2024-2025学年北京市顺义区第一中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市顺义区第一中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=xx−1>0，集合B=x0<x≤3，则A.1,3 B.1,3 C.0,+∞ D.1,+∞2.若复数z满足1+i⋅z=2i，则z的共轭复数z=(

)A.1−i B.1+i C.−i D.−1+i3.如图所示，直线l1,l2,l3A.k1>k2C.k2>k4.已知角α的终边经过点−3,4，则cosπ+α=(

)A.−45 B.−35 C.5.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递减的是(

)A.y=x3 B.y=cosx C.6.在▵ABC中，若a=7，b=8，cosB=17，则∠A的大小为A.π6 B.π3 C.5π6 D.7.设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若AB=30m，BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为(

)

A.100 m B.112 m C.117 m D.132 m9.函数fx=sin2x图象上存在两点Ps,t，Qr,tA.fs+π6=12 B.f10.已知函数fx=x2−ax+2,x≥ax+a,x<a，若对于任意正数k，关于x的方程A.0 B.1 C.2 D.无数二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数y=ln(1−2x)+2x的定义域是12.首项为1的等比数列an中，4a1，2a2，a3成等差数列，则公比13.能说明“若sinα=cosβ，则α+β=k⋅360∘+90∘，其中k∈Z”为假命题的一组14.如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则AP⋅AB的取值范围为

．

15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M给出下列四个结论：

①MN的最小值为2；②四面体NMBC的体积为43③有且仅有一条直线MN与AD④存在点M，N，使▵MBN为等边三角形．其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)已知函数fx(1)若0<α<π2，且sinα=(2)求函数fx的最小正周期，及函数fx17.(本小题12分)在▵ABC中，已知sinC=3(1)求∠A的大小；(2)求cosB和a条件①：a=73c；条件②：b−a=1；条件③：18.(本小题12分)某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：(1)从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；(2)从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；(3)如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图(结论不要求证明)19.(本小题12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面CDE⊥平面ABCD，AF//DE，DE⊥CD，DE=3AF=3

(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)求平面BEF与平面BDE夹角的余弦值；(3)线段CE上是否存在点P，使得AP//平面BEF？若存在，指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由．20.(本小题12分)已知函数fx(1)若曲线y=fx在点e,fe处的切线斜率为1，求实数(2)当a=0时，求证：fx(3)若函数f(x)在区间1,+∞上存在极值点，求实数a的取值范围．21.(本小题12分)已知数列an，对于任意的n∈N∗，都有a(1)已知数列an，bn的前n项和分别为An，Bn，且an=2n−1，(2)已知等差数列bn，首项为4，公差为d，且bnn(3)证明：数列cn为“凹数列”的充要条件是“对于任意的k，m，n∈N∗，当k<m<n时，有(n−m)c参考答案1.C

2.A

3.C

4.C

5.D

6.B

7.C

8.D

9.B

10.B

11.−∞,0∪12.2

13.答案不唯一，如α=110∘，14.−8,24

15.①②④

16.(1)因为0<α<π2，且所以cosα=1−si所以fα(2)fx所以函数fx的最小正周期T=由2kπ+π2≤2x+解得kπ+π8≤x≤kπ+所以函数fx的单调递减区间kπ+π8

17.(1)若选择①②：a=73c在▵ABC中，由正弦定理asinA=因为b−a=1，即a<b，可知0<∠A<π2，所以若选择①③：a=73c在▵ABC中，因为由正弦定理asinA=在▵ABC中，bcosA=−5可知π2<∠A<π，所以若选②③：b−a=1，bcos因为b−a=1，即a<b，可知0<∠A<π又因为bcosA=−52<0两者相矛盾，故不成立．(2)由(1)可知：不能选②③．若选择①②：在▵ABC中，a=73c，即a>c且sinC=3则cosB=−可知π2<B<π，则由正弦定理asinA=又因为b−a=a7=1选择①③：在▵ABC中，a=73c，即a>c且sinC=3则cosB=−且0<B<π，可得sinB=又因为bcosA=−1由正弦定理asinA=

18.(1)设“职工甲和职工乙微信计步数都不低于10000”为事件A从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以PA(2)由图可知，7天中乙的步数不低于10000步的天数共4天．X的所有可能取值为0,1,2，PX=0X的分布列为X012P142E(3)3月3日由直方图知，微信记步数落在20,25,15,20,200×0.15=30,200×0.25=50,200×0.3=60，200×0.2=40,200×0.1=20．由甲的排名为第68，可知当天甲的微信步数在15000−20000之间，据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000−10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日．所以只有3月3日符合要求．

19.解：(1)因为平面

CDE⊥

平面

ABCD

，平面

CDE∩

平面

ABCD

=CD

，

DE⊥CD

，

DE⊂

平面

CDE

，所以

DE⊥

平面

ABCD

，因为

AC⊂

平面

ABCD

，所以

DE⊥AC

，因为四边形

ABCD

是正方形，所以

AC⊥BD

，因为

BD∩DE=D

，

DB⊂

平面

BDE

，

DE⊂

平面

BDE

，所以

AC⊥

平面

BDE

．(2)由(1)得

DE⊥

平面

ABCD

，因为

DA,DC⊂

平面

ABCD

，所以

DA

，

DC

，

DE

两两垂直，以

B

为原点，

DA,DC,DE

为

x

轴、

y

轴、因为

DE=3AF=36

，

AD=3所以

BD=32

，

AF=则

A3,0,0

，

F3,0,6

，

E0,0,36

，

所以

BF=(0,−3,6)

，设平面

BEF

的一个法向量为

n=(x,y,z)

则

n⋅BF=−3y+6z=0n⋅EF=3x−2因为

AC⊥

平面

BDE

，所以

CA

为平面

BDE

的一个法向量，

CA=(3,−3,0)

所以

cos ⟨CA设平面

BEF

与平面

BDE

夹角为

θ

，所以

cosθ=cos所以平面

BEF

与平面

BDE

夹角的余弦值

1313(3)线段

CE

上存在点

P

，点

P

为

CE

中点，满足

AP//

平面

BEF

，证明如下：设

CP=λCE

(0≤λ≤1)因为

CE=0,−3,36所以

CP=0,−3λ,3AP由(2)知平面

BEF

的一个法向量为

n=(4,2,因为

AP//

平面

BEF

，所以

AP⋅n=−3×4+3−3λ所以线段

CE

上存在点

P

，点

P

为

CE

中点，满足

AP//

平面

BEF

．

20.解：(1)因为fx所以f′x由题知f′e解得a=0．(2)当a=0时，fx所以f′x当x∈0,1时，f′x<0，f(x)当x∈1,+∞时，f′x>0，f(x)所以f1=0是f(x)在区间所以fx(3)由(1)知，f′x若a≥0，则当x∈1,+∞时，f′x>0，f(x)此时无极值．若a<0，令gx则g′x因为当x∈1,+∞时，g′x>0，所以g(x)因为g1而ge所以存在x0∈1,f′x和f(x)x1,xxf′−0+f(x)

↘极小值↗因此，当x=x0时，f(x)有极小值综上，a的取值范围是(−∞,0)．

21.(1)由于an=2n−1为等差数列，所以An=(1+2n−1)n2=n2，bn=−任意的n∈N∗，