《高中物理题型笔记》补充-振动与波 (一)

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题型笔记17.1机械振动

一、简谐运动的描述与规律①从平衡位置开始计时，函数表达式为

x=Asincot,图象如图甲所示；

1.机械振动

笔记：机械振动A

OEl.一

定义：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧振动图像~7ft/Tt

-A—/

所做的往复运动称为机械振动，简称振动.

甲乙

回复力：振动物体所受的总是指向平衡位置的力，

②从最大彳立移处开始1十时，函数表达式

具体问题中一定要注意分析回复力.

为x=Acoscot,图象力口图乙月斤示.

①方向：总是指向平衡位置.

描述质点的位移与时间的规律

②来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以图像意义

（不是质点的运动轨迹）

是几个力的合力或某个力的分力.

①振幅A、周期人各时刻质点的位置

注意：回复力并不表示合力，回复力为0,合力不

②各时刻回复力、加速度、速度、位移

一定为0。

的方向.

位移X：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向

I）曲线切线的斜率为正，速度方向

线段，是矢量，位移的最大值就是振幅.

图像信息为正；斜率为负，速度方向为负

振幅A：振动物体距离平衡位置的最大距离，是

II）曲线切线的斜率的绝对值表示

标量，表示振动的强弱，振动系统能量的大小.

该时刻速度大小

周期T和频率/：表示振动快慢的物理量，两者互

③某段时间内位移、回复力、加速度、

为倒数，当7与/■由振动系统本身决定时，则叫固有

速度、动能、势能的变化情况.

周期和固有频率.

2.简谐运动①相隔AE=(〃+2)T(〃=0,1,2,…)的两

质点的位移与时间遵从正弦函数

个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置

定义的规律，即振动图像（XI图像）是一条正

对称，位彩;等大反向，速度也等大反向.

弦曲线，这样的振动叫做简谐振动.X

x=Asin(①，+90)A

K\_____

位移表达式A代表振幅，①=24代表运动快O\7\t

-A\

慢，①方十夕0代表相位，9°叫做初相.2、

对称规律

F=~kx,其中“一”表示回复力②相隔△/=〃?（〃=1,2,3,…）的两个时

动力学特征

与位移的方向相反.亥弹簧振子在同一位置，位移和速度

k都相同.

运动学特征a=~~x

m③振动物体来回通过相同的两点间的

①振幅越大，系统能量越大.时间相等，如fBC=tCB；振动物体经过

能量特征②在运动过程中，动能和势能相互转关于平衡位置对称的等长的两线段的

化，系统的机械能守恒时间相等，如fBC=加，＜?，如图所示.

--

相隔T或"7的两个时刻啊婢秫JCB'0BC

处于同一位置且振动状态匚二3.简谐运动的两种模型

注意：等型\笔记：弹簧振子

.■■

做简谐运动的物体在一领期内运悭K2ZZ

1

周期性特征

——1al

的路程一定为44；

Tv

半个周期内运动的路程一定为2A-.。意图MF

-------1

；个周期内运动的路程不一捌二上弹簧振子（水平）1

NWNX

11单簧成寿子俚4I'U

2

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简谐①弹簧质量要忽略注意：阻尼运动不是简谐运动，振幅与周期都是

运动②无摩擦等阻力发生变化的.由于摩擦阻力的作用，使振动系统的能量

条件③在弹簧弹性限度内逐渐转变为内能.阻尼运动的振动图像，如下图所示：

回复力弹簧弹力提供弹力与重力的合力提供

平衡

弹簧原长处kx=mg处

位置

/m

丁=

周期22不考

与振幅无关

弹性势能与动能弹性势能、重力势能与2.受迫振动与共振

能量

的相互转化，系统动能的相互转化，系统笔记：受迫振动与共振

转化

机械能守恒.机械能守恒.受迫振动：系统在外界周期性变化的驱动力作用

下的振动叫受迫振动，系统做受迫振动时，振动稳定

模型笔记：单摆后的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关.

受迫振动的周期或频率：7=7驱、/=/«

।

共振：驱动力的频率跟系统的固有频率相等时，

本意图受迫振动的振幅最大的现象叫共振.

受迫振动的振幅的影响因素：如下图所示共振曲

线，图中方表示固定频率，通过共振曲线直观的反映

简谐①摆线为不可伸缩的轻细线

系统做受迫振动的振幅A与驱动力/的关系.

运动②无空气阻力等

条件③最大摆角小于等于5°

摆球重力沿与摆线垂直方向（即切向）的分力

回复力回复力：/回一根gsin。一~i~x~日

°ff

负号表示回复力/回与位移x的方向相反a

平衡当驱动力的频率/偏离固定驱动力的频率fo较大

最低点

位置时，受迫振动的振动A较小；

（惠更斯发现）7=27r^!当驱动力的频率/等于固定驱动力的频率fo时,受

迫振动的振动A最大.

周期①L为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统

距离.的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换.

②g为当地重力加速度.共振的应用：共振筛、声音的共鸣等

能量三、机械振动的考法总结

重力势能与动能的相互转化，机械能守恒

转化

1.简谐运动的描述与规律

二、受迫振动和共振笔记

7学需送据振动图像，分析：

L阻尼振动

M①振球:周期、频率及振动表达式；

笔记：阻尼运动

丁②任意a刻质点的速度、加速度、位移、路程和

阻尼：当振动系统受到阻力作用时

卷嶷相关期的问题.

到了阻尼.U

阻尼振动：振动过程中，由于受到叙的作用工必知结论

系统要克服阻力做功，振动系统的能量逐宗邀b,振T或”7的两个时刻振动物体处于同一位置

且振彰状态相同.

幅逐渐减小，这样的振动叫阻尼振动.%一—

3

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②做简谐运动的物体在一个周期内运动的路程大②对于水平方向的弹簧振子，弹性势能与动能的

小一定为4A；相互转化，系统机械能守恒，振动周期7=27吊；

半个周期内运动的路程一定为2A；

③对于竖直方向的弹簧振子，弹性势能、重力势

3个周期内运动的路程不一定为A.

能与动能的相互转化，系统机械能守恒.

【原型题】（多选）一个质点做简谐运动的图象如图所考法总结：

示，下列说法正确的是（）①改变振子质量对周期、振幅、能量的影响；

②振子为叠加型连接体时，分析连接体内力的变

化规律.

【原型题】（多选）一水平弹簧振子做简谐振动，则以下

说法正确的是（）

A.质点的振动幅度为4cm

A.振子的质量越大，则该振动系统的周期越长

B.质点振动的频率为0.25Hz

B.振子的质量越大，则该弹簧振子系统的机械能

C.第5s末，质点的速度为零，加速度最大

越大

D./=1.5s和t=4.5s两时刻质点的位移大小相等，

C.振子运动位移最大时，突然增大振子的质量，

都是陋cm

弹簧振子的周期变大，振幅不变；

E.在9s内质点经过的路程是18cm

D.已知振动周期为T,若\t=T,则在t时刻和（f

F.位移减小时，加速度减小，速度增大

+△/）时刻振子运动的加速度一定相同

G.物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与

E.若t时刻和（f+Af）时刻弹簧的长度相等，则Nt

位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移

一定为振动周期的整数倍

方向相同

F.振子的动能相等时，弹簧的长度不一定相等

H.速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和

G若振子由A、2物体叠加而成，如图所示，两物

方向所经历的时间为一个周期

体间摩擦力的变化周期与弹簧振子的运动周期相同.

1.Z=2"（"=0,1,2……）时，质点的动能最大，且运动

的过程中机械能不变.

///////////////,

J.质点振动的表达式为x=2sin与

【解析】ACDF；弹簧振子的振动周期振子

【解析】BCDEFGHJ；由振动图像可知，振幅为2cm,周

质量越大，振动系统的周期越长，故A正确；同一振动系

7T

期为4s,频率为0.25Hz,故质点振动的表达式为x=2sin]统，振幅越大则机械能越大，而振幅与周期、振子质量及

频率等均无关，振子动能为。时，弹性势能最大，此时的

t,A错误，B正确，J正确；由图像可知，第5s末，质点

弹性势能就是振动系统的机械能，最大弹性势能仅与弹簧

位移最大，此时回复力最大，质点的速度为零，加速度最

的最大伸长量有关，错误；振子质量增大，周期变大，

大，C正确；根据三角函数的周期性规律可知，/=1.5s和B

振子运动的最大位移就是振幅，故振幅不变，C正确；

f=4.5s两时刻质点的位移大小相等，都是也cm,D正确；

若N=T,则在t时刻和《十△%）时刻振子的位移相同，加

9s内质点经过的路程的求法，周期为4s,9s=2x4s+1x4s,

速度也相同，故D正确；反例：从平衡位置再回到平衡位

两个周期质点经过的路程为849个周期质点经历的路程置，经历的时间最少为当弹簧的长度相等，故E错误；

为A,故质点经过的总路程为9A=18cm故E正确；要衡位置对称的两个位置，振子的动能相等，弹簧的

减小时，振幅减小，回复力减小，加速度减小，F正确；A随B一起做简谐运动，A也会到到

势能减小，质点的速度增大，F正确；根据简港振动的）复力的,A的回复力即是B对A的摩擦力，故A受

动特点可知，G正确，H正确；根据机械能《亘，动能的摩擦力时间变化与弹簧振子的运动周期相同，G正

大时，势能最小，即弹簧恢复原长，t=2n（n=

质点位移为0,速度最大，即动能最大..单摆的总结

2.弹簧振子的考法总结笔记

笔记力,周期的大小与摆线长度

的周期：7=2:

①弹簧振子运动特性满足简谐振动的运动隼

4

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和重力加速度大小有关.

图像的表达式：x=/6sinC++，)=/8cos，

考法总结：

乙图：①平行纸面摆动时，单摆的有效摆长为/.

①改变摆球的质量、对摆球施加外力（电磁力），分

析外界因素对单摆的周期影响；根据周期公式可知周期：7=2

77

②改变摆线的长度，分析单摆的周期与振幅的变振幅：A=/9（。为摆角）；初相：^>o=2

化规律；

定义：平衡点指向初始位置的方向为正方向，则振动

③改变摆线的长度，根据单摆前后周期大小，分图像的表达式：x=/61sin（-^y^/+^）=l0cosyJ^t

析摆线改变的长度.

【原型题】如图所示，小球的质量为m,不考虑空气②垂直纸面摆动时，单摆的有效摆长为（/+7）

根据周期公式可知周期：T=2R^

阻力，甲图：为一单摆悬于。点，摆长为/,将小球拉

至侧面，摆线与竖直方向的夹角为仇。小于等于5。，IT

振幅：A=/e（e为摆角）；初相：（po=2

静止释放，重力加速度为g;

定义：平衡点指向初始位置的方向为正方向，则振动

乙图：在甲图的基础上，绳端通过两节短绳与天

图像的表达式：x=IBsincJ卷叶号=/8cos、备t

花板连接，分别分析小球平行纸面摆动与垂直纸面摆

动的情况；丙图：小球在运动的过程中受到洛伦兹力，且洛伦兹

丙图：在甲图的基础上，使小球带+q的电荷量，力与绳力方向共线，洛伦兹力、绳力和重力沿绳方向的分

力的合力为0,且与回复力垂直，不影响回复力的大小，

并加上垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B,

因此磁场并不影响小球在重力的作用力下做简谐振动。

小球运动的过程中，摆线始终受力；

小球的振动与甲图中的振动完全相同.

丁图：在甲图的基础上，使小球带+q的电荷量，丁图：小球受到恒定的竖直向下的电场力作用，利用

并加上竖直向下的匀强电场，电场强度为E;等效重力场的思想进行解题，等效重力Ga=/ng+qE,等

戊图：在甲图的基础上，若在。点的正下方的0,效重力加速度为8例=售詈.

点钉一个光滑钉子，使0（7=%,摆线与绳接触无能量

根据周期公式可知周期：T=2K\P~

\lg等效

损失.

振幅：A=/e（。为摆角）；初相：（po=2

分析五种状态下小球的振动周期与振动图像的表

达式.定义：平衡点指向初始位置的方向为正方向，则振动

-JI

图像的表达式：x=/9sin（t-\-2)=l3cos(0

戊图：分情况进行讨论

情况一：从初始位置到最低点，由图可知，单摆的有

效摆长为I.

根据周期公式可知周期：。=2

丙

jr

振幅：Ai=/e（e为摆角）；初相：<p0=2

定义：平衡点指向初始位置的方向为正方向，则振动

兀

9像的表达式：x=/9sin（/4-2)—/<9cos(

二：从最低点到左侧最高点，如下图所示，摆动

T戊做左侧最南点时，摆角为夕，由图可知，单摆的有效摆长

【解析】甲图：由图可知，单摆的有效摆长;

根据周期公式可知周期：T=2

7T

振幅：（。为摆角）；初相：90=2

5

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4.受迫振动与共振的考法

笔记

受迫振动的周期或频率：T=T至、f=于单

受迫振动的振幅：

①当驱动力的频率/偏离固定驱动力的频率%较

大时，受迫振动的振动A较小；

根据周期公式可知周期：乃=、/亍

②当驱动力的频率/等于固定驱动力的频率弁时,

振动幅度的推算：

受迫振动的振动A最大.

根据机械能守恒可知：mg1（1—cos。）二根g（l—cos£）

【原型题】如图所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆,

化简得：4cos。一cos£=3其中A、B的摆长相等.当A摆振动的时候，通过张紧

再利用公式：cosa=l—2sin2sina=a（a很小时）的绳子给B、C、。摆施加驱动力，使其余各摆做受迫

代入化简得：片28振动.观察8、C、。摆的振动发现（）

故振动幅度：Az=l巧.2吟19片

定义：平衡点指向初始位置的方向为正方向，则振动

图像的表达式：x=/9sin（d^f+刍=2/6cos（d^r）

【原型题】将一单摆向左拉至水平标志线上，从静止

释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到障碍物，摆A.C摆的频率最小

球继续向右摆动.用频闪照相机拍到如图所示的单摆运B.D摆的周期最大

动过程的频闪照片，以下说法正确的是（）C.B摆的摆角最大

D.B、C、。的摆角相同

【解析】C；由A摆摆动从而带动其他3个单摆做受迫振

动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，故其他各摆振动

周期跟A摆相同，频率也相等，故A、B错误；受迫振动

中，当固有频率等于驱动力频率时，出现共振现象，振幅

达到最大，由于8摆的固有频率与A摆的频率相同，故B

摆发生共振，振幅最大，故C正确，D错误.

A.这个实验说明了动能和势能可以相互转化，转

化过程中机械能守恒

B.摆线碰到障碍物前后的摆长之比为9：4

C.摆线经过最低点时，线速度不变,半径减小,

摆线张力变大

D.摆线经过最低点时，角速度变大,半径减小,

摆线张力不变

【解析】ABC；小球的细线即使碰到障碍物,细线的拉力

不做功，只有重力做功，所以其仍能回到原来的高度，机

械能守恒，选项A正确.频闪照片拍摄的时间间隔二塞

题图可知，摆线与障碍物碰撞前后的周期之比为苗2,

彳得,摆长之比为隔：故

据单摆的周期公式7=2;4,

正确.摆线经过最低点时，线速度不变，半径变小，根

声

一相g=m7知，张力变大.根据v=cor,知角，增大,t

C正确，D错误.

6

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题型笔记17.2实验:用单摆测定重力加速度

笔记(6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的

1.实验原理重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当

当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T地的重力加速度值.

(7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值

=2:3它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此

相比较，分析产生误差的可能原因.

4兀2/

得到义=笔.因此，只要测出摆长/和振动周期T,就4.注意事项

(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小,

可以求出当地的重力加速度g的值.

选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5。.

2.实验器材

(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥

带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不

摆,方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放.

易伸长的细线(约1m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺.

(3)测周期的方法：

3.实验步骤

①要从摆球过平衡位置时开始计时.因为此处速度

(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一

大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大.

个比小孔大一些的线结，做成单摆.

②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过

(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架

平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表,

台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然

以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.

下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示.

(4)本实验可以采用图象法来处理数据.即用纵轴

表示摆长I,用横轴表示将实验所得数据在坐标平

面上标出，应该得到一条倾斜直线,直线的斜率左=券.

铁架台摆线

这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要

方法.

5.数据处理

。摆球

标记处理数据有两种方法：

公式法：测出次或次全振动的时间t,利

(3)用毫米刻度尺量出摆线长度八用游标卡尺测(1)3050

出摆球的直径，即得出金属小球半径r,计算出摆用7=方求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出

长l=l'+r.47r2/

三次测得的周期的平均值，然后利用公式8=紫求重

(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不

超过5。)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆力加速度.

动平稳后测出单摆完成30〜50次全振动所用的时间包图象法：由单摆周期公式不难推出：/=看。，

计算出金属小球完成一次全振动所用时间，胡南

匚川因此，分别测出一系列摆长/对应的周期作/一/

t/7T,

就是单摆的振动周期，即T=京N为全振利勺次数:小E

应是一条通过原点的直线，如图所示,

黑,即可利用g=4n2左求重力加

反复测3次，再算出周期的平均值T='锢线的姆率k=

'31履度.

(5)根据单摆周期公式T=2'当地的重

g

4兀2/物

力加速度8=景.

7

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6.误差分析【解析】(1)AC(2)12.00.9930(3)A

(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不(1)橡皮的作用是使摆线摆动过程中悬点位置不变，从而保

符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的证摆长不变，同时又便于调节摆长，A、C正确；(2)根据

游标卡尺读数规则可得摆球直径为d=U

振动等.mm+0.1mmxO

=12.0mm,则单摆摆长为£o=L—^=0.9930m(注意统一

(2)偶然误差主要来自时间的测量，因此，要从摆

球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计全振动单位)；(3)单摆摆角不超过5。，且计时位置应从最低点(即

次数.速度最大位置)开始，故A项的操作符合要求.

【原型题】某同学用单摆测当地的重力加速度.他测出

【原型题】某同学用实验的方法探究影响单摆周期的

因素.了摆线长度L和摆动周期T,如图(a)所示.通过改变悬

线长度3测出对应的摆动周期T,获得多组7与L

(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有