《拣选12份合集》2021届辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学模拟试题含解析

2021届辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷

上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.在一个数列中，如果D〃eN*，都有*%+避“+2=%(%为常数)，那么这个数列叫做等积数列，人叫

做这个数列的公积.已知数列｛4｝是等积数列，且4=1，%=2,公积为8,贝！I%+&+…+。2020=()

A.4711B.4712C.4713D.4715

【答案】B

【解析】

【分析】

计算出％的值，推导出生+3=a”(〃eN*),再由2020=3x673+1,结合数列的周期性可求得数列｛4｝的

前2020项和.

【详解】

8,

由题意可知4"“+避”+2=8,则对任意的〃eN*，则qa2a3=8，二%=——=4,

a\a2

由4Al+M“+2=8,得4+回"+2-+3=8,•••=""+1""+2。"+3，■，”"+3=,

2020-3x673+1»因此，—•+。9()20=673(4+a,+q)+q=673x7+1=4712.

故选：B.

【点睛】

本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，

属于中等题.

2.已知函数/(x)=2,一：'”一°；,则./1(/(—1))=()

x+l,x<0,

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据分段函数直接计算得到答案.

【详解】

因为/(X)=2,一：*3所以/(/(—1))=八2)=22—2=2.

x+l,x<0,

故选：A.

【点睛】

本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.

2

3.设i为虚数单位，则复数z=——在复平面内对应的点位于()

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算化简二，求得z对应的坐标，由此判断对应点所在象限.

【详解】

2=口=：+".・・对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限.

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.

4.已知4>0且"1,函数〃力=|/八，若/(a)=3,则”—。)=()

3—1,x40

228

A.2B.-C.——D.——

339

【答案】C

【解析】

【分析】

根据分段函数的解析式，知当xWO时，/(力=3m-1,且/(力<3,由于/(a)=3,则

/(a)=log“a+a=3,即可求出a.

【详解】

由题意知：

当x40时，/(x)=3v+1-l,ja/(x)<3

由于/(。)=3,则可知：。〉0,

则/(a)=k>g"a+a=3,

，a=2,则-。=-2,

2

则/(-〃)=/(-2)=3-=-

即/(-a)=--|.

故选：C.

【点睛】

本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.

5.若，也+工］的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为()

Ix)

A.85B.84C.57D.56

【答案】A

【解析】

【分析】

先求〃，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.

【详解】

解：(也+工］的展开式中二项式系数和为256

IX)

故2"=256,〃=8

8-r8-4「

心=品”式=S丁

要求展开式中的有理项，则/*=2,5,8

则二项式展开式中有理项系数之和为：C；+C；+C；=85

故选：A

【点睛】

考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.

r2,.2

6.已知耳、F,是双曲线1-4=1(。>02>0)的左右焦点，过点G与双曲线的一条渐近线平行的直线

a~b"

交双曲线另一条渐近线于点“，若点”在以线段耳心为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是

()

A.(2,+00)B.(百,2)C.(&.,氏)D.(1,72)

【答案】A

【解析】

V-2b

双曲线「-4=1的渐近线方程为尸士一x,

ab，a

不妨设过点用与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=-(x-c),

a

与y=-2hx联立，可得交点c-笄be)，

a22a

•.•点M在以线段F(Fi为直径的圆外，

c2b22

.,.|OM|>|OFi|,即有J+土c

44a2

b2

：.—>3,即bi>3al

a'

-a>3al即c>la.

则e=->l.

a

双曲线离心率的取值范围是(1,+oo).

故选：A.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,

再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆

和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

7.记集合A={(x,y)\x2+/<16}和集合B={(x,y)|x+”4,x20,”0}表示的平面区域分别是居

和，若在区域瑞内任取一点，则该点落在区域Q?的概率为()

1117T-2

A.----B.-C.----D.-------

4"7i27r4乃

【答案】C

【解析】

【分析】

据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求“落在区域内的概率，只要求A、B所表示区域的面

积，然后代入概率公式蓝黑第，计算即可得答案.

【详解】

根据题意可得集合A={(x,y)\x2+y2„16)所表示的区域即为如图所表示：

的圆及内部的平面区域，面积为16乃，

集合8=｛（x,y）|x+y-4,,0,x.O,y。表示的平面区域即为图中的RtAAOB,=1x4x4=8,

Q1

根据几何概率的计算公式可得P=白=1-,

16万2兀

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型.解决本题的关键是要准确求出两区

域的面积.

8.复数三=言（i为虚数单位），则忖等于（）

A.3B.272

C.2D.O

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简三，从而求得z,然后直接利用复数模的公式求解.

【详解】

_2/2/(l+z)

z----=1----------------------,z(l+z)=-l+z,

l-z(l-z)(l+l)

所以2=-1一？，回=0',

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共期复数，复数的模，属于基

础题目.

9.如图，在正方体ABC。-中，已知七、F、G分别是线段AG上的点，且

AE=EF==GG.则下列直线与平面\BD平行的是（）

A.CEB.CFC.CGD.CC\

【答案】B

【解析】

【分析】

连接AC,使AC交3。于点0,连接4。、CF,可证四边形4。。尸为平行四边形，可得A0〃Cf,

利用线面平行的判定定理即可得解.

【详解】

如图，连接AC,使AC交BO于点。，连接A。、CF,则。为AC的中点,

在正方体A8CO-A4CQ中，M〃CG且AA=℃，则四边形为平行四边形，

.•.AC//AC且AC=AC,

0、厂分别为AC、4G的中点，，AF〃oc且AF=oc，

所以，四边形A0C尸为平行四边形，则CF//A0,

。「.平面48。，AOu平面A|B。，因此，b〃平面4BO.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题.

10.设a,/?e(l,Ko),贝！］“a〉/?”是的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】c

【解析】

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可.

【详解】

Va,(1,+co),

，a>bnlogabV1,

logabVl=a>b,

•,•a>b是logab<l的充分必要条件，

故选C.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键.

11.已知函数f(x)=sin(2019X+孑-eos(2019x-£的最大值为M,若存在实数以〃，使得对任意

实数X总有</(«)成立，则知-切-川的最小值为()

72万4%万

A.----B.----C.----D.----

2019201920194038

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角函数的两角和差公式得到/(x)=2sin(2019x+?),进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度

要大于等于半个周期，最终得到结果.

【详解】

函数

=@sin2019x+cos2019x)=2sin(2019x+^)

则函数的最大值为2,M-|/7?-n|=2|/n-n|

存在实数相，〃，使得对任意实数x总有/(〃?)</(》)W/(〃)成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周

7F2万

期，即〃2—〃N----2|m—n

2019min2019

故答案为：B.

【点睛】

这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较

综合.

12.已知向量a=(〃z,l),b=(3,m-2)»则/n=3是。//匕的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

向量1=(m,1),力=(3,机一2)，a//b，则3=帆(m-2),即病一2m一3=0，/篦=3或者-1,判断出

即可.

【详解】

解：向量a=(加,D，。=(3,机一2)，

al1b>贝!13=/n(m—2)，即/—2〃?—3=0，

，篦=3或者-1,

所以〃z=3是/”=3或者m=—\的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)的定义域为R,导函数为尸(x),若〃x)=cosx—x),且+罢<0,

则满足/(X+乃)+/(》)<0的X的取值范围为.

【答案】一]，+8]

【解析】

【分析】

CCSY

构造函数g(x)=/(x)———,再根据条件确定g(x)为奇函数且在R上单调递减，最后利用单调性以

及奇偶性化简不等式，解得结果.

【详解】

依题意，〃x)-等=-〃r)+^^，

令g(x)=/(%)-则g(x)=_g(-x)，故函数g(x)为奇函数

g，(x)=/(x)-岁=r(x)+等<0,故函数g(x)在R上单调递减,

则/(x+乃)+/(x)W0n/(x+乃)―cos(；+%)+/(x)_£^«0

冗

og(x+万)+g(x)W0og(x+»)〈-g(x)=g(—x),即x+zrN—x,^.x>~—,贝！Jx的取值范围

..............71\

故答案为：-5,+00J

【点睛】

本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.

14.为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛.每两班

之间只比赛1场，目前（一）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了

1场.则目前（五）班已经参加比赛的场次为.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据比赛场次，分析，画出图象，计算结果.

【详解】

故答案为：2

【点睛】

本题考查推理，计数原理的图形表示，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.

15.若直线丘-y—%+2=0与直线X+矽一2左一3=0交于点尸，则OP长度的最大值为一

【答案】272+1

【解析】

【分析】

根据题意可知，直线依-y-%+2=。与直线x+6-2左-3=0分别过定点A,B，且这两条直线互相垂直,

由此可知,其交点P在以AB为直径的圆上，结合图形求出线段0尸的最大值即可.

【详解】

由题可知,直线6_y_2+2=0可化为A（x—l）+2—y=0,

所以其过定点A（l,2）,

直线x+6-2左一3=0可化为x-3+Z（y-2）=0,

所以其过定点B（3,2）,且满足匕1+（-1）/=0,

所以直线依一y—%+2=0与直线x+6—2左一3=0互相垂直,

结合图形可知，线段OP的最大值为|。。|+1,

因为C为线段A3的中点，

所以由中点坐标公式可得C（2,2）,

所以线段OP的最大值为2&+1.

故答案为：2&+1

【点睛】

本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;

根据圆的定义得到交点户在以A8为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.

16.（x+y）（2x—y）5的展开式中x3y3的系数为.

【答案】40

【解析】

【分析】

先求出（2x-y）5的展开式的通项，再求出刀,与即得解.

【详解】

设(2x-y)5的展开式的通项为J=C；(2x产(一y)，=(―。2-，仁/了，

2

令r=3,则T4=-4Cy/=-40x/,

令尸2,则T3=8C；Vy2=80x3y2,

所以展开式中含x3y3的项为止(-40fy3)+y.(80%3y2)=40x3/.

所以x3y3的系数为40.

故答案为：40

【点睛】

本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知/(x)=k-a|+k+W(a>0力>0).

(I)当。=8=1时，解不等式/(x)48-x:

(II)若“X)的最小值为1,求一1+1的最小值.

【答案】(I)[—2,2]；(II)之+也.

L42

【解析】

【分析】

2x(%>1),

(I)当a=6=l时，/(x)=|x-l|+k+l|=.2(—1«尤<1),令g(x)=8-作出〃x),g(x)的图像,

—2x(x<-1).

结合图像即可求解；

(n)结合绝对值三角不等式可得/(X)=k-a|+k+目2|(X+。)-(X-砌=I。+目=。+b=1,再由“1”的妙

用可拼凑为一1+!=((—1+工)[(〃+1)+句，结合基本不等式即可求解；

【详解】

2x(x>1),

(I)/(x)=|x-l|+|x+l|=-2(-1<X<1),

-2x(无<-1).

令g(x)=8-/,作出它们的大致图像如下：

由8-/=2犬=>尢=2或X="4(舍)，得点B横坐标为2,由对称性知，

点A横坐标为-2,

因此不等式/(x)48-x2的解集为[-2,2].

(II)f(x)=\x-a\-^\x+b\>\(x+b)-(x-a)\=\a+b\=a+b=l.

11111、「,1ba+\1、1/3/T3V2

；+77=7(--+--)[(tz+l)+Z?]=-(Zl1+―-+—-+-)>-(-+V2)X=-+—

a+\2b2a+\2bL2a+\2b22242

。=3-2&,

取等号的条件为白二答，即向4联立取=1得，

b=2五-2.

因此W+5的最小值为%冬

【点睛】

本题考查绝对值不等式、基本不等式，属于中档题

18.(12分)A8C的内角A、B、。所对的边长分别为。、b、c,已知acosB=(4c-Z?)cosA.

(1)求cosA的值；

uuix-

(2)若b=4,点M是线段8C的中点，AM=710,求A6C的面积.

【答案】(1)cosA--(2)S^ABC=2/

【解析】

【分析】

(1)利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，即可得出cosA的值;

(2)由题意得出AB+AC=2AM，两边平方，化简得出c=4,根据三角形面积公式，即可得出结论.

【详解】

(1)acosB=(4c-b)cosA

由正弦定理得sinAcosB=(4sinC-sin3)cosA

即sinAcosB+cosAsinB=4sinCeosA

即sinC=4cosAsinC

1

co-

在ABC中，sinCxO,所以SA4-

(2)因为点M是线段8C的中点，所以A8+AC=2A〃

两边平方得AB~+AC2+2ABAC=4AM2

由。=4JAM|=VlO,cosA=—,sinA=得，+/?2+2乂。*〃、^=4、1。

整理得c?+16+2c=40,解得C=4或c=-6（舍）

所以A3C的面积S='bcsinA=2后

2

【点睛】

本题主要考查了正弦定理的边化角公式，三角形的面积公式，属于中档题.

X=1H----1

2

19.(12分)在直角坐标系X。)，中，直线/的参数方程为《Q为参数)，以坐标原点。为极

y=2----1

2

点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=4cos8.

(1)写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线/与曲线C相交于A3两点，AE48的顶点P也在曲线。上运动，求面积的最大值.

【答案】⑴/：x+y-3=0,C：X2+/-4X=0；(2)?后妙一

'2

【解析】

【分析】

(1)由直线参数方程消去参数即可得直线/的普通方程，根据极坐标方程和直角坐标方程互化的公式即可

得曲线C的直角坐标方程；

(2)由|_/即可得A7M§的底|=而\由点尸到直线/的距离的最大值为厂+”即可得

AR46高的最大值，即可得解.

【详解】

[।回

X=1+1

2

(1)由「消去参数得直线/的普通方程为犬+丁-3=0,

、72

y=2----1

I2

由。=4cos。得夕2=4pcos。，曲线C的直角坐标方程为丁+y2-4%=0；

(2)曲线C即(x—2p+y2=4,

圆心(2,0)到直线/的距离d=Y1=乎＜2=r,

所以|AB卜2"-鲁=V14,

又点P到直线/的距离的最大值为r+d=2+注，

2

所以AR4B面积的最大值为g|AB|(r+")=2V14+V7

【点睛】

本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.

x—cos0

20.(12分)已知在平面直角坐标系X0y中，曲线C的参数方程为《一."(。为参数)，以坐标原点

y=2sin夕

。为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

/?cose+/7sin9-3=0.

(1)求直线/的直角坐标方程；

(2)求曲线C上的点到直线/距离的最小值和最大值.

【答案】(1)x+y-3=0(2)最大值3&+血；最小值3应一厢.

22

【解析】

【分析】

(1)结合极坐标和直角坐标的互化公式可得；

(2)利用参数方程，求解点到直线的距离公式，结合三角函数知识求解最值.

【详解】

解：(1)因为x=pcose,y=psin。，代入。cose+0sin6-3=O,可得直线/的直角坐标方程为

x+y—3=0.

(2)曲线C上的点(cosa2sin。)到直线I的距离d=|c0s'+J|in'-3|

1氐山（。+。）-3|其中c°s0=2,sin°=

V215

卜石-3|_3夜+厢

故曲线C上的点到直线l距离的最大值d

nmV22

|V5-3|3V2-V10

曲线C上的点到直线/的距离的最小值d.

V22

【点睛】

本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及最值问题，椭圆上的点到直线的距离的最值求解优先考虑参数方

法，侧重考查数学运算的核心素养.

21.(12分)已知AA6C中，内角A,B,C所对边分别是a,b,c,其中〃=2,C=JL

(1)若角A为锐角，且sinC=N5,求sinB的值;

3

(2)设/(。)=石$皿。8$。+3(：052。，求/(C)的取值范围.

【答案】⑴也声⑵|,|+6.

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理直接可求sinA,然后运用两角和的正弦公式算出sinB；

2177.

.(7n1]3,由余弦定理得.°=丁£北(+6),利用基本不

(2)化简/(C)=百sin2cH—|+一

32

等式求出cosC22，确定角C范围，进而求出/(C)的取值范围.

2

【详解】

a

(1)由正弦定理，得:

sinAsinC

..asinC2

sinA=--------=—

c3

「.sinCvsinA,且A为锐角

.・©sC=旦,c°sA=&

33

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=2a;

⑵〃C)=¥SM2C+3X山笋=百-sin2C+—cos2c\-3

222

71

=6sin2CH—H—

32

11

2ah4{b2

Ce71

,■•h?2C+——，71

•■-r3

/.sin[2C+yjG[0,1]/(c)e|-,|-+V3

【点睛】

本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力.

22.(1()分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA_L底面ABCD,ZBAD=60°,AB=PA

=4,E是PA的中点，AC,BD交于点O.

(1)求证：OE〃平面PBC；

(2)求三棱锥E-PBD的体积.

【答案】(1)证明见解析(2)正

3

【解析】

【分析】

(1)连接OE,利用三角形中位线定理得到OE〃PC,即可证出OE〃平面PBC；

V

(2)由E是PA的中点，VE,PBD=1PBD=|P-ABD'求出SAABD,即可求解.

【详解】

(1)证明：如图所示：

•点O,E分别是AC,PA的中点，

.♦.OE是△PAC的中位线，；.OE〃PC,

又TOEa平面PBC,PCU平面PBC,

；.OE〃平面PBC；

(2)解：；PA=AB=4,，AE=2,

,底面ABCD为菱形，ZBAD=60°,

ASAABD=—x4x4xsin60°=4百，

2

三棱锥E-PBD的体积

B

【点睛】

本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积，注意等体积法的应用，考查逻

辑推理、数学计算能力，属于基础题.

2021届辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试

卷题目指定的位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知三棱锥A3C的四个顶点都在球。的球面上,PA，平面ABC,A48C是边长为2G的等边三

角形，若球0的表面积为2（）乃，则直线PC与平面Q48所成角的正切值为（）

A.-B.且C.-V7D,且

4374

2.已知集合用=卜|/一3犬-10<0},2=卜卜=:9一炉},且加、N都是全集R（R为实数集）

的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）

A.{x[3<x<5}B.{小<-3或x>5}

C.{[-2}D.{目-34x〈5}

3.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，。，。，且

2a+b=^a>0,b>Q）,则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）

A.—71B.-71C.47rD.5万

44

4.已知集合"=（幻/=1}.N为自然数集，则下列表示不正确的是（）

A.leMB.M={-1,1}C.0=MD.M=N

5.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:3（）之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时

间在早上7.00-8:00之间用A表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为8,小

张离开家的时间为）'，（x，y）看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A的概率P（A）等于（）

52八37

A.-B.-C.-D.一

8558

JrJJrl

6,已知函数/（X）=$皿3%+0）（3＞0,0＜。＜§）满足./'（犬+万）=/（》）,/（丘）=1,则/（—五）等于

（）

V2V211

ABC.--D.一

2222

7.公比为2的等比数列｛4｝中存在两项怎,，an,满足％4=32〃]2,则3的最小值为（）

mn

95413

A.-B.-C.—D.—

73310

8.已知P为圆C：（x-5）2+9=36上任意一点，A（—5,0）,若线段Q4的垂直平分线交直线PC于点Q,

则。点的轨迹方程为（）

27

B.三-二=1

A.-------1--------—1

916916

22

*=«<())D.--一匕=1(%>())

916

3

9.已知函数a=f(20),b=/(0.2°),c=/(log032),则a,b,c的大小关系为

()

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

10.如图，在AABC中，点M,N分别为C4,CB的中点，若AB=下,CB=\,且满足

3AGM8=C42+c",则AGAC等于()

r-28

A.2B.J5C.-D.-

“33

11.已知集合人={-2,-1,0,1,2},B={X|X2-4X-5<0},贝!JACB=()

A.{-2,-1,0}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1,2)

/、19

12.已知正项等比数列M，}满足%=2a6+3%,若存在两项am,an,使得am-a„=9a；,则一+一的

mn

最小值为().

A.16B.—C.5D.4

3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知直线x—y+a=0与圆心为。的圆x2+y2+2x—4y—4=0相交于A6两点，且AC_L8C,则

实数。的值为.

14.设+x）i°=%+,则。2=，

（a（）+a2+%+-.+4（））—（6t|++...+<7y）的值为>

15.设函数/（乃=-3/+6尤在区间[。,切上的值域是[—9,3],则匕一a的取值范围是.

16.设定义域为R的函数“X）满足/'（x）>/（x）,则不等式<〃2x—1）的解集为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知顶点是坐标原点的抛物线「的焦点厂在）'轴正半轴上，圆心在直线y=；x上的圆E与

x轴相切，且E,歹关于点M（-l,0）对称.

（1）求E和「的标准方程；

（2）过点/的直线/与E交于AB,与T交于C,D,求证：|CD|>0|A8].

18.（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量二（单位：亿元）对年

销售额二（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①二=二

②-二+二，其中-------均为常数，3自然对数的底数.

y,年侑件额/亿元

80

75・

70

65*

60・

—------------------------------------------------------------X

。11015202530年研发资金/亿元

现该公司收集了近12年的年研发资金投入量-一和年销售额-_的数据…并对这些数据作了

初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值.令--_「...；・），经计算得如

下数据：

二二-

r二二二-守£13

口=1

20-02004604.20

£仁二”，12

2（口□一巧（匚口一二）!(==---

2=7二=7

5125000215000.308

（1）设｛二一和｛二的相关系数为二,，｛二々和｛二一:的相关系数为二、，请从相关系数的角度，选择一个拟

合程度更好的模型；

（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立二关于二的回归方程（系数精确到0.01）;

（ii）若下一年销售额二需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量二是多少亿元？

附：①相关系数「二，回归直线=_-+--中斜率和截距的最小二乘估计公式

__工~_~

i'y:（口二-方

分别为：L二9一==_一=；

y（0=-0）（□:-0）•一」

rr_J二_______________

一——二

②参考数据：308=4x-rV死X9.4868'90'

"23'

19.（12分）已知矩阵4=,的一个特征值为4,求矩阵A的逆矩阵AT.

t1

222,—

20.（12分）已知实数x,y,z满足1二+二二+1土二=2,证明：丁二+1二+丁二4④.

1+X21+/1+z21+x1+y1+Z2

21.（12分）设函数/（x）=sin（W—2）—2cos2竽+1（。＞0）,直线y=后与函数”为图象相邻两交

366

点的距离为2〃.

（I）求。的值；

（n）在△钻c中，角4,£。所对的边分别是。,6,。，若点是函数y=/a）图象的一个对称中

心，且Z?=5,求AABC面积的最大值.

22.（10分）如图，已知E，尸分别是正方形A5CD边8C,CO的中点，EF与AC交于点。，PA，

NC都垂直于平面ABCO,且B4=AB=4，NC=2,"是线段Q4上一动点.

(1)当MO_L平面EFN,求的值；

(2)当"是Q4中点时，求四面体M—EFN的体积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只