




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
参考答案1.当运动2.4秒或秒时,以点Q,B,P为顶点的三角形与相似【解析】【分析】设t秒后,以Q,B,P为顶点的三角形与△ABC相似;则PB=(6−t)cm,BQ=2tcm,分两种情况:①当时;②当时;分别解方程即可得出结果.【详解】解:设秒后,以点Q,B,P为顶点的三角形与相似,则,.∵,∴分两种情况讨论:①当时,,即,解得;②当时,,即,解得.综上所述,当运动2.4秒或秒时,以点Q,B,P为顶点的三角形与相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程;熟练掌握相似三角形的判定方法,分两种情况进行讨论是解决问题的关键.2.(1)①四边形CEGF是正方形;②;(2)线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE;(3)3【解析】【分析】(1)①由、结合可得四边形CEGF是矩形,再由即可得证;②由正方形性质知、,据此可得、,利用平行线分线段成比例定理可得;(2)连接CG,只需证∽即可得;(3)证∽得,设,知,由得、、,由可得a的值.【详解】(1)①∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°,∠BCA=45°,∵GE⊥BC、GF⊥CD,∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,∴四边形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG=45°,∴EG=EC,∴四边形CEGF是正方形;②由①知四边形CEGF是正方形,∴∠CEG=∠B=90°,∠ECG=45°,∴,GE∥AB,∴,故答案为:;(2)连接CG,由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α,在Rt△CEG和Rt△CBA中,=、=,∴=,∴△ACG∽△BCE,∴,∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE;(3)∵∠CEF=45°,点B、E、F三点共线,∴∠BEC=135°,∵△ACG∽△BCE,∴∠AGC=∠BEC=135°,∴∠AGH=∠CAH=45°,∵∠CHA=∠AHG,∴△AHG∽△CHA,∴,设BC=CD=AD=a,则AC=a,则由得,∴AH=a,则DH=AD﹣AH=a,CH==a,∴由得,解得:a=3,即BC=3,故答案为:3.【点睛】本题考查了正方形的性质与判定,相似三角形的判定与性质等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线,熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3.(1)①;②;(2);(3)【解析】【分析】(1)①根据勾股定理和三角形中位线的性质,即可得到答案;②根据平行线的性质即可得到答案;(2)根据相似三角形的性质和判定即可得到答案;(3)根据勾股定理即可得到答案.【详解】解:当时,中,,,点分别是边的中点,,.如图1﹣1中,当时,可得,,.故答案为:.如图2,当时,的大小没有变化,,,又,,.如图3﹣1中,当点在的延长线上时,在中,,,,,.如图3﹣2中,当点在线段上时,易知,,,综上所述,满足条件的的长为.【点睛】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定,解题的关键熟练掌握勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定.4.(1)1,(2)45°(3),【解析】【分析】(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.证明,即可解决问题.(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.证明,即可解决问题.(3)分两种情形:①如图3﹣1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.证明即可解决问题.②如图3﹣2中,当点P在线段CD上时,同法可证:解决问题.【详解】解:(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.,,,,,,,,,,线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是,故答案为1,.(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.,,,,,,,,直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为.(3)如图3﹣1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,D,C,B四点共圆,,,,,设,则,,c.如图3﹣2中,当点P在线段CD上时,同法可证:,设,则,,,.【点睛】本题属于相似形综合题,考查了旋转变换,等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.5.(1);(2)此过程中的大小有变化,(3)2cosβ【解析】【分析】1)如图1,过E作EF⊥AB于F,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°,于是得到∠B=∠EDC=90°,推出四边形EFBD是矩形,得到EF=BD,推出△AEF是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到结论;(2)根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论;(3)根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β,根据相似三角形的性质得到,即,根据角的和差得到∠ACE=∠BCD,求得△ACE∽△BCD,证得,过点B作BF⊥AC于点F,则AC=2CF,根据相似三角形的性质即可得到结论.【详解】解:(1)如图1,过E作EF⊥AB于F,∵BA=BC,DE=DC,∠ACB=∠ECD=45°,∴∠A=∠C=∠DEC=45°,∴∠B=∠EDC=90°,∴四边形EFBD是矩形,∴EF=BD,∴EF∥BC,∴△AEF是等腰直角三角形,∴,故填:,(2)此过程中的大小有变化,由题意知,△ABC和△EDC都是等腰三角形,∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°,∴△ABC∽△EDC,∴,即,又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB,∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE∽△BCD,∴,在△ABC中,如图2,过点B作BF⊥AC于点F,则AC=2CF,在Rt△BCF中,,∴AC=BC.∴;(3)由题意知,△ABC和△EDC都是等腰三角形,且∠ACB=∠ECD=β,∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β,∴△ABC∽△EDC,∴,即,又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB,∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE∽△BCD,∴,在△ABC中,如图3,过点B作BF⊥AC于点F,则AC=2CF,在Rt△BCF中,CF=BC•cosβ,∴AC=2BCcosβ.∴=2cosβ,故答案为2cosβ.【点睛】本题考查了相似形的综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题,属于中考常考题型.6.(1)PB=4-t;QB=2t;CQ=8-2t;(2)1或3;(3)2−2或2+2或【解析】【分析】(1)根据题意写出结果即可;(2)利用三角形的面积公式列方程求解即可;(3)根据相似三角形的性质,分两种情况列式求解即可.【详解】(1)由题意得,①PB=4-t;②QB=2t;③CQ=8-2t;(2)∵△PBQ的面积等于3cm2∴2t(4-t)=3×2,解之得,t=1或3;(3)当△ABQ~△QCE时,ABCQ∴48−2t解之得,x1=2-2,x2=2+当△ABQ~△ECQE时,ABCE∴42解之得,t=83∴满足条件的t的所有值为2-2或2+2或【点睛】本题考查了列代数式,一元二次方程的应用,相似三角形的性质及分类讨论的数学思想,熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键.相似三角形的性质:如果两个三角形相似,那么它们的对应角相等,对应边的比,对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比,对应周长的比都等于相似比;它们对应面积的比等于相似比的平方.7.(1)证明见解析,(2)①5.②1.③.【解析】【分析】(1)如图1中,设的中点为.连接,,,.利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.(2)①如图中,连接交于点,当时,四边形是菱形.利用平行线等分线段定理即可解决问题.②在①的基础上,时,四边形是正方形.③如图中,连接交于点,作于.当时,四边形是矩形.【详解】(1)证明:如图1中,设的中点为.连接,,,.四边形是平行四边形,与互相平分且交于点,,,四边形是平行四边形,与互相平分且交于点,,,,,四边形是平行四边形.(2)①如图中,连接交于点,当时,四边形是菱形.,,,,,,,,.②在①的基础上,满足时,四边形是正方形,易知,,,.③如图中,连接交于点,作于.,,,,,,当时,四边形是矩形,.故答案为:5,1,.【点睛】本题属于四边形综合题,考查了平行四边形的性质,矩形的判定,菱形的判定,正方形的判定,解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.8.(1)y=x+;(2)D点位置见解析,D(,0);(3)符合要求的m的值为或.【解析】【分析】(1)先根据A(−3,1),C(1,0),求出AC进而得出BC=3求出B点坐标,利用待定系数法求出直线AB的解析式即可;(2)运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标;(3)由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等,只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论,然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程,就可解决问题.【详解】解:(1)∵A(﹣3,0),C(1,0),∴AC=4,∵BC=AC,∴BC=×4=3,∴B(1,3),设直线AB的解析式为y=kx+b,∴,∴,∴直线AB的解析式为y=x+;(2)若△ADB与△ABC相似,过点B作BD⊥AB交x轴于D,∴∠ABD=∠ACB=90°,如图1,此时=,即AB2=AC•AD.∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB=5,∴25=4AD,∴AD=,∴OD=AD﹣AO=﹣3=,∴点D的坐标为(,0);(3)∵AP=DQ=m,∴AQ=AD﹣QD=﹣m.Ⅰ、若△APQ∽△ABD,如图2,则有=,∴AP•AD=AB•AQ,∴m=5(﹣m),解得m=;Ⅱ、若△APQ∽△ADB,如图3,则有=,∴AP•AB=AD•AQ,∴5m=(﹣m),解得:m=,综上所述:符合要求的m的值为或.【点睛】此题是相似形综合题,主要考查了是待定系数法,相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识,也考查了分类讨论的数学思想,属于中档题,解本题的关键是根据相似建立方程求解.9.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)利用正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90°,根据等角的余角相等得到∠1=∠3,则可判断△ABE≌△DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论;(2)利用和AF=BE得到,则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠4=∠3,再证明∠4=∠5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP.【详解】(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠BEA=∠AFD=90°,∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,在△ABE和△DAF中,∴△ABE≌△DAF,∴BE=AF,∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE;(2)如图,∵,而AF=BE,∴,∴,∴Rt△BEF∽Rt△DFA,∴∠4=∠3,而∠1=∠3,∴∠4=∠1,∵∠5=∠1,∴∠4=∠5,即BE平分∠FBP,而BE⊥EP,∴EF=EP.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10.1证明见解析;(2)AB【解析】【分析】(1)由E是AC的中点知AE=CE,由AB//CD知∠AFE=∠CDE,据此根据“AAS”即可证△AEF(2)证△GBF∽△GCD得GBGC=BFCD,据此求得【详解】(1)∵E∴AE∵AB∴∠AFE在△AEF和△∵∠AFE=∠CDE∴△AEF≌△∴AF又AB//CD,即∴四边形AFCD是平行四边形;(2)∵AB∴△GBF∽△∴GBGC=解得:CD=∵四边形AFCD是平行四边形,∴AF∴AB【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.11.(1)证明见解析;(2)AB=10.【解析】分析:(1)根据平行线的性质得出∠A=∠C,进而利用全等三角形的判定证明即可;(2)利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可.详解:(1)证明:∵AB∥DC,∴∠A=∠C,在△ABE与△CDF中∠A=∠CAB=CD∴△ABE≌△CDF(ASA);(2)∵点E,G分别为线段FC,FD的中点,∴ED=12∵EG=5,∴CD=10,∵△ABE≌△CDF,∴AB=CD=10.点睛:此题考查全等三角形的判定和性质,关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C.12.(1)y=x+6;(2)P(3,0).【解析】【分析】1)直接利用待定系数法即可得出结论;
(2)方法1、利用角平分线判断出BC=AB=10,进而判断出△AOP∽△CBP,求出OP,即可得出结论;
方法2、先判断出OP=PM,设OP=m,得出PM=m,BP=8-m,再求出AM=OA=6,进而得出BM=AB-AM=4,最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论.【详解】解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,
∵A(0,6),B(8,0),
∴,
∴,
∴直线AB的解析式为y=x+6;
(2)方法1、如图1,∵A(0,6),B(8,0),
∴OA=6,OB=8,AB=10,
过点B作BC∥OA交AP的延长线于C,
∴∠C=∠OAP,
∵AP平分∠OAB,
∴∠OAP=∠BAP,
∴∠C=∠BAP,
∴BC=AB=10,
∵BC∥OA,
∴△AOP∽△CBP,
∴=,
∴,
∴OP=3,
∴P(3,0);
方法2、如图3,过点P作PM⊥AB于M,
∵AP是∠OAB的角平分线,
∴OP=PM,
设OP=m,
∴PM=m,
∴BP=OB-OP=8-m
易知,△AOP≌△AMP,
∴AM=OA=6,
∴BM=AB-AM=4,
在Rt△BMP中,根据勾股定理得,m2+16=(8-m)2,
∴m=3,
∴P(3,0).故答案为:(1)y=x+6;(2)P(3,0).【点睛】本题是一次函数综合题,主要考查了待定系数法,角平分线的定义,相似三角形的判定和性质,正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键.13.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)BE的长为.【解析】(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG,从而得到GD=DF,接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF;(2)连接DE,交AF于点O.由菱形的性质可知GF⊥DE,OG=OF=GF,接下来,证明△DOF∽△ADF,由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF,于是可得到GE、AF、FG的数量关系;(3)过点G作GH⊥DC,垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4,然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长,然后再证明△FGH∽△FAD,利用相似三角形的性质可求得GH的长,最后依据BE=AD﹣GH求解即可.解:(1)证明:∵GE∥DF,∴∠EGF=∠DFG.∵由翻折的性质可知:GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,∴∠DGF=∠DFG.∴GD=DF.∴DG=GE=DF=EF.∴四边形EFDG为菱形.“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用,解题应用了矩形的性质,菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质,掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键.14.(1)当0<t≤时,CP=2.5t,CQ=2t;当时,CP=8-2.5t,CQ=2t.(2)当0<t≤时,S△CPQ=•PC•sin∠ACD•CQ=×2.5t××2t=;当时,S△CPQ=•PC•sin∠ACD•CQ=×(8-2.5t)××2t=.(3)0<t≤或s【解析】【分析】(1)分两种情形:当0<t≤时,当<t时,分别求解即可.(2)分两种情形:当0<t≤时,当<t≤时,根据S△CPQ=•PC•sin∠ACD•CQ分别求解即可.(3)分两种情形:当0<t≤,可以证明△QCP∽△DCA,当<t,∠QPC=90°时,△QPC∽△ADC,构建方程求解即可.【详解】解:(1)∵CA=CB,AD=BD=3,∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴CD===4,当0<t≤时,CP=2.5t,CQ=2t,当时,CP=8-2.5t,CQ=2t.(2)∵sin∠ACD==,∴当0<t≤时,S△CPQ=•PC•sin∠ACD•CQ=×2.5t××2t=当时,S△CPQ=•PC•sin∠ACD•CQ=×(8-2.5t)××2t=.(3)①当0<t≤时,∵CP=2.5t,CQ=2t,∴=,∵=,∴,∵∠PCQ=∠ACD,∴△QCP∽△DCA,∴0<t≤时,△QCP∽△DCA,②当时,当∠QPC=90°时,△QPC∽△ADC,∴,∴,解得:,综上所述,满足条件的t的值为:0<t≤或s时,△QCP∽△DCA.【点睛】本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,解直角三角形的应用等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.15.BC上存在两个点P,BP=6或8使△ABP与△DCP相似.【解析】【分析】设BP=x,表示出PC=14-x,然后分BP与CP是对应边,BP与DC是对应边两种情况,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可.【详解】设BP=x,则PC=14−x,BP与CP是对应边时,,即,解得x=8,BP与DC是对应边时,,即,解得x1=6,x2=8,所以,BC上存在两个点P,BP=6或8使△ABP与△DCP相似.【点睛】此题考查相似三角形的判定,解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程.16.(1),见解析;(2)或.【解析】【分析】(1)通过等角转换,可得出三角相等,即可判定;(2)首先根据已知条件求出DQ,由三角形相似的性质,列出方程,即可得解,注意分两种情况讨论.【详解】(1)根据已知条件,得∠DAQ=∠PED=90°又∵∠ADQ+∠PDE=∠DPE+∠PDE=90°∴∠ADQ=∠DPE,∠AQD=∠PDE∴(2)由已知条件,得设DE为∵∴∴PE为∵∴分两种情况:①即解得∴②即解得【点睛】此题主要考查三角形相似的性质,熟练掌握,即可解题.17.(1)见解析;(2)存在,x的值为2或5.【解析】【分析】(1)在△PFA与△ABE中,易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°;故可得△PFA∽△ABE;(2)根据题意:若△EFP∽△ABE,则∠PEF=∠EAB;必须有PE∥AB;分两种情况进而列出关系式.【详解】(1)证明:∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°,∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE,则∠PEF=∠EAB.如图,连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2,即x=2.如图,延长AD至点P,作PF⊥AE于点F,连接PE,若△PFE∽△ABE,则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB,∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE,∴点F为AE的中点.∵AE=,∴EF=AE=.∵,∴PE=5,即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质,相似三角形的判定,解题关键在于作辅助线.18.(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质可得出AB=BC、∠ABD=∠C,结合BD=CE即可证出△ABD≌△BCE(SAS),根据全等三角形的性质可得出∠CBE=∠BAD,通过角的计算可得出∠EAM=∠EBA,再结合∠AEM=∠BEA即可证出△AME∽△BAE;(2)根据相似三角形的性质可得出∠AME=∠BAE=60°,由对顶角相等可得出∠BMD=60°,再结合∠ABD=60°、∠BDM=∠ADB,即可证出△ABD∽△BMD,根据相似三角形的性质可证出BD2=AD×DM.【详解】证明:(1)∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABD=∠C=60°.在△ABD和△BCE中,,∴△ABD≌△BCE(SAS),∴∠CBE=∠BAD,∴∠EAM=∠EBA.又∵∠AEM=∠BEA,∴△AME∽△BAE.(2)∵△AME∽△BAE,∴∠AME=∠BAE=60°,∴∠BMD=60°.又∵∠ABD=60°,∠BDM=∠ADB,∴△ABD∽△BMD,∴BD2=AD×DM.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质,解题的关键是:(1)利用全等三角形的性质找出∠CBE=∠BAD;(2)根据对应角相等证出△ABD∽△BMD.19.(1)见解析;(2)DE的长为;(3)AD的长为或.【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得∠ADE=∠B,∠A=∠BDF,则根据相似三角形的判定方法可判断△ADE∽△DBF;(2)设DE=x,利用菱形的性质得DE=DF=CF=CE=x,则AE=5﹣x,BF=6﹣x,根据相似三角形的性质得=,即=,然后利用相似比的性质求出x即可;(3)设AD=AE=t,则CE=5﹣t,先判断四边形DECF为平行四边形,所以DF=CE=5﹣t,DE=CF,利用平行线分线段成比例的性质可表示出DE=t,则CF=t,BF=6﹣t,由于∠EDF=∠BFD,根据相似三角形的判定方法,当=,△EDF∽△BFD,即BF=DE,6﹣t=t;当=,△EDF∽△DFB,即=,然后利用比例性质分别求出t即可.【详解】(1)证明:∵DE‖BC,DF‖AC,∴∠ADE=∠B,∠A=∠BDF,∴△ADE∽△DBF;(2)解:设DE=x,∵四边形DECF是菱形,∴DE=DF=CF=CE=x,∴AE=5﹣x,BF=6﹣x,∵△ADE∽△DBF,∴=,即=,解得x=,即DE的长为;(3)解:设AD=AE=t,则CE=5﹣t,∵DE‖BC,DF‖AC,∴四边形DECF为平行四边形,∴DF=CE=5﹣t,DE=CF,∵DE∥BC,∵=,即=,则DE=t,∴CF=t,∴BF=6﹣t,∵∠EDF=∠BFD,∴当=,△EDF∽△BFD,即BF=DE,6﹣t=t,解得t=;当=,△EDF∽△DFB,即=,解得t=5(舍去)或t=,综上所述,AD的长为或.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,菱形的性质,平行线的性质和分类讨论的数学思想方法.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.20.(1)见解析;(2)AB=;(3)DF=.【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到∠BAD=∠ABC=90°,根据余角的性质得到∠BAC=∠AEB,根据相似三角形的判定定理即可得到结论;(2)根据相似三角形的性质即可得到结论;(3)连接BD,根据相似三角形的性质得到=,等量代换得到=,推出△DEF∽△BED,根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论.【详解】解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=90°,∴∠ABE+∠AEB=90°,∵BE⊥AC,∴∠AFB=90°,∴∠ABF+∠BAF=90°,∴∠BAC=∠AEB,∴△EAB∽△ABC;(2)∵点E是AD的中点,AD=2,∴AE=1,∵△EAB∽△ABC,∴,∴AB===;(3)连接BD,∵AC⊥BE,∴∠AFB=∠AFE=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAE=90°,又∵∠AEF=∠BEA,∴△AEF∽△BEA,∴=,∵点E是AD的中点,∴AE=ED,∴=,又∵∠FED=∠DEB,∴△DEF∽△BED,∴,∵AD=2,AE=1,AB=,∴BD=,BF=,BE=,∴EF=BE﹣BF=﹣=,∴=,∴DF=.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质,矩形的性质,勾股定理等知识,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.21.(1)见解析;(2)DN=;(3)DN=.【解析】【分析】(1)由正方形的性质得出AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,得出∠AMB=∠EAF,再由∠B=∠AFE,即可得出结论;(2)由勾股定理求出AM,得出AF,由△ABM∽△EFA得出比例式,求出AE,即可得出DN的长;(3)根据余角的性质得到∠BAM=∠E,根据相似三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,∴∠AMB=∠EAF,又∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°,∴∠B=∠AFE,∴△ABM∽△EFA;(2)解:∵∠B=90°,AB=12,BM=6,∴AM==6,AD=12,∵F是AM的中点,∴AF=AM=3,∵△ABM∽△EFA,∴=,即=,∴AE=15,∴DE=AE﹣AD=3,∵∠EDN=∠EFA=90°,∠E=∠E,∴△AEF∽△NED,∴=,∵EF==6,∴DN=;(3)解:∵∠B=∠AFE=∠BAD=90°,∴∠BAM+∠EAF=∠EAF+∠E=90°,∴∠BAM=∠E,∴△ABM∽△EDN,∴,即,∴DN=.【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.22.8【解析】【分析】根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线,则AE=DE,AF=DF,所以∠EAD=∠EDA,加上∠BAD=∠CAD,得到∠EDA=∠CAD,则可判断DE∥AC,同理DF∥AE,于是可判断四边形AEDF是平行四边形,加上EA=ED,则可判断四边形AEDF为菱形,所以AE=DE=DF=AF=4,然后利用平行线分线段成比例可计算BE的长.【详解】解:根据作法可知:MN是线段AD的垂直平分线,∴AE=DE,AF=DF,∴∠EAD=∠EDA,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠EDA=∠CAD,∴DE∥AC,同理DF∥AE,∴四边形AEDF是平行四边形,而EA=ED,∴四边形AEDF为菱形,∴AE=DE=DF=AF=4,∵DE∥AC,∴BE:AE=BD:CD,即BE:4=6:3,∴BE=8.【点睛】本题考查了作图-复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了菱形的判定与性质和平行线分线段成比例.23.教材呈现:详见解析;结论应用:(1);(2)6.【解析】【分析】教材呈现:如图①,连结.根据三角形中位线定理可得,,那么,由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明;结论应用:(1)如图②.先证明,得出,那么,又,可得,由正方形的性质求出,即可求出;(2)如图③,连接.由(1)易证.根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出与的面积比,同理,与的面积比=2,那么的面积的面积=2(的面积的面积)=,所以的面积,进而求出的面积.【详解】教材呈现:证明:如图①,连结.∵在中,分别是边的中点,∴,∴,∴,∴,∴;结论应用:(1)解:如图②.∵四边形为正方形,为边的中点,对角线、交于点,∴,∴,∴,∴,∴,∵,∴,∵正方形中,,∴,∴.故答案为;(2)解:如图③,连接.由(1)知,,∴.∵与的高相同,∴与的面积比,同理,与的面积比=2,∴的面积的面积=2(的面积的面积),∴的面积,∴的面积.故答案为6.【点睛】考核知识点:相似三角形的判定和性质.灵活运用正方形性质,相似三角形判定和性质是关键.24.(1)证明见解析(2)34【解析】【分析】(1)要证三角形ABM∽MCN,就需找出两组对应相等的角,已知两个三角形中一组对应角为直角,而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角,因此这两个角也相等,据此可得出两三角形相似;(2)由△ABM∽△MCN,得出对应边成比例BMCN【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,正方形ABCD的边长为4,∴AB=BC=4,∠B=∠C=90°,∵AM和MN垂直,∴∠AMN=90°,∴∠BAM+∠AMB=90°,∠NMC+∠BMA=180°﹣90°=90°,∴∠BAM=∠NMC,∵∠B=∠C,∴△ABM∽△MCN;(2)解:∵△ABM∽△MCN,∴ABCM∵△ABM∽△MCN,△ABM的周长与△MCN周长之比是4:3,∴△ABM的周长与△MCN边长之比也是4:3,∴ABCM∵AB=4,∴4CM∴CM=3,∴BM=4﹣3=1,∴1CN∴NC=34【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质,根据相似三角形得出与所求的条件相关的线段成比例是解题的关键.25.2或0.8秒【解析】【分析】分类讨论:分别利用当△ABC∽△PBQ时以及当△ABC∽△QBP时,分别得出符合题意的答案.【详解】解:设t秒时,则BP=8﹣2t,BQ=4t,设t秒时,则BP=8﹣2t,BQ=4t,当ΔABC∽ΔPBQ时,则AB即8解得:t=2,当ΔABC∽ΔQBP时,则AB即8解得:t=0.8,综上所述:经过2或0.8秒△PBQ与△ABC相似.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定,熟练利用分类讨论得出是解题关键.26.(1)见解析;(2)当t=5时,DP⊥AC,理由见解析【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可得CD∥AB,根据平行线的性质可得∠DCQ=∠QAP,∠PDC=∠QPA,进而可得判定△APQ∽△CDQ;(2)首先证明△ADQ∽△ACD,根据相似三角形的性质可得ADAC=AQAD,然后计算出AC长,进而可得AQ长,再证明△AQP∽△ABC,可得【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴CD∥AB,∴∠DCQ=∠QAP,∠PDC=∠QPA,∴△APQ∽△CDQ;(2)解:当t=5时,DP⊥AC;∵∠ADC=90°,DP⊥AC,∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90°,∵∠DAQ=∠CAD,∴△ADQ∽△ACD,∴ADACAC=102则AQ=AD∵∠AQP=∠ABC=90°,∠QAP=∠BAC,∴△AQP∽△ABC,∴AQAP则25解得:t=5,即当t=5时,DP⊥AC.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质,关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似,相似三角形对应边成比例.27.(1)1;;(2)①;②;(3)或.【解析】分析:(1)先用等量代换判断出,,得到∽,再判断出∽即可;(2)方法和一样,先用等量代换判断出,,得到∽,再判断出∽即可;(3)由的结论得出∽,判断出,求出DE,再利用勾股定理,计算出即可.
详解:当时,即:,,,,,,,,即,∽,,,,∽,,,,,,,,,即,∽,,,,∽,,成立.如图,,,又,,,,,即,∽,,,,∽,,.由有,∽,,,,在中,,,,当E在线段AC上时,在中,,,根据勾股定理得,,,或舍)当E在直线AC上时,在中,,,根据勾股定理得,,,,或舍),即:或.点睛:此题是三角形综合题,主要考查了三角形相似的性质和判定,勾股定理,判断相似是解本题的关键,求CE是本题的难点.28.(1)(2)3或(3)或2【解析】【分析】(1)由题意可知BP=t,AQ=2t,则AP=6-t由AP=3AQ可得到关于t的方程,可求得的值;(2)分∠APQ=900和ΔAQP=900两种情况,再利用含30角的直角三角形的性质可和AP=2AQ,或AQ=2AP,分别求即可;(3)由已知可证得△CDQ是等边三角形,分△BPD∽△PDQ,△BPQ∽△QDP两种情况讨论,可得t的值.【详解】(1)由题意知,AQ=2t,BP=t,∵△ABC是边长为6cm的等边三角形,∴∠A=60°,AB=6,∴AP=AB﹣BP=6﹣t,∵AP=3AQ,∴6﹣t=3×2t,∴t=,即:t=秒时,AP=3AQ;(2)由(1)知,∠A=60°,AQ=2t,AP=6﹣t,∵△APQ为直角三角形,①当∠APQ=90°时,AQ=2AP,∴2t=2(6﹣t),∴t=3秒,②当∠AQP=90°时,AP=2AQ,∴6﹣t=2×2t,∴t=秒,即:t=3秒或秒时,△APQ是直角三角形;(3)由题意知,AQ=2t,BP=t,∴AP=6﹣t,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠C=60°,∵QD∥AB,∴∠PDQ=∠BPD,∠QDB=∠A=60°,∴△CDQ是等边三角形,∴CD=CQ,∴BD=AQ=2t,∵△BDP与△PDQ相似,∴①当△BPD∽△PDQ时,∴∠B=∠DPQ=60°,∴∠APQ=∠BDP,∵∠A=∠B,∴△APQ∽△BDP,∴,∴,∴t=秒,②当△BPQ∽△QDP时,∴∠B=∠DQP=60°,∵DQ∥AB,∴∠APQ=DQP=60°,∵∠A=60°,∴△APQ是等边三角形,∴AP=AQ,∴6﹣t=2t,∴t=2秒,即:t=秒或2秒时,△BDP与△PDQ相似.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质和等边三角形的性质,利用条件得到关于的方程是解题的关键,注意分类思想和方程思想的应用.29.(1)见解析;(2)AD的值为5或.【解析】【分析】(1)先证明DF∥AE,EF∥AD即可;(2)分两种情形分别求解即可解决问题;【详解】(1)证明:∵AD=DB,DE∥BC,∴AE=EC,∵EF∥AB,∴BF=CF,∵AD=DB,∴DF∥AC,∵EF∥AB,∴四边形DFEA是平行四边形.(2)情形1:当点D是AB的中点,由(1)可知:DE∥BC,DF∥EC,∴四边形DECF是平行四边形,∵∠ECF=90°,∴四边形DECF是矩形,∴∠EDF=90°,△DEF是直角三角形,此时AD=AB=×=5.情形2:如图,当∠DFE=90°时,设AD=x.则AE=x.BD=10﹣x,EC=8﹣x,BF=(10﹣x),CF=(8﹣x),∵BF+CF=6,∴(10﹣x)+(8﹣x)=6∴x=,综上所述,AD的值为5或.【点睛】考查平行四边形的判定和性质,勾股定理,解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识.30.(1)证明见解析;(2)CE∥AD,理由见解析;(3)74【解析】试题分析:(1)根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB,根据相似三角形的判定定理证明;(2)根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°,根据直角三角形的性质得到CE=AE,根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明;(3)根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可.试题解析:(1)∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,又∵AC2=AB•AD,∴AD:AC=AC:AB,∴△ADC∽△ACB;(2)CE∥AD,理由:∵△ADC∽△ACB,∴∠ACB=∠ADC=90°,又∵E为AB的中点,∴∠EAC=∠ECA,∵∠DAC=∠CAE,∴∠DAC=∠ECA,∴CE∥AD;(3)∵AD=4,AB=6,CE=12∵CE∥AD,∴∠FCE=∠DAC,∠CEF=∠ADF,∴△CEF∽△ADF,∴CFAF=CEAD=∴ACAF=731.(1)①相似;②;;(2)△ADB∽△AEC;(3)4+或4﹣.【解析】【分析】(1)①根据相似三角形的判定定理解答;②根据勾股定理求出DE,根据相似三角形的性质列出比例式,求出AC;(2)根据旋转变换的性质得到∠BAD=∠CAE,根据两边对应成比例,夹角相等的两个三角形相似证明;(3)根据勾股定理求出BD,分两种情况计算即可.【详解】解:(1)①∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE,故答案为:相似;②∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B=90°,∴DE==,∵△ABC∽△ADE,∴,即,解得,AC=,故答案为:;;(2)△ADB∽△AEC,理由如下:由旋转变换的性质可知,∠BAD=∠CAE,由(1)得,,又∠BAD=∠CAE,∴△ADB∽△AEC;(3)如图2,在Rt△ADB中,BD==4,∵点B、D、E在同一条直线上,∴BE=BD+DE=4+,如图3,BE=BD﹣DE=4﹣,综上所述,将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时,线段BE的长为4+或4﹣.【点睛】考查的是相似三角形的判定和性质,旋转变换的性质,勾股定理的应用,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.32.(1)P(﹣2,0)或(2,0);(2)P(﹣4+2,0)或(﹣4﹣2,0);(3)点P的坐标为(﹣8+4,0)或(﹣8﹣4,0)或(8,0)或(﹣3,0).【解析】【分析】(1)根据坐标轴上点的特点求出A,B坐标,进而求出OA,OB,最后用相似三角形得出比例式建立方程即可得出结论;(2)先求出点C坐标,点P坐标,利用三角形的面积公式建立方程求解即可得出结论;(3)先求出AB2=80,AP2=(n+8)2,BP2=n2+16,利用等腰三角形分三种情况建立方程求解即可得出结论.【详解】解:(1)一次函数y=x+4,令x=0,∴y=4,∴B(0,4),∴OB=4,令y=0,∴0=x+4,∴x=﹣8,∴A(﹣8,0),∴OA=8,∵△BPO∽△ABO,∴,∴OP==2,∴n=±2,∴P(﹣2,0)或(2,0);(2)直线y=2x+b①与直线AB:y=x+4②相交于C,联立①②解得,,针对于直线PC:y=2x+b,令y=0,∴2x+b=0,∴x=﹣b,∵△PAC的面积为20,∴S△PAC=|﹣b﹣(﹣8)|×||=20,∴b=16±4,∴n=﹣(16±4)=﹣4±2,∴P(﹣4+2,0)或(﹣4﹣2,0);(3)由(1)知,A(﹣8,0),B(0,4),∵P(n,0),∴AB2=80,AP2=(n+8)2,BP2=n2+16,∵以A,B,P为顶点的三角形为等腰三角形,∴①当AB=AP时,∴AB2=AP2,∴80=(n+8)2,∴n=﹣8±4,∴P(﹣8+4,0)或(﹣8﹣4,0),②当AB=BP时,∴AB2=BP2,80=n2+16,∴n=8或n=﹣8(和点A重合,所以,舍去),∴P(8,0),③当AP=BP时,∴AP2=BP2,(n+8)2=n2+16,∴n=﹣3,∴P(﹣3,0),即:点P的坐标为(﹣8+4,0)或(﹣8﹣4,0)或(8,0)或(﹣3,0).【点睛】一次函数综合题,主要考查了坐标轴上点的特点,两直线交点坐标的求法,等腰三角形的性质,用方程的思想解决问题是解本题的关键.33.(1)(-6,0),(6,0);(2)k=16;(3)点P的坐标为:(0,2)或(0,6)或(0,12)或(0,4+2)或(0,4-2).【解析】【分析】(1)首先利用直接开平方法求出方程x2-12x+36=0的两根,从而得出OA=OC=6,进而得出A、C两点的坐标;(2)如图,过点B作BE⊥AC,垂足为E,根据等腰直角三角形的性质得出AE=BE,设BE=x,EC=12-x,在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程,求解并检验即可得出BE、OE的长从而得出B点的坐标,然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;(3)存在.如图2,若点P在OD上,若△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解即可得出P点的坐标;如图3,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,则根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P点的坐标;如图4,若点P在OD上方,△PDB∽△AOP,根据相似三角形对应边成比例得出,根据比例式列出方程,求解并检验即可得出P点的
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 电器分销合同协议书范本
- 策划赞助合作协议书范本
- 破坏房屋赔偿协议书范本
- 电梯轿厢清洁协议合同书
- 监控质保与售后合同范本
- 驾校学员培训合同协议书
- 项目工程挂靠协议书范本
- 环保投资股东协议书模板
- 煤矿合同续签协议书模板
- 权利质押反担保合同范本
- 高校PPT课件:跨国公司经营与管理(第四版)
- KFC大厅前台总配厨房的标准化流程
- 2022年08月中国南海研究院招考聘用考试参考题库含答案详解
- GB/T 35162-2017道路基层用缓凝硅酸盐水泥
- GB/T 1303.4-2009电气用热固性树脂工业硬质层压板第4部分:环氧树脂硬质层压板
- GB/T 12807-2021实验室玻璃仪器分度吸量管
- 装饰装修工程-工程施工设计方案
- 深静脉置管(PICC)常见并发症预防及处理课件
- 【线性代数自考练习题】山东医学高等专科学校专升本真题汇总(附答案解析)
- 医院管理案例-智慧后勤助力医院后勤管理转型
- 企业应急管理及能力提升培训课件精选
评论
0/150
提交评论