2023-2024学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.数列1,53,52，…A.n2+1n+1 B.n+1n2+12.圆(x+1)2+y2=1A.相离 B.相交 C.外切 D.内切3.某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为(

)A.12 B.30 C.34 D.604.已知F是抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，点A(1,14)在CA.38 B.58 C.545.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4=6，A.48 B.90 C.96 D.1626.已知椭圆C：x24+y23=1，直线l经过点T(1,12)与C交于A，B两点.A.4x−6y−1=0 B.3x−2y−1=0 C.4x+6y−7=0 D.3x+2y−4=07.已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=3A.512 B.−512 C.48.已知F是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，直线y=52b与C交于A，A.43 B.65 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列等式中，正确的是(

)A.A52=A53 B.C10.已知曲线E：x2+y2A.E关于原点对称 B.E关于x轴对称

C.E关于直线y=x对称 D.(2,2)为E的一个顶点11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P，QA.B1P⊥BQ B.AP是平面BB1Q的一个法向量

C.C1P,BQ12.已知数列{an}中，a1=1，a4=55，在a1和a2之间插入1个数，a2和a3之间插入2个数，…，anA.{bn}的公差为6

B.a2和a3之间插入的2个数是19和25

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.直线l：mx+(m−1)y+2=0(m∈R)经过的定点坐标为______．14.写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为______．

①实轴长为4；②渐近线方程为y=±2x．15.第三届“一带一路”国际高峰论坛于2023年10月在北京召开，某记者与参会的5名代表一起合影留念(6人站成一排).若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有______种.16.已知圆C：(x−4)2+y2=5，A，B是C上的两个动点，且|AB|=2.设A(x四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

记Sn为数列{an}的前n项和．

(1)若{an}为等差数列，且a2=5，4a5=a9，18.(本小题12分)

如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3.E，F分别为A1D1和AB19.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(2,0)，与C交于M，N两点，与C的准线l′交于点P．

(1)求OM⋅ON的值；

(2)若|MF|，|MP|，|NF|20.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，AP=AB=AD=1，BC=2．

(1)求二面角B−PD−C的正弦值；

(2)在棱PC上确定一点E，使异面直线PD与BE所成角的大小为60°，并求此时点E到平面PBD的距离．21.(本小题12分)

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，数列{bn}的前n项和Sn满足4Sn=(2n+1)bn+122.(本小题12分)

已知椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作不与坐标轴垂直的直线l交C于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．

(1)证明：∠OMA=∠OMB；

(2)设点B参考答案1.A

2.C

3.B

4.C

5.B

6.D

7.B

8.A

9.BCD

10.ACD

11.BC

12.ABD

13.(−2,2)

14.x24−15.144

16.12+417.解：(1)设{an}的公差为d，

由a2=5，4a5=a9，可得a1+d=5，4(a1+4d)=a1+8d，

解得a1=8，d=−3，

由Sm=8m+m(m−1)2×(−3)=−32m2+192m<0，

解得m<0或m>193，

因为m∈N∗，所以m18.解：(1)证明：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，以{AD,AB,AA1}为正交基底建立空间直角坐标系，如图，

∵AB=2，AA=3，则A(0,0,0)，C(2,2,0)，E(1,0,3)，F(0,1,0)，

∴AC=(2,2,0)，EF=(−1,1,−3)，

∵AC⋅EF=2×(−1)+2×1+0×(−3)=0

∴AC⊥EF，∴AC⊥EF．

(2)由C1(2,2,3)，得EC1=(1,2,0)，

设平面C1EF的法向量n=(x,y,z)，

由n⊥EC1，得n⋅19.解：(1)因为抛物线C的焦点为F(2,0)，

所以p2=2，即p=4，

所以C的方程为y2=8x；

设直线l的方程为y=k(x−2)，

由y=k(x−2)y2=8x，消y得k2x2−(4k2+8)x+4k2=0，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1x2=4，

又(y1y2)2=8x1⋅8x2=256，20.解：(1)根据题意，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建系如图，

∵BC=2，AP=AB=AD=1，

∴B(1,0,0)，P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,2,0)，

∴PB=(1,0,−1)，PD=(0,1,−1)，PC=(1,2,−1)，

设平面PDB与平面PDC的法向量分别为m=(x,y,z)，n=(a,b,c)，

则m⋅PB=x−z=0m⋅PD=y−z=0，n⋅PC=a+2b−c=0n⋅PD=b−c=0，

取m=(1,1,1)，n=(1,−1,−1)，

∴|cos<m，n>|=|m⋅n||m||n|=13×3=13，

21.解：(1)由an+1=2an+1，得an+1+1=2(an+1)，

因为a1=1，所以an+1>0，

所以an+1+1an+1=2，

所以{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，

所以an+1=2n，即an=2n−1；

由4Sn=(2n+1)bn+1①，

得4Sn−1=(2n−1)bn−1+1②，

①−②，得4bn=(2n+1)bn−(2n−1)bn−1(n≥2)，

即(2n−3)bn=(2n−1)22.解：(1)证明：易知F1(−1,0)，F2(1,0)，

不妨设直线l的方程为y=k(x−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=k(x−1)x22+y2=1，消去y并整理得(2k2+