工程数学 课件 第3、4章 n 维向量与线性方程组、多元函数微分

第3章

n

维向量与线性方程组第1节

向量组及其线性组合第2节

向量组的线性相关性第3节

向量组的秩第4节

齐次线性方程组的解第5节

非齐次线性方程组的解

第1节向量组及其线性组合

一、n维向量的概念

定义3.1由n个数a1,a2,…,an组成的有序数组(a1,a2,…,an)称为一个n维向量,数ai称为向量的第i个分量(i=1,2,…,n).

注在解析几何中,我们把“既有大小又有方向的量”称为向量,并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象.引入坐标系后,又定义了向量的坐标表示式(三个有次序

实数),此即上面定义的3维向量.因此,当n≤3时,n维向量可以把有向线段作为其几何形象.当n>3时,n维向量没有直观的几何形象.

向量可以写成一行:(a1,a2,…,an);也可以写成一列:

向量写成一行时称为行向量,写成一列时

称为列向量.向量常用字母α,β,γ等表示.

若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合称为向量组.例如,一个m×n矩阵

每一列

组成的向量组a1,a2,…,an称为矩阵A的列向量组,而由矩阵A的每一行βi=(ai1,ai2,…,ain)(i=1,2,…,m),组成的向量组β1,β2,…,βm称为矩阵A的行向量组.

根据上述讨论,矩阵A记为A=(a1,a2,…,an)或

这样,矩阵A就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.

矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组,而线性方程组Am×nA=0的全体解当r(A)<n时是一个含有无限多个n维列向量的向量组.

我们规定:

(1)分量全为零的向量,称为零向量,记作0,即0=(0,0,…,0).

(2)向量α=(a1,a2,…,an

)各分量的相反数组成的向量称为α的负向量,记作-α,即-α=(-a1,-a2,…,-an).

(3)如果α=(a1,a2,…,an

),β=(b1,b2,…,bn),当ai=bi(i=1,2,…,n)时,则称这两个向量相等,记作α=β.

定义3.2设两个n维向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),定义向量α,β的和:α+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α,β的差:α-β=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn).若存在常数k,则常数与向量α的数乘kα=(ka1,ka2,…,kan).

向量的加法及数与向量的乘法统称为向量的线性运算.

注向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同,从而也满足下列运算规律:

(1)α+β=β+α;

(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);

(3)α+0=α;

(4)α+(-α)=0;

(5)1α=α;

(6)k(lα)=(kl)α;

(7)k(α+β)=kα+kβ;

(8)(k+l)α=kα+lα.

二、向量组的线性组合

定义3.3设有n维向量组α1,α2,…,αm,对于向量β,如果存在一组数k1,k2,…,km,使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm,则称β是α1,α2,…,αm的线性组合,也称β可由α1,α2,…,αm线性表示,k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数.

定理3.1向量β可由向量组A:α1,α2,…,αm线性表示的充分必要条件是:矩阵A=(α1,α2,…,αm)与矩阵B=(α1,α2,…,αm,β)的秩相等.

三、向量组间的线性表示

定义3.4设有两向量组

若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价.

引理3.1若Cs×n

=As×tBt×n,则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示,B为这一表示的系数矩阵.而矩阵C的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵.

定理3.2若向量组A可由向量组B线性表示,向量组B可由向量组C线性表示,则向量组A可由向量组C线性表示.

第2节向量组的线性相关性一、线性相关性概念定义3.5对n维向量组α1,α2,…,αm,若有数组k1,k2,…,km不全为0,使得k1α1+k2α2…+kmαm=0,则称向量组α1,α2,…,αm线性相关,否则称为线性无关.

注(1)对于单个向量α:若α=0,则α线性相关;若α≠0,则α线性无关.

(2)含有一个向量的向量组线性相关的充要条件是此向量为零向量;含有一个向量的向量组线性无关的充要条件是此向量为非零向量.

(3)两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是这两个向量对应分量成比例.

二、线性相关性的判定

定理3.3向量组α1,α2,…,αm(m≥2)线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.

定理3.4若向量组α1,α2,…,αm线性无关,α1,α2,…,αm,β线性相关,则β可由α1,α2,…,αm线性表示,且表示式唯一.

第3节向量组的秩

定义3.6设向量组为A,若:(1)在A中有r个向量α1,α2,…,αr线性无关;(2)在A中任意r+1个向量线性相关(如果有r+1个向量的话),则称α1,α2,…,αr为向量组A的一个极大线性无关组,称r为向量组A的秩,记作:秩(A)=r.注(1)向量组中的向量都是零向量时,其秩为0

(2)秩(A)=r时,A中任意r个线性无关的向量都是A的一个极大无关组.

α1,α2线性无关⇒α1,α2是一个极大无关组.

α1,α3线性无关⇒α1,α3是一个极大无关组.

注一个向量组的极大无关组一般不是唯一的.

定理3.7设r(Am×n)=r≥1,则:

(1)A的行向量组(列向量组)的秩为r;

(2)A中某个行列式Dr≠0⇒A中Dr所在的r个行向量(列向量)是A的行向量组(列向量组)的极大无关组.

定理3.8已知Am×n,Bm×n,

第4节齐次线性方程组的解

一、齐次线性方程组解的判定一般地,我们把含有m个方程、n个未知量的齐次线性方程组

简写成矩阵形式AX=0,其中

对于方程个数等于未知量个数的线性方程组

二、齐次线性方程组的一般解

例3.11求例3.10中齐次线性方程组的一般解.

三、齐次线性方程组的通解的求法

齐次线性方程组的解有如下性质

定理3.10设A为m×n矩阵,若r(A)=r<n,则方程组AX=0有基础解系,且基础解系含有n-r个解向量;若设ξ1,ξ2,…,ξn-r是方程组AX=0的一个基础解系,则方程组AX=0的通解为

得同解方程组:

此方程组的一般解为

可得r(A)=2<n,则方程组有无穷多解,其同解方程组为

第5节非齐次线性方程组的解

一、非齐次线性方程组例3.15如图3.1的网络是某市的一些单行道路在一个下午(以每小时车辆数目计算)的交通流量,计算该网络的车流量.

图3.1

解如图3.1所示,标记道路交叉口和未知的分支流量,在每个交叉口,令其车辆驶入数目等于车辆驶出数目.

(1)车辆驶入驶出数目,列表如下:

(2)车辆驶入数目等于车辆驶出数目,列表如下:

(3)车辆总驶入量等于车辆总驶出量,列表如下:

(4)得到下面方程组:

二、非齐次线性方程组解的判定

方程组的矩阵形式是AX=B,与之对应的齐次线性方程组为AX=0.而且有如下定理:

定理3.11

AX=B有解⇔r(A,B)=r(A)

三、非齐次线性方程组解的结构

性质3.3设η1,η2为AX=B的解,则η1-η2为AX=0的解.

证明

A(η1-η2)=Aη1-Aη2=B-B=0.

性质3.4设η1为AX=B的解,η2为AX=0的解,则η1+η2为AX=B的解.

证明A(η1+η2)=Aη1+Aη2=B+0=B.

由以上的两条性质可以推出非齐次线性方程组解的结构.

四、非齐次线性方程组通解的求法

定理3.12设非齐次线性方程组AX=B有解,则其通解为X=η+ξ,其中,η为AX=B的一个特解,ξ是方程组AX=B的导出组AX=0的通解.

若设矩阵Am×n的秩为r,齐次线性方程组AX=0的一个基础解系为ξ1,ξ2,…,ξn-r,则AX=B的通解为

例3.17解例3.15中的非齐次线性方程组

综上有AX=B的通解是

例3.18解线性方程组

于是得到导出组的一个基础解系为

所以,原方程组的通解为

例3.21求线性方程组

的全部解.

又原方程组对应齐次线性方程组导出组的同解方程组为

令x4=-2(这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数),得x1=3,x2=-3,x3=1,于是得到导出组的一个基础解系为

所以,原方程组的通解为

下面求其导出方程组的一个基础解系.由于导出方程组是将原方程组的常数全部改为0得到的,因此可得导出方程组的同解方程组为

即

第4章

多元函数微分第1节

多元函数第2节

偏导数第3节

全微分第4节

多元复合函数和隐函数的求导法则

第1节多元函数

一、多元函数的定义在很多自然现象和实际问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下。例4.1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有如下关系：这里有三个变量,V随着两个独立变量r、h的变化而变化.

例4.2具有一定量的理想气体的压强p、体积V与绝对温度T之间具有如下关系：

这里也有三个变量，p随着两个独立变量T、V的变化而变化。

定义4.1对于变量x、y、z,如果变量x、y在一定范围内任意取一组数值，这时变量z按照一定法则总有唯一确定的数值和它们相对应，那么就称z是x、y的二元函数，记为z=f(x,y)。

z=f(x,y)中，x、y称为自变量，z称为因变量。x、y的变化范围称为二元函数z=f(x,y)的定义域，记为D；z的变化范围称为二元函数z=f(x,y)的值域，记为R(f)。

对于二元函数z=f(x,y)(x,y∈D)，其映射为f：D→R，如图4.1所示。

图4.1

类似地。可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及n元函数u=f(x1,x2,x3,…,xn)。二元及二元以上的函数统称为多元函数。

定义4.2平面的区域是指一条或者几条曲线所围成的具有连通性的平面的一部分。其中，连通性是指一块部分平面内任意两点可以用完全属于这个部分平面的折线连接贯通。如果区域能够无限延伸，则称此区域是无界的；如果区域不能够无限延伸，它就总是被包含在一个范围更大一点的半径有限的圆内，则称此区域是有限的.围成区域的曲线称为区域的边界。闭区域是包含边界在内的区域，开区域是不包含边界在内的区域，二者统称为区域。为方便起见，我们将开区域内的点称为内点，将区域边界上的点称为边界点。

例4.4求下列函数的定义域D，并画出D的图形。

(1)z=ln(x+y)；

(2)z=arcsin(x2+y2)。

解(1)要使函数z=ln(x+y)有意义，应有x+y>0，所以函数的定义域D是位于直线x+y=0上方而不包括这条直线在内的半平面，这是一个无界区域，如图4.2(a)所示。

(2)要使函数z=arcsin(x2+y2)有意义，应有x2+y2≤1，所以函数的定义域D是以原点为圆心，以1为半径的闭圆区域，如图4.2(b)所示。

图4.2

二、二元函数的极限

与一元函数的极限概念类似，我们用“ε-δ”语言描述二元函数的极限概念。

正如一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：

第2节偏导数

一、偏导数的定义定义4.6设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果极限

存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作

定义4.7如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，

记作

其定义式为

类似地，可定义函数z=f(x,y)对y的偏导函数，记为

其定义式为

注偏导函数也简称偏导数。二元函数z=f(x,y)对于自变量x的偏导数也可记为zx或fx(x,y)；二元函数z=f(x,y)对于自变量y的偏导数也可记为zy或fy(x,y)。求二元函数的偏导数就是先将一个自变量固定为常量，再求函数对于另外一个自变量的一元函数的导数。因此，一元函数的求导公式以及求导法则对于多元函数求偏导数依然适用。

由偏导数的概念可知，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处关于x的偏导数f'x(x0,y0)就是f'x(x,y)在点(x0,y0)的函数值，而f'y(x0,y0)就是偏导数f'y(x,y)在点(x0,y0)的函数值。

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数。例如，三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为

其中(x,y,z)是函数u=f(x,y,z)的定义域的内点。它们的求法也是一元函数的微分法问题。

二、偏导数的计算方法

在实际求z=f(x,y)的偏导数时，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题。求时，只要把y暂时看作常量而对x求导数；求时，只要把x暂时看作常量而对y求导数。

例4.12已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),求证：

证明因为

所以

三、高阶偏导数

定义4.8设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数

于是在D内f'x(x,y)、f'y(x,y)都是x,y的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数。

按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

同样可得三阶、四阶以及n阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

定理4.1如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数

在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

第3节全微分

在实际中，有时需计算当两个自变量都改变时二元函数z=f(x,y)的改变量f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)。一般来说，计算这个改变量比较麻烦，因此我们希望找出计算它的近似公式。该公式应满足：①好算；②有一定的精确度。类似一元函数的微分概念,引入记号和定义:称Δz为z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量。

一、全微分的定义

定义4.9如果二元函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量z=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可表示为

其中A、B不依赖于Δx、Δy而仅与x、y有关，

则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微分，而称AΔx+BΔy为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记作dz，即

证明设函数z=f(x,y)在点P(x,y)处可微分。于是，对于点P的某个邻域内的任意一点P'(x