125；(2)已知a＝2eq\r(7)，b＝5eq\r(2)，求eq\f(a6b－6－9b4,\r(a6b－6－6a3b－1＋9b4))·eq\f(b5,a3＋3b5)的值．[解](1)原式＝log4(42×46)＋log3eq\f(18,2)＋log5125＝8＋2＋3＝13.(2)a6b－6－6a3b－1＋9b4＝(a3b－3－3b2)2由a＝2eq\r(7)，b＝5eq\r(2)，得a3b－3<3b2.∴原式＝eq\f(a3b－3－3b2a3b－3＋3b2,3b2－a3b－3)·eq\f(b5,a3＋3b5)＝－eq\f(a3b－3＋3b2b5,a3＋3b5)＝－eq\f(a3＋3b5b2,a3＋3b5)＝－b2.∵b＝5eq\r(2)，故原式＝－50.20．(本小题满分12分)(1)求64＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,125)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))0.5的值；(2)若log23＝x，求eq\f(4x－4－x,2x－2－x)的值.[解](1)64＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,125)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))0.5＝16＋eq\f(5,3)－eq\f(5,3)＝16.(2)若x＝log23，则2x＝3,2－x＝eq\f(1,3)，所以eq\f(4x－4－x,2x－2－x)＝eq\f(2x＋2－x2x－2－x,2x－2－x)＝2x＋2－x＝3＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3).21．(本小题满分12分)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.(1)求p；(2)求证：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).[解](1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·eq\f(log3k,log34).∵log3k≠0，∴p＝2log34.(2)证明：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,log6k)－eq\f(1,log3k)＝logk6－logk3＝logk2，又eq\f(1,2y)＝eq\f(1,2)logk4＝logk2，∴eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).22．(本小题满分12分)某化工厂生产化工产品，今年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，精确到1年)[解]设x年后每桶的生产成本为20元．1年后每