【暑假预习】新初二暑假讲义

【暑假预习】新初二暑假讲义

第01讲三角形的边与三角形的稳定性.......................................................4

考点一：三角形的的相关概念...............................................................4

考点二：三角形的的分类....................................................................5

考点三：利用三角形三边关系求第三边的范围.................................................5

考点四：三角形三边关系的运用.............................................................5

考点五：三角形三边关系的相关证明........................................................6

考点六：三角形的稳定性...................................................................6

第02讲与三角形有关的线段（中线、高线、角平分线）.......................................8

考点一：三角形的高线、中线、角平分线的相关概念..........................................9

考点二：三角形的高线画法的相关问题......................................................9

考点三：三角形的高线的相关计算...........................................................9

考点四：三角形的中线相关概念...........................................................10

考点五：三角形的中线的相关计算.........................................................10

考点六：三角形的角平分线相关概念与计算...................................................10

考点七：三角形有关的线段综合问题........................................................11

第03讲与三角形有关的角（内角和定理与外角定理）........................................14

考点一：证明三角形内角和定理............................................................14

考点二：三角形内角和定理的相关计算......................................................15

考点三：两角互余的相关计算.............................................................16

考点四：证明外角性质定理.................................................................16

考点五：外角性质的相关计算..............................................................18

考点六：内角和与外角性质的综合问题（双角平分线问题）...................................18

第04讲多边形及其内（外）角和..........................................................23

考点一：多边形的相关概念................................................................24

考点二：多边形的对角线问题..............................................................24

考点三：多边形的内角和的相关计算.......................................................25

考点四：多边形的外角和的相关计算........................................................25

考点五：正多边形的相关计算..............................................................26

考点六:多边形的密铺问题...............................................................26

考点七：七巧板的相关问题...............................................................27

第05讲全等三角形及其性质..............................................................29

考点一：全等图形的相关概念..............................................................30

考点二：全等图形的识别.................................................................30

考点三:全等图形的相关计算.............................................................30

考点四：全等三角形性质的运用...........................................................31

考点五：全等图形的相关作图问题.........................................................31

考点六：全等三角形性质的综合问题.......................................................32

第06讲全等三角形的判定-SSS..........................................................................................................................35

考点一：边边边判定三角形全等的条件......................................................36

考点二:利用“SSS”尺规作图.............................................................36

考点三:利用边边边判定三角形全等（实际应用）............................................37

考点四：利用SSS判定三角形全等（个数问题）.............................................37

考点五:利用SSS证明三角形全等（求角的度数）............................................38

考点六：利用SSS证明三角形全等（探究与证明）............................................38

第07讲全等三角形的判定-SAS.........................................................................................................................43

考点一:边角边判定三角形全等的条件......................................................43

考点二：利用SAS证明三角形全等（求线段的长度）.........................................44

考点三：利用SAS证明三角形全等（求角的度数）...........................................44

考点四：利用&4S判定三角形全等（实际应用）.............................................45

考点五：利用SAS证明三角形全等（证明类）...............................................46

考点六：利用SAS证明三角形全等（探究类）...............................................46

第08讲全等三角形的判定-A&4........................................................................................................................50

考点一：角边角判定三角形全等的条件......................................................50

考点二：利用ASA证明三角形全等（求线段的长度）.........................................51

考点三:利用ASA证明三角形全等（求角的度数）...........................................51

考点四：利用ASA判定三角形全等（实际应用）.............................................52

考点五：利用A&4证明三角形全等（证明类）................................................53

考点六:利用ASA证明三角形全等（探究类）................................................53

第09讲全等三角形的判定-A4s........................................................................................................................57

考点一:角角边判定三角形全等的条件......................................................57

考点二:利用AAS证明三角形全等（求线段的长度）.........................................58

考点三：利用AAS证明三角形全等（求角的度数）...........................................58

考点四：利用A4s判定三角形全等（实际应用）.............................................59

考点五：利用AAS证明三角形全等（证明类）................................................59

考点六：利用AAS证明三角形全等（探究类）................................................60

第10讲全等三角形的判定-HL............................................................................................................................63

考点一：乩判定三角形全等的条件.........................................................64

考点二：利用乩证明三角形全等（求线段的长度）..........................................64

考点三:利用乩证明三角形全等（求角的度数）............................................65

考点四：利用乩判定三角形全等（动态全等问题）..........................................65

考点五：利用乩证明三角形全等（证明类）.................................................65

考点六:利用乩证明三角形全等（探究类）.................................................66

第11讲全等三角形的基本模型............................................................69

考点一:平移模型.........................................................................70

考点二:轴对称模型.......................................................................70

考点三：旋转模型.........................................................................71

考点四：一线三等角模型...................................................................72

考点五：三垂直全等模型...................................................................73

考点六：手拉手模型......................................................................74

考点七：半角全等模型....................................................................76

第12讲全等三角形的相关辅助线..........................................................82

考点一:截长补短法.......................................................................83

考点二：旋转法..........................................................................84

考点三:倍长中线模型.....................................................................85

考点四：过端点作另一边的平行线..........................................................86

考点五:向中线作垂线.....................................................................87

第13讲角的平分线的性质................................................................92

考点一：角平分线的作法及应用............................................................93

考点二：角平分线的性质的运用............................................................94

考点三:角平分线的性质与等积法..........................................................95

考点四：角平分线的性质与全等............................................................95

考点五:角平分线的性质与最值............................................................96

考点六：角平分线的性质与实际应用........................................................96

第14讲角平分线的判定..................................................................100

考点一：角平分线的判定（实际应用）.....................................................101

考点二：角平分线的判定的运用...........................................................102

考点三：角平分线的判定（证明）.........................................................103

考点四：角平分线的性质与判定综合.......................................................103

第15讲角平分线的相关辅助线...........................................................106

考点一：角平分线上的点向两边作垂线.....................................................107

考点二：过边上的点向角平分线作垂线.....................................................108

考点三：过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形.....................................109

考点四：利用角平分线的性质，在角两边截长补短............................................110

第01讲三角形的边与三角形的稳定性

【基础知识】

i.三角形

（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角

形.组成三角形的线段叫做三角形的边.相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.

相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.

（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形

即等边三角形）.

2.三角形三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.

（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线

段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

（3）三角形的两边差小于第三边.

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易

忽略.

3.三角形的稳定性

当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性.这一特性主

要应用在实际生活中.

【考点剖析】

考点一：三角形的的相关概念

例1.（襄阳阳光学校初二月考）三角形是指（）

A.由三条线段所组成的封闭图形B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形

C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形

变式1.（广东八年级期中）如图，在ABCE中，边BE所对的角是，/CBE所对的边是;在

AAEC中，边AE所对的角是.NA为内角的三角形是.

考点二：三角形的的分类

例2.（山东滨州市•八年级期末）三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

变式2.（山西吕梁市•八年级期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关

系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直

角三角形和钝角三角形.其中，正确的有（）个.

考点三：利用三角形三边关系求第三边的范围

例3.（广西河池市•八年级期末）已知△ABC的三边长为2,7,X,请写出一个符合条件的x的整数值，

这个值可以是.

变式3.（河北廊坊市•八年级期末）在AABC中，若A3=6,AC=3,则第三边3c的取值可能是（）

考点四：三角形三边关系的运用

例4.（四川省自贡市贡井区成佳中学校八年级月考）若a,b,c是AABC的三边长，则化简

+—c|+|/?—c—1?|的结果是.

变式4.（浙江八年级期中）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中

相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,

则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）

2

6

A.6B.7C.8D.10

考点五：三角形三边关系的相关证明

例5.（绵阳市八年级月考）如图，尸是AABC内一点，连接BP,PC,延长BP交AC于D

（1）图中有几个三角形；（2）求证：AB+AOPB+PC.

变式5.（雁塔区期中）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论.（1）如图①，在AABC中，尸为

边BC上一点，贝ljBP+PCAB+4C（填或“="）（2）将（1）中点尸移到△ABC内，得

图②，试观察比较△BPC的周长与AABC的周长的大小，并说明理由.（3）将（2）中点尸变为两个点尸卜

尸2得图③，试观察比较四边形BP42c的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由.

考点六：三角形的稳定性

例6.（浙江八年级期中）下列是利用了三角形的稳定性的有个.

①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条

变式6.（临海市期末）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有

(WO

【课后作业】

1.（全国•八年级专题练习）学习完三角形的概念后，小强同学用火柴拼成的图形如下，其中符合三角形概

念的是（）

2.（湖北孝感市•八年级期末）下列各组线段，能构成三角形的是（）

A.3,2,1B.2,1,1C.2,2,1D.4,2,1

3.（禅城区一模）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道

理是（）

X拉护工

A.两点之间线段最短B.三角形具有稳定性

C.经过两点有且只有一条直线D.垂线段最短

4.（湖北孝感市•八年级期末）下列各组线段，能构成三角形的是（）

A.3,2,1B.2,1,1C.2,2,1D.4,2,1

5.（河北沧州•七年级期末）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）

A.都是锐角三角形B.都是直角三角形

C.都是钝角三角形D.是一个锐角三角形和一个钝角三角形

6.（河南周口•七年级期末）下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一

定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形.其中

正确的有（）个

A.1B.2C.3D.4

7.（江苏初一月考）若a,b,c是△ABC的三边的长，则化简口一6—c|—16—c—a|+|a+6—c|的结果是（）

A.a+6+cB.-a~\~3b—cC.a~\~b—cD.2b—2c

8.（齐河县期末）如图，共有个三角形.

9.（河南安阳市•八年级期末）如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三

角形具有性.

10.（云南红河•八年级期末）如果一个三角形的两边长分别为3、4,第三边最长且为偶数，则此三角形的

第三边长是.

11.（广西南宁•八年级期中）已知mb,c是AABC的三边长.

⑴若a,b,c满足,（a-b）2+\b-c\=0,试判断AABC的形状;

（2）化简：|b—c—a|+|a—b+c|—|a—6—c|

12.（遵义月考）如图，点尸是△ABC内任意一点，求证：PA+PB+PC>|AB+^BC+^AC.

第02讲与三角形有关的线段（中线、高线、角平分线）

【基础知识】

i.三角形的角平分线、中线和高线

（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.

（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角

形的角平分线.

（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.

（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.

（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条

高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，

三条高所在直线相交于三角形外一点.

【考点剖析】

考点一：三角形的高线、中线、角平分线的相关概念

例1.（河北唐山•八年级期中）下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角

平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条

中线、三条高分别交于一点.正确的是（）

A.①B.①④C.②③D.②④

变式1.（广东八年级月考）下列说法正确的是（）

A.三角形三条角平分线的交点是三角形的重心

B.三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分

C.三角形的中线、角平分线、高都是线段

D.三角形的三条高都在三角形内部

考点二：三角形的高线画法的相关问题

例2.（广东汕头市•八年级模拟）下列尺规作图，能判断AD是AABC的边上的高是（）

变式2.（湖北孝感•八年级期中）如图，己知AABC中，AB=15,BC=20（1）画出AABC的高和CE；

（2）若AD=5,求CE的长.

B

考点三：三角形的高线的相关计算

例3.（绵阳市初二课时练习）在直角三角形ABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,AC=5,则AABC

的三条高之和为（）

A.8.4B.9.4C.10.4D.11.

变式3.（江苏七年级月考）AABC中,AD是BC边上的高,NBAD=5（r,/CAD=20。,则NBAC=

考点四：三角形的中线相关概念

例4.（孝感市孝南区八年级月考）三角形的重心是指（）

A.三个内角平分线的交点B.三边上的高的交点C.三条中线的交点D.三边垂直平分线的交点

变式4.（湖南长沙•八年级期末）如图，在△ABC中，点。是△ABC的重心，则为三角形的（）

A.角平分线B.高线C.中线D.垂直平分线

考点五：三角形的中线的相关计算

例5.（浙江杭州市•八年级期末）如图，在“3。中，AB=10,AC=8,为中线，则△A3。与

的周长之差为（）

C.3D.4

变式5.（江苏八年级月考）如图，D、E、R分别是3C、AD>BE1的中点，若AB阳的面积是3,则

AABC的面积是.

A.6B.12C.15D.24

考点六：三角形的角平分线相关概念与计算

例6.（全国•八年级）如图，在AABC中，ZC=90°,D,E是AC上两点，且AE=OE,BD平分/EBC,

那么下列说法中不正确的是（）

A.BE是△A3。的中线B.是ABCE的角平分线C.Nl=/2=/3D.S屈EB=S«EDB

变式6.（重庆市八年级专项训练）如图，AE是AABC的角平分线.已知/B=45。，NC=60。,求NBAE和N

AEB的度数.

C

考点七：三角形有关的线段综合问题

例7.（北京市初一期末）如图，在AABC中，ZCAB=9Q°,是高，CP是中线，3E是角平分线，BE

交AD于G,交CF于H,下列说法正确的是（）

①NAEG=NAGE②BH=CH③NEAG=2ZEBC④S^CF=S^BCF

A.①③B.①②③C.①③④D.②③④

变式7.（西安初一期末）如图，AE是AABC的角平分线，ADLBC于点D,点F为BC的中点，若/BAC

=104°,ZC=40°,则有下列结论：①NBAE=52。；②NDAE=2。；③EF=ED；④S〃ABF=15AAec.其中

正确的个数有（）

个B.2个C.3个D.4个

【课后作业】

1.（广东广州市•八年级期中）如图，在AABC中，边上的高为（

F

A.BDB.CFC.AED.BF

2.（湖南•八年级期中）下列说法中，表示三角形的重心的是（）

A.三角形三条中线的交点B.三角形三条高所在的直线的交点

C.三角形三条角平分线的交点D.三角形三条边的垂直平分线的交点

3.（湖南•长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图，AD,BE,CF依次是AABC的高、中线和角平

分线，下列表达式中错误的是（）

A.AE=CEB.ZADC=90°C.ZCAD=ZCBED.ZACB=2ZACF

4.（涿州市八年级期中）如图所示，在中，D、E、厂分别为BC、AD,CE的中点，且&ABC=16c/,

则阴影部分SBEF）的面积等于（）

A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8d

5.（安徽合肥市•八年级期末）如图，AD为AABC的中线，E为AD的中点，连接3E.已知AABC的

面积为12,则八43£的面积等于（）

BDC

A.2B.3C.4D.6

6.（南通市八一中学初一月考）若一个三角形的三边长之比为3：5：7.则这个三角形三边上的高之比为（）

A.3：5：7B.7：5：3C.35：21：15D.6：5：4

7.（重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，AABC中，点尸在边AB上，点。为的中点，

连接A。、CF相交于点E,若品AEC=6,S"EC=2，贝I1S四边形BDEF=（）

8.（沐阳县校级月考）如图，在AABC中，4。为BC边上的中线，于点E,O/UAC于点RAB

=3,AC=4,DF^1.5,贝|OE=.

9.（广东广州市白云区六中珠江学校八年级期中）如图，在AABC中，A。、AE分别是边BC上的中线与高,

AE=5,AABC的面积为25,则CD的长为.

10.（江苏•滨海县第一初级中学七年级阶段练习）如图，AABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上,

将AABC向上平移4格.⑴请在图中画出平移后的三角形A®。；（2）在图中画出三角形AABC的高C。、中线

BE；（3）A48C的面积是.

11.（威县期末）在AABC中，BC=8,AB=1；（1）若AC是整数，求AC的长;

（2）已知2。是AABC的中线，若AABD的周长为17,求△BCD的周长.

第03讲与三角形有关的角（内角和定理与外角定理）

【基础知识】

i.三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于

0°且小于180°.

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

（3）三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合

成一个平角.在转化中借助平行线.

（4）两个角互余的三角形是直角三角形.

（5）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求

三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

2.三角形的外角性质

（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三

角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°.②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角

的和.③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角.

【考点剖析】

考点一：证明三角形内角和定理

例1.（山西吕梁市•九年级二模）在探究证明“三角形的内角和是180。”时，综合实践小组的同学作了如下四

种辅助线，其中不能证明"三角形内角和是180。”的是（）

变式1.（吉林•舒兰市教师进修学校七年级期末）如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形

内角和是180。”的结论。小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要

通过证明来确认它的正确性.

受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把N1和N2移动到

N3的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可

以解决问题了.小明的证明过程如下:

已知：如图，AABC.求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证明：延长BC,过点C作。0〃班.

，NA=（两直线平行，内错角相等），

ZB=Z2（）.

VZl+Z2+ZACB=180°（平角定义），

,ZA+ZB+ZACB=180°.

（1）请你补充完善小明方法1的证明过程；

（2）请你参考小明解决问题的方法1的思路，自行画图标注好顶点字母，写出方法2证明该结论的过程.

考点二：三角形内角和定理的相关计算

例2.（河南濮阳•八年级期末）有一块直角三角板DEF放置在AABC上，三角板DEF的两条直角边DE,DF

恰好分别经过点8、C,在AABC中，ZDBA+ZDCA=40°,贝的鳗是（

A.40°B.44°C.45°D.50°

变式2.（河南驻马店市•八年级期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是

另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是

120。，40。，20。，这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形"，那么这个三

角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.

（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108。，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为.

（2）如图，己知NMON=60°，在射线0M上取一点A,过点A作A3交ON于点B,以A为端

点作射线A。，交线段于点C（点C不与。、8重合），若NAC3=80。，判定AAOB、△AOC是

否是“梦想三角形"，为什么？

考点三：两角互余的相关计算

例3.（浙江衢州•八年级期中）已知，在直角AA8C中，/C为直角，NB是NA的2倍，则/A的度数是

（）

A.30°B.50°C.70°D.90°

变式3.（湖北蔡甸初二期中）如图，若AA3C的三条角平分线A。、BE、CT交于点G,则与NEGC互

余的角是（）

A.ZCGDB.ZFAGC.ZECGD.NFBG

考点四：证明外角性质定理

例4.（河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的

和.已知：如图，NACD是AABC的外角.

求证：ZACD=ZA+ZB.

A

D

证法1：如图，

•••NZ+N8+NZC8=180°（三角形内角和定理），

又•••44。+44。8=180。（平角定义），

：.ZACD+ZACB=ZA+ZB+ZACB（等量代换）.

乙4CD=ZA+NB（等式性质）.

\/

证法2：如图，

ZA=76°,4=59°,

且445=135。（量角器测量所得），

XV135°=76°+59°（计算所得）,

ZACD=ZA+ZB（等量代换）.

<_______________y

下列说法正确的是（）

A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B.证法1用严谨的推理证明了该定理

C.证法2用特殊到一般法证明了该定理D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

变式4.（江苏•苏州市吴江区八年级阶段练习）用两种方法证明“三角形的一个外角等于其不相邻的两个内

角之和”.如图，ND4B是AABC的一个外角.

求证：NDAB=NB+NC.

证法1：■.■ZBAC+ZB+ZC=180°（）

ZBAC+ZDAB=180°（平角的定义）

ZBAC+ZB+ZC=ZBAC+ZDAB（）

:.ZDAB=ZB+ZC（等式的基本性质1）

请把证法1依据填充完整，并用不同的方法完成证法2

BC

考点五：外角性质的相关计算

例5.（江苏八年级专题练习）如图，把△ABC纸片沿OE折叠，使点B落在图中的二处，设

=若Ng=25。，则N2-Nl=°

变式5.（苏州外国语学校八年级期中）如图，在△ABC中，ZF=16°,即、。。分别平分/43。、乙4。3,

M、N、。分别在。3、DC、的延长线上，BE、CE分别平分NMBC、ZBCN,BF、CR分别平

分NEBC、NECQ,则NA=匚.

考点六：内角和与外角性质的综合问题（双角平分线问题）

例6.（山西阳泉初二期中）佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在

一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关.

测量数据如下表：

测量NBOC和度数

测量工具量角器

A

qZABC与NAC8的平分

示意图

线交于点。

BC

ZAZBOC

测量数据

第一次60°120°

第二次90°135°

第三次110°145°

第四次150°165°

(1)通过以上测量数据，请你写出NBOC与NA的数量关系：.(2)如图，在AA3C中，若NABC

与NACD的平分线交于点P,则ZP与NA存在怎样的数量关系？请说明理由.

变式&(南海区八年级期末)阅读下面的材料，并解决问题.(1)已知在△ABC中，/A=60°,图1-3

的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O,请直接求出下列角度的度

数.如图1,ZO=；如图2,ZO=；如图3,

NO=；

如图4,ZABC,的三等分线交于点。1,。2,连接。1。2,则/8。2。1=.

(2)如图5,点。是△ABC两条内角平分线的交点，求证：ZO=90°+|zA.

⑶如图6,△ABC中，NABC的三等分线分别与NACB的平分线交于点。1，3，若Nl=115°,N2=

135°,求/A的度数.

B图5图6

【课后作业】

1.（广东深圳•九年级期末）在AAOB中，BO=AO,OP交A8于点C,量角器的摆放如图所示，则/BCP

=（）

A.80°B.90°C.85°D.95°

2.（龙岗区期末）如图，在△ABC中，NC=36°,将△ABC沿着直线/折叠，点C落在点。的位置，则/

1-Z2的度数是（）

3.（江苏•徐州市西苑中学七年级阶段练习）在AABC中，/C=60°,按图中虚线将NC剪去后，N1+N2等

于（）.

4.（河北唐山•七年级期末）定理；三角形的内角和等于

180°.已知：AABC的三个内角为NA、DB、ZC

求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证法1:如图

VZA=100°,ZB=30。，NC=50。（量角器测

量）

V100°+30°+50°-180°（计算所得）

ZA+ZB+ZC=180°（等量代换）

证法2如图，延长BC到。，过点C作CE//AB.

NA=N2（两直线平行，内错角相等）

N8=N3（两直线平行，同位角相等）B/^¥仁二

VZl+Z2+Z3=180°（平角定义）.

Z1+ZA+ZB=180°（等量代换）

gpZA+ZB+ZC=180°.

下列说法正确的是（）

A.证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理

B.证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理

C.证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整

D.证法2用严谨的推理证明了该定理

5.（江苏扬州市•七年级月考）如图，BP是AABC中/ABC的平分线，CP是/ACB的外角的平分线，如

果/ABP=20。，ZACP=50°,则/P=°.

6.（江苏南京市•九年级二模）将一副三角板如图摆放，则Nl=

7.（宁夏•石嘴山市星海中学八年级期中）根据题意画出图形，并填注理由

证明：三角形的内角和等于180°.

已知：AA8C

求证：ZA+ZB