2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程课时素养评价含解析新人教A版选修2-2

PAGE课时素养评价九曲边梯形的面积汽车行驶的路程(15分钟30分)1.当n很大时,函数f(x)=x2在区间QUOTE上的值可以用下列哪个值近似地代替 ()A.fQUOTEB.fQUOTEC.fQUOTED.f(0)【解析】选C.当n很大时,f(x)=x2在QUOTE上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替.2.设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b把区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式Sn=QUOTEf(ξi)Δx(其中Δx为小区间的长度),那么Sn的大小()A.与f(x)和区间[a,b]有关,与分点的个数n和ξi的取法无关B.与f(x)和区间[a,b]以及分点的个数n有关,与ξi的取法无关C.与f(x)和区间[a,b]以及分点的个数n,ξi的取法都有关D.与f(x)和区间[a,b]以及ξi的取法有关,与分点的个数n无关【解析】选C.由Sn的求法可知Sn的大小与f(x)和区间[a,b]以及分点的个数n,ξi的取法都有关.3.直线y=2x+1与直线x=0,x=m,y=0围成图形的面积为6,则正数m= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.由题意,直线围成梯形的面积为S=QUOTE(1+2m+1)m=6,解得m=2,m=-3(舍).4.在计算由曲线y=-x2以及直线x=-1,x=1,y=0所围成的图形的面积时,若将区间[-1,1]n等分,则每个小区间的长度为______.

【解析】区间长度为2,将其n等分得每一个小区间的长度为QUOTE.答案:QUOTE5.求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成曲边梯形的面积.【解题指南】按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行.【解析】将区间[0,2]等分成n个小区间,则第i个小区间为QUOTE.第i个小区间的面积ΔSi=fQUOTE·QUOTE,所以Sn=QUOTEfQUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE(i-1)2=QUOTE[02+12+22+…+(n-1)2]=QUOTE·QUOTE=QUOTE.S=QUOTESn=QUOTE=QUOTE,所以所求曲边梯形面积为QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数在R上不是连续函数的是 ()A.y=x2 B.y=x3C.y=QUOTE D.y=QUOTE【解析】选D.选项A,B,C中,函数的图象都是连绵不断的曲线,只有D项不是连续函数.2.把区间[a,b](a<b)n等分后,第i个小区间是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选D.每个小区间长为QUOTE,第一个小区间为QUOTE,其次个小区间为QUOTE,第三个小区间为QUOTE,……,第i个小区间为QUOTE.3.和式QUOTE(QUOTE-2)等于 ()A.QUOTE-2 B.QUOTE-10C.QUOTE-20 D.QUOTE【解析】选C.QUOTE(QUOTE-2)=QUOTE-QUOTE2=QUOTE-2×10=QUOTE-20.4.对于由直线x=1,y=0和曲线y=x3所围成的曲边梯形,把区间3等分,则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.将区间QUOTE三等分后,得到3个区间,即QUOTE,QUOTE,QUOTE,以每个区间的左端点的函数值为高,3个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值,S=0×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.5.求由直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2+1所围成的曲边梯形的面积时,将区间[0,2]5等分,依据区间左端点和右端点估计梯形面积分别为 ()A.3.92,5.52 B.4,5C.2.51,3.92 D.5.25,3.59【解析】选A.将区间[0,2]5等分为QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,以小区间左端点对应的函数值为高,得S1=QUOTE×QUOTE=3.92,以小区间右端点对应的函数值为高,得S2=QUOTE×QUOTE=5.52.二、填空题(每小题5分,共15分)6.求由抛物线f(x)=x2,直线x=1以及x轴所围成的平面图形的面积时,若将区间[0,1]5等分,如图所示,以小区间中点的函数值为高,全部小矩形的面积之和为________.

【解析】由题意得S=(0.12+0.32+0.52+0.72+0.92)×0.2=0.33.答案:0.337.一辆汽车的速度-时间图象如图所示,则此汽车在这1min行驶的路程为________.

【解题指南】依据变速运动物体的路程的估计方法,本题所求的路程应为图象与x轴围成的图形的面积.【解析】由速度—时间图象易知v(t)=QUOTE当t∈[0,10]时,s1=S△OAE=QUOTE×10×30=150(m),当t∈(10,40]时,s2=S长方形ABDE=(40-10)×30=900(m),当t∈(40,60]时,s3=S△BDC=QUOTE×20×30=300(m),故s=s1+s2+s3=1350(m).答案:1350m8.已知某物体运动的速度v=2t-1,t∈[0,10],若把区间[0,10]10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为__________.

【解析】若把区间[0,10]进行10等分,则第i个小区间为[i-1,i](i=1,2,…,10),其右端点为i,那么物体运动的路程的近似值为QUOTE[(2i-1)×1]=2QUOTEi-10=2×QUOTE-10=100.答案:100三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知做自由落体的物体的运动速度v=gt,求在时间区间[0,t]内物体下落的距离.【解析】(1)分割将时间区间[0,t]分成n等份.把时间[0,t]分成n个小区间QUOTE(i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间段Δt=QUOTE-QUOTE=QUOTE,在各小区间物体下落的距离记作Δsi(i=1,2,…,n).(2)近似代替在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程.在QUOTE上任取一时刻ξi(i=1,2,…,n),可取ξi使v(ξi)=gQUOTE近似代替第i个小区间上的速度,因此在每个小区间上自由落体Δt=QUOTE内所经过的路程可近似表示为Δsi≈gQUOTE·QUOTE(i=1,2,…,n).(3)求和sn=QUOTEΔsi≈QUOTEgQUOTE·QUOTE=QUOTE[0+1+2+…+(n-1)]=QUOTEgt2QUOTE.(4)取极限s=QUOTEgt2QUOTE=QUOTEgt2.即在时间区间[0,t]内物体下落的距离为QUOTEgt2.10.有一辆汽车在笔直的马路上变速行驶,假如在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位:km/h),那么该汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?【解析】(1)分割.在时间区间[0,2]上等间隔地插入n-1个分点,将它等分成n个小区间,则第i个小区间为QUOTE(i=1,2,…,n),其长度为Δt=QUOTE-QUOTE=QUOTE,每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i=1,2,…,n),则明显有s=QUOTEΔsi.(2)近似代替.取ξi=QUOTE(i=1,2,…,n).于是Δsi≈vQUOTE·Δt=QUOTE·QUOTE=QUOTE+QUOTE(i=1,2,…,n).(3)求和.sn=QUOTE=QUOTE(12+22+…+n2)+4=QUOTE·QUOTE+4=8QUOTE+4.(4)取极限.s=QUOTEsn=QUOTE=8+4=12.所以这段时间内汽车行驶的路程为12km.1.在求由曲线y=QUOTE与直线x=1,x=3,y=0所围成的图形的面积时,若将区间n等分,并用每个区间的右端点的函数值近似代替,则第i个小曲边梯形的面积ΔSi约等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.每个小区间长度为QUOTE,第i个小区间为QUOTE,因此第i个小曲边梯形的面积ΔSi≈QUOTE·QUOTE=QUOTE.2.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力F(x)=kx(k为常数,x是伸长量),求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功.【解题指南】利用“以不变代变”的思想,采纳分割、近似代替、求和、取极限的方法求解.【解析】将物体用常力F沿力的方向拖动距离x,则所做的功W=F·x.(1)分割在区间[0,b]上等间隔地插入n-1个点,将区间[0,b]等分成n个小区间:QUOTE,QUOTE,…,QUOTE,记第i个区间为QUOTE(i=1,2,…,n),其长度为Δx=QUOTE-QUOTE=QUOTE.把在分段QUOTE,QUOTE,…,QUOTE上所做的功分别记作:ΔW1,ΔW2,…,ΔWn.(2)近似代替取各小区间的左端点函数值作为小矩形的高,由条件知:ΔWi≈FQUOTE·Δx=k·Q