微积分复合函数求导法则课件

微积分复合函数求导法则课件•

复合函数概述•

求导基础知识回顾•

复合函数求导法则推导•

复合函数求导法则应用实例分析•

高阶导数及隐函数求导方法介绍•

总结回顾与拓展延伸01复合函数概述复合函数定义•

定义：设函数y=f(u)的定义域为Df，值域为Rf，函数u=g(x)的定义域为Dg，值域为Rg，且Rf∩Dg≠∅，则称函数y=f[g(x)]为f(u)与g(x)的复合函数，记作y=f·g(x)，其中x∈Dg，u∈Rf∩Dg，y∈Ry。这里Rf∩Dg表示f(u)与g(x)的定义域的交集。复合函数类型010203嵌套型乘积型幂型形如y=f(g(x))的复合函数，其中f(u)和g(x)均为基本初等函数。形如y=f(x)g(x)的复合函数，其中f(x)和g(x)均为基本初等函数。形如y=[f(x)]^n或y=n^[f(x)]（n为常数）的复合函数，其中f(x)为基本初等函数。复合函数实例嵌套型实例01y=sin(2x+1)，其中f(u)=sin(u)，g(x)=2x+1。乘积型实例0203y=xe^x，其中f(x)=x，g(x)=e^x。幂型实例y=ln(3x)，其中f(x)=ln(x)，g(x)=3x。02求导基础知识回顾导数定义及性质导数定义函数在某一点处的导数描述了该函数在该点附近的变化率，即函数值随自变量变化的快慢程度。导数性质包括常数函数的导数为0、幂函数的导数公式、导数的四则运算法则等。常见导数公式常见基本初等函数的导数公式如多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等。复合函数的导数公式通过链式法则将复合函数分解成基本初等函数进行求导。求导法则链式法则若函数u=g(x)在点x可导,而y=f(u)在点u=g(x)可导,则复合函数y=f[g(x)]在点x可导,且其导数为：f'[g(x)]·g'(x)。隐函数求导法则若y是x的函数，且由方程F(x,y)=0确定，则将方程两边同时对x求导，得到y'的表达式。03复合函数求导法则推导链式法则引入链式法则定义链式法则引入思路若函数$y=f(u)$在点$u$可导，函数$u=g(x)$在点$x$可导，则复合函数$y=f[g(x)]$在点$x$也可导，且其导数为$f'[g(x)]\cdotg'(x)$。通过实例和图形展示，引入复合函数的概念，并让学生思考如何求复合函数的导数，进而引出链式法则的概念。VS链式法则证明过程链式法则证明方法链式法则证明步骤采用极限的定义和四则运算法则进行证明，让学生理解链式法则的本质和推导过程。首先通过极限的定义求出复合函数的导数，然后利用四则运算法则进行化简，得到链式法则的公式。链式法则应用举例例题选择例题解析选择几个典型的复合函数求导的例题，包括基本初等函数的复合、分段函数的复合等，让学生熟悉链式法则的应用场景和求解方法。详细解析每个例题的求解过程，包括复合函数的分解、各部分的求导以及最后结果的整合，让学生理解并掌握链式法则的应用方法。04复合函数求导法则应用实例分析实际问题中复合函数模型建立经济增长模型物体运动模型描述经济增长与时间的关系，如GDP与时间的描述物体运动速度与时间的关系，如速度与时间的函数关系。函数关系。工程问题中的复合函数描述工程问题中多个变量之间的关系，如流量、压力与管道半径的函数关系。利用链式法则求解实际问题中复合函数导数链式法则基本思想：将复合函数拆解成多个基本函数，逐一求导，再01020304相乘得到整体导数。经济增长模型中复合函数导数求解：分析经济增长率、边际增长率等经济指标。物体运动模型中复合函数导数求解：分析加速度、速度变化率等物理量。工程问题中复合函数导数求解：分析流量变化率、压力梯度等工程参数。总结与归纳要点一要点二复合函数求导法则重要性实际问题中复合函数模型建立与导数求解方法掌握复合函数求导法则是解决实际问题的基础和关键。根据实际问题建立复合函数模型，利用链式法则求解导数，分析问题的本质和规律。05高阶导数及隐函数求导方法介绍高阶导数概念及性质回顾高阶导数定义高阶导数性质函数f(x)的n阶导数表示为f^(n)(x)，表示对函数f(x)求n次导数。高阶导数具有线性性、叠加性和乘积法则等基本性质，同时高阶导数与函数的凹凸性和拐点等性质密切相关。隐函数求导方法简述隐函数概念隐函数求导方法当函数y以隐式形式给出，即F(x,y)=0时，称y为x的隐通过对隐函数F(x,y)两边同时对x求导，并利用链式法则和复合函数求导法则，求得y'和y''等导数。函数。隐函数求导在复合函数中应用举例复合函数分解举例应用将复合函数分解成基本初等函数和中间变量的复合关系，便于使用链式法则和隐函数求导方法进行求导。通过实例展示隐函数求导在复合函数中的应用，包括求解函数的极值、曲线的凹凸性和拐点等问题。06总结回顾与拓展延伸关键知识点总结回顾链式法则若$y=f(u)$，$u=g(x)$，则$y'=f'(u)g'(x)$。乘法法则若$u(x)$，$v(x)$均可导，则$(u\cdotv)'=u'\cdotv+u\cdotv'$。复合函数分解将复合函数分解成若干基本初等函数，分别求导后再用链式法则求导。拓展延伸：多元复合函数求导法则简介多元函数的偏导数链式法则在多元函数中的应用对于多元函数$z=f(x,y)$，其关于$x$的偏导数$\frac{\partialz}{\partialx}$是将$y$看作常数，对$x$求导；关于$y$的偏导数$\frac{\partialz}{\partialy}$是将$x$看作常数，对$y$求导。若$z=f(u,v)$，$u=g(x,y)$，$v=h(x,y)$，则$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialf}{\partialu}\frac{\partialg}{\partialx}+\frac{\partialf}{\partialv}\frac{\partialh}{\par