2024-2025学年北京市东城区第一七一中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市东城区第一七一中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U是实数集R.下边的韦恩图表示集合M=xx2与N={x|1<x<3}关系，那么阴影部分所表示的集合可能为(

)

A.{x∣x>2} B.x∣x≤2 C.{x∣x>1} D.x∣x≤12.如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等，那么b=(

)A.−2 B.1 C.2 D.43.设等差数列an的前n项和为Sn，且a3=2，a1A.6 B.7 C.8 D.94.已知函数f(x)=2x−log2xA.(0,1) B.(−∞,2) C.(2,+∞) D.(0,2)5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点P为C上一动点，线段PF的垂直平分线与x=−1交于点Q，那么A.QF≥PF B.QF>PF C.6.若函数fx=sinωx+π3ω>0在π2,π上单调，且在0,A.13,2 B.23,767.在▵ABC中，∠C=90∘,∠B=30∘，∠BAC的平分线交BC于点D.若ADA.13 B.12 C.2 8.已知数列an为无穷项等比数列，Sn为其前n项的和，“S1>0，且S2>0”是“∀n∈A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不必要又不充分条件9.已知在三棱锥P−ABC中，PA=BC=234，PB=AC=10，PC=AB=241，则三棱锥P−ABCA.40 B.80 C.160 D.24010.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值(精确到0.001)，可得N的值为(

)M2371113lg0.3010.4770.8451.0411.114A.13 B.14 C.15 D.16二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数f(x)=4−x2x12.二项式x+ax5的展开式中，x3的系数为10，则a=13.已知直线y=2x与双曲线C:x2a2−y214.在平面直角坐标系xOy中，点B为圆x−22+y2=1上的动点，点A的坐标为cosθ,sinθ，其中θ为常数且0≤θ≤π.如果OA⋅OB的最大值为0，那么15.已知函数fx=ax−1,x≤1①若a≠2，则函数fx的零点是0②若函数fx无最小值，则a的取值范围为0,1③若a>2，则fx在区间−∞,0上单调递减，在区间0,+∞④若关于x的方程fx=a−2恰有三个不相等的实数根x1,x2,x3其中，所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)在▵ABC中，acos(1)求A的大小；(2)若c=4，在下列三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在且唯一，求▵ABC的周长．①a=②▵ABC的面积为5③AB边上的高线CD长为3注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.(本小题12分)如图，矩形ACFE,AE=1,AE⊥平面ABCD,AB//CD,∠BAD=90∘,AB=1,AD=CD=2，平面ADF与棱BE(1)求证：AG//DF;(2)求直线CF与平面ADF夹角的正弦值;(3)求BGBE的值．18.(本小题12分)在2021年12月9日发布的《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》中，义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分．其中过程性考核40分，现场考试30分．该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开．现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容．某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立．(1)从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；(2)从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，设X为这3人中选考1分钟跳绳的人数，求随机变量X的数学期望EX(3)已知乒乓球考试满分8分．在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分．记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为μ1，其中男生的乒乓球平均分的估计值为μ2，试比较μ1与μ2的大小．19.(本小题12分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点D(0,2)，直线AD交椭圆于点E，过点D的直线交椭圆于M，N两点，若直线CM与x轴交于P点，过E且平行于x轴的直线与BN交于Q点，求|DQ||PQ|的值．20.(本小题12分)已知fx=e(1)当a=0时，求曲线y=fx在点0,f(2)当a=1时，求函数fx(3)若fx≥12x221.(本小题12分)已知数列an，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i1<i2<⋯<im)，若ai1<ai2<⋅⋅⋅<aim(1)写出数列1，8，3，7，5，6，9的最长单调子列；(2)已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为am0，长度为q的递增子列的末项的最小值为an0(3)若数列an有n2+1项，且任意两项均不相等，证明：an必存在长度为参考答案1.D

2.A

3.D

4.D

5.A

6.B

7.B

8.C

9.C

10.C

11.[−2,0)∪(0,2]

12.2

13.5(答案不唯一14.23−2

15.①④

16.(1)在▵ABC中，由acos得sinAcosB+而sinC>0，解得cosA=1所以A=π(2)选择条件①，a=13，由正弦定理得sinC=因此角C有两解，即▵ABC不唯一；选择条件②，▵ABC的面积为53，由解得b=5，由余弦定理得a=所以▵ABC唯一，其周长为a+b+c=9+选择条件③，AB边上的高线CD长为32，则▵ABC的面积由S▵ABC=1由余弦定理得a=所以▵ABC唯一，其周长为a+b+c=5+

17.(1)证明：由题知，∵矩形ACFE，∴AE//EF，∵AB/​/CD，且AE⊆平面AEB，AB⊆平面AEB，AE∩AB=A，CF⊆平面CFD，CD⊆平面CFD，CF∩CD=C，∴平面AEB//平面CFD，∵

平面ADF与棱BE交于点G，且BE⊆平面AEB，∵平面ADF∩平面AEB=AG，平面ADF∩平面CFD=DF，平面AEB//平面CFD，故AG//DF，得证;(2)由题知，AE⊥平面ABCD，且∠BAD=90∴AB，AD，AF两两垂直，以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，AE方向为z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(2,2,1)，∴设平面ADF的法向量为n=(x,y,z)，则有即2x+2y+z=02y=0，不妨令x=1，可得n记直线CF与平面ADF夹角为α，∴sin故直线CF与平面ADF夹角的正弦值为2(3)由题知，设BGBE=λ,∴BG由(2)知平面ADF的法向量为n=(1,0,−2)，且G∈平面ADF故n∴1−λ−2λ=0,∴λ=1故BG

18.(1)样本中男生选考乒乓球的人数为1100×10%=110人，样本中女生选考乒乓球的人数为1000×5%=50人，设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件A，则该学生选考乒乓球的概率PA(2)依题意X的可能取值为0、1、2、3，则PX=0PX=1PX=2PX=3所以E(3)μ因为μ1μ2因为314>85

19.(1)依题意：a2=b2+c2椭圆的标准方程为x2(2)直线DA：y=x+2，y=x+2解得xE=−65，yE则DQPQ=32，若直线设M(x1,y整理得(1+4kΔ=256k解得k>32或k<−3直线CM：y=y1+1得xP=x1y令y=45，得xQ所以D，P，Q三点共线，所以|DQ||PQ|综上知：|DQ||PQ|

20.(1)当a=0时，fx=e即曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为(2)当a=1时，fx=e令g(x)=f′x=ex−1+x，则g′又易知f′(0)=0，所以当x≤0时，f′(x)≤f′(0)=0，当x>0时，f′(x)>0；即函数fx在−∞,0上单调递减，在(0,+∞)即函数fx的极小值为f(3)fx≥12x2+x+b令ℎ(x)=ex−a+1x−b由ℎ′(x)=ex−易知当x<ln(a+1)时，ℎ′(x)<0，当x>ln所以ℎ(x)在−∞,ln(a+1)上单调递减，在因此ℎ(x)在x=ln也是最小值为ℎln易知a+1−a+1ln可得a+1b≤令F(x)=x2−因此当0<x<e时，F′(x)>0；当x>所以F(x)在0,e上单调递增，在则F(x)≤Fe=e−e故a+1⋅b的最大值为e

21.(1)由题意知，数列1，8，3，7，5，6，9的最长单调子列为递增子列，是1，3，5，6，9；(2)设长度为q，末项为an0的递增子列为ar1，ar2，由p<q，可得ar因为数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为a又因为ar1，ar2，⋯，arq−1，所以am