工程数学 课件 第5章 多元函数积分

第5章多元函数积分第1节二重积分第2节二重积分的计算第3节广义重积分

第1节

二

重

积

分

一、

二重积分的概念

1.引例例5.1如图5.1所示，设有一立体，它的底是xOy面上的闭区域D，它的侧面是以D

的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，这里f(x,y)>0且在D

上连续。这种立体叫作曲顶柱体.现在要求该曲顶柱体的体积V。图5.1

由于曲顶柱体的高f(x,y)是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可采用求曲边梯形面积的思想方法，即通过

分割：将区域D

任意分成n

个小区域

近似：在每个Δδi

上任取一点(ξi,ηi)(见图5.1)，则

求和：将上式累加，得

取极限：令Δδi

中的最大直径λ

趋于0，得

例5.2如图5.2所示，设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为ρ(x,y)，这里ρ(x,y)>0且在D

上连续。现在要计算该薄片的质量

M。图5.2

2.二重积分的定义

定义5.1设f(x,y)是有界闭区域D

上的有界函数，将闭区域D

任意分成n个小闭区域

其中Δσi

表示第i个小闭区域，也表示它的面积。在每个Δσi

上任取一点(ξi,ηi)，作乘积

并作和

二、

二重积分的性质

性质5.1设α、β为常数，则

性质5.2

如果f(x,y)在有界闭区域D

上可积，D

被连续曲线分成D1、D2

两部分，D=D1∪D2

且D1、D2

无公共内点，则f(x,y)在区域D1、D2

上可积，且

这个性质说明二重积分对积分区域具有可加性。

性质5.3如果在D

上，f(x,y)=1，σ为D

的面积，则

性质5.4如果在D

上，f(x,y)≤g(x,y)，则有

特殊地,由于

又有

性质5.5设

M、m

分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D

的面积，则有

性质5.6(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域

D

上连续，σ

是D

的面积，则在D

上至少存在一点(ξ,η)，使得

第2节

二重积分的计算

二重积分是用和式的极限定义的，对一般的函数和区域用定义直接计算二重积分是不可行的。计算二重积分的主要方法是将它化为两次定积分的计算，称为累次积分法。

一、

在直角坐标系下求二重积分

先从几何上研究二重积分的计算问题，在讨论中我们假定f(x,y)≥0。若积分区域D

可表示为

则称D为X型区域，它是由直线x=a、x=b

及曲线y=φ1(x)、y=φ2(x)所围成(图5.3)，其中函数φ1(x)、φ2(x)在区间[a,b]上连续.X

型区域的特点是：任何平行于y轴且穿过区域内部的直线与D

的边界的交点不多于两个。图5.3

求以D

为底，曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积(图5.4)。先计算截面积。在区间[a,b]上取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面顶柱体所得的截面是一个以区间[φ1(x0),φ2(x0)]为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形(图5.4)所以这个截面的面积为

一般地，过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz

面的平面截曲顶柱体的截面的面积为图5.4

于是,应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法,得曲顶柱体的体积为

这个体积也就是所求二重积分的值,从而有等式

上式右端的积分是先对y、后对x

的二次积分。就是说,先把x

看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从φ1(x)到φ2(x)的定积分：然后把算得的结果(是x

的函数)再对x

计算在区间[a,b]上的定积分。这个先对y、后对x

的二次积分也常记为

因此，等式(5.1)也写成

这就是把二重积分化为先对y、后对x

的二次积分公式。

在上述讨论中，我们假定f(x,y)≥0，实际上公式(5.1)的成立并不受此条件的限制。类似地，若积分区域D

可表示为

则称D

为Y

型区域，它是由直线y=c、y=d及曲线x=ψ1(y)、x=ψ2(y)所围成，其中函数ψ1(x)、ψ2(x)在区间[c,d]上连续。同样Y

型区域的特点是：任何平行于x

轴且穿过区域内部的直线与D

的边界的交点不多于两个。图5.5

例5.5计算二重积分其中D

是由直线y=x，x=1及x轴所围成的闭区域。

解

画出积分区域D

如图5.6所示，图5.6

它既是X

型，又是Y型。若D

看成X

型，则D

可表示为

于是

若将D看成X型,则D可表示为

于是

例5.6

计算二重积分其中D

是由抛物线y=x2

及直线y=x+2所围成的闭区域。

解

画出积分区域D

如图5.7所示，图5.7

若D

看成X

型，则D可表示为

于是

若将D看成Y型,则由于在区间[0,1]及[1,4]上x

的积分下限不同,所以要用直线y=1把区域D分成D1

和D2

两个部分(图5.8),其中

于是图5.8

例5.9求两个圆柱面x2+y2=a2，x2+z2=a2

所围成的立体体积.

解

由对称性知,所求立体的体积V

是该立体位于第一卦限部分的体积V1的8倍(见图5.11).图5.11

立体在第一卦限部分可以看成一个曲顶柱体，它的底为

它的顶是柱面

于是

二、

在极坐标系下求二重积分

在平面上选定一点O，从点O

出发引一条射线Ox，并在射线上规定一个单位长度，这就得到了极坐标系(如图5.12)，其中点P

称为极点，射线Ox

称为极轴。

平面上每一点

M

都可以用它的极径r

和极角θ来确定其位置，称有序数对(r,θ)为点

M

的极坐标。图5.12

如果我们将直角坐标系中的原点O

和x轴的正半轴选为极坐标系中的极点和极轴，如图5.13所示，则平面上点M

的直角坐标(x,y)与其极坐标(r,θ)有以下的关系图5.13

在二重积分的定义中，若函数f(x,y)可积，则二重积分的存在与区域D

的划分无关。在直角坐标系中，我们是用平行于x

轴和y

轴的两组直线来分割区域D的，此时面积元素dσ=dxdy。所以有

在极坐标系中，点的极坐标是(r,θ)，r=常数，是一簇圆心在极点的同心圆；θ=常数,是一簇从极点出发的射线。我们用上述的同心圆和射线将区域

D

分成多个小区域，如图5.14所示，其中，任一小区域Δσ

是由极角为θ

和θ+Δθ

的两射线与半径为r和r+Δr的两圆弧所围成的区域，则由扇形面积公式得图5.14

在极坐标系下计算二重积分，仍然需要化为二次积分来计算，通常是按先r后θ的顺序进行，下面分三种情况予以介绍。

(1)极点O

在区域D之外，且D

由射线θ=α，θ=β和连续曲线r=r1(θ)，r=r2(θ)所围成，如图5.15所示，这时区域D

可表示为

于是图5.15

(2)极点O

在区域D

的边界上，且D

由射线θ=α，θ=β和连续曲线r=r(θ)所围成，如图5.16所示，这时区域D

可表示为

于是图5.16

(3)极点O

在区域D

内部，且

D的边界曲线为连续封闭曲线r=r(θ)，如图5.17所示，这时区域D

可表示为

于是图5.17

例5.10计算二重积分其中D

是由圆x2+y2=a2(a>0)围成的闭区域.

解

由于区域D

在极坐标系下表示为

所以

例5.11

计算二重积分其中D

是由圆x2+y2=π2

和x2+y2=4π2

所围成的闭区域。

解

积分区域D是由两个圆所围成的圆环，在极坐标系下表示为

于是

例5.12

计算二重积分其中D

是第一象限中同时满足x2+y2≤1和x2+(y-1)2≤1的点所组成的区域.

所以得图5.18

第3节

广

义

重

积

分

和一元函数类似，二重积分也可以推广到无界区域上的广义二重积分，它在概率统计中是一种广泛应用的积分形式。

定义5.2

设函数f(x,y)在无界区域