《高中数学选择性必修三》考点训练与答案解析

《高中数学选择性必修三》考点专题训练

《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》考点训练

【题组一分类加法计数原理】

1.某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有（）

A.32种B.9种C.12种D.20种

2.从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙

地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（）

A.8B.6C.5D.2

3.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选

一本阅读，则不同的选法共有（）

A.24种B.9种C.3种D.26种

4.现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演

讲比赛，有多少种不同的选法（）

A.60B.45C.301）.12

5.若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定

义为“单重数”.例如：232,114等，则不超过200的''单重数”中，从小到大排列第22

个“单重数”是（）

A.166B.171C.181D.188

6.某玩具厂参加2021年邯郸园博园产品展出，带了四款不同类型不同价格的玩具牛，它们

的价格费你别是20,30,50,100,某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会，准备

买若干款不同类型的玩具样品（每款只购一只，且必须至少买一款），因信用卡出现故障，

身上现金只剩170元，请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有一种（用数字表示）.

7.某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选

一本阅读，则不同的选法共有一种

【题组二分步乘法计数原理】

1.某演讲比赛候选人中高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名，从每个年级中各选

1人参加市团委组织的演讲比赛，则不同的选法有（）

A.60种B.45种C.30种D.12种

2.将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有

()

A.12种B.9种C.8种D.6种

3.从A地到B地要经过C地,已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从

A地到B地不同的走法种数是()

A.7B.9C.12D.16

4.有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报

名方法共有（）

A.36B.63C.闻D.C：

5.现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同

一种颜色，则不同的着色方法共有（)

B.180种C.240种D.120种

6.已知某体育场有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为

7.一电路图如图所示，从A到B共有条不同的线路可通电.

8.现有6名选手参加才艺比赛，其中男、女选手各3名，且3名男选手分别表演歌唱、舞

蹈和魔术，3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，若要求相邻出场的选手性别不同且表

演的节目不同，则不同的出场方式的种数为（）

A.6B.12C.18D.24

【题组三两个计数原理综合运用】

1.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一

种颜色，共有种不同着色方法

I

答

2.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.已知顾客甲只会

用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用

哪种结账方式都可以.若甲乙丙丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合种数共

种.

3.已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现

金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方

式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有种

4.现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂

同一种颜色，则不同的涂色方案有种.

5.假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付

贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有种不同的支付方式.

6.己知六个函数:①y=5；②y=cosx；③）=，：④,=sinx；⑤y=lg（三：）；⑥

y=x+l,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有种.

7.有一项活动，需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.

（1）若只需选1人参加，则有多少种不同的选法？

（2）若需要老师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？

（3）若需要1名老师、1名学生参加，则有多少种不同的选法？

答案解析

【题组一分类加法计数原理】

1.某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有（)

A.32种B.9种C.12利।D.20种

【答案】C

【解析】从8名男生4名女生选取一名当组长，是男生的选法有8种，是女生选法的有4

种，共有12种.

故选：C.

2.从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙

地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（）

A.8B.6C.5D.2

【答案】A

【解析】由题意分两种情况讨论：一是从甲地经过乙地到丙地，

因为从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，

所以从甲地到内地的走法有3x2=6种，

二是从甲地不经过乙地到丙地，

因为从甲地不经过乙地到丙地有2条

所以从甲地到丙地的走法有2种，

故从甲地到丙地的走法共有6+2=8种，

故选:A

3.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选

一本阅读，则不同的选法共有（）

A.24种B.9种C.3种D.26种

【答案】B

【解析】某同学从4本不同的科普杂志任选1本，有4种不同选法，

从3本不同的文摘杂志任选1本，有3种不同的选法，

从2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本，有2种不同的选法，

根据分类加法原理可得，该同学不同的选法有：4+3+2=9种.

故选：B.

4.现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演

讲比赛，有多少种不同的选法（）

A.60B.45C.30D.12

【答案】D

【解析】因为三个年级共有12名学生，由分类加法计数原理可得：

从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，共有12种不同的选法.

故选：D.

5.若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定

义为“单重数”.例如：232,114等,则不超过200的“单重数”中,从小到大排列第22

个“单重数”是（）

A.166B.171C.181D.188

【答案】B

【解析】由题意可得：不超过200的数，

两个数字一样同为0时，有100,200有2个，

两个数字一样同为1时，有110,101,112,121,113,131,一直到191,119,共18

个，

两个数字一样同为2时，有122,有1个

同理，两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时各1个，

综上,不超过200的“单重数”共有2+18+8=28,

其中最大的是200,较小的依次为199,191,188,181,177,171,

故第22个“单重数”为171,

故选：B.

6.某玩具厂参加2021年邯郸园博园产品展出，带了四款不同类型不同价格的玩具牛，它们

的价格费你别是20,30,50,100,某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会，准备

买若干款不同类型的玩具样品（每款只购一只，且必须至少买一款），因信用卡出现故障，

身上现金只剩170元，请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有一种（用数字表示）.

【答案】13

【解析】依题意，每款只购一只，且必须至少买一款，且消费金额不能超过170元，

故可分为以下几种情况：

①只购买一款玩具样品，共四种方案

②购买两款玩具样品，

买20和30的各一只；买20和50的各一只；买20和100的各一只；买30和50的各一

只；买30和100的各一只；买50和100的各一只；共六种方案；

③购买三款玩具样品

买20,30和50的各一只；买20,30和100的各一只；买20、50和100的各一只；

共3种方案；

所以购买玩具的方案共有13种；

故答案为：13

7.某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选

一本阅读，则不同的选法共有种

【答案】9

【解析】根据题意，选取的杂志可分三类：科普，文摘，娱乐新闻.

共4+3+2=9：种不同选法.故答案为：9.

【题组二分步乘法计数原理】

1.某演讲比赛候选人中高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名，从每个年级中各选

1人参加市团委组织的演讲比赛，则不同的选法有（）

A.60种B.45种C.30种D.12种

【答案】A

【解析】由乘法计数原理可得共有5x4x3=60种不同的选法.故选：A.

2.将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有

（）

A.12种B.9种C.8种D.6种

【答案】C

【解析】每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步计数原理可知，不

同的分配方案总数为23=8种.

故选：C

3.从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从

A地到B地不同的走法种数是（）

A.7B.9C.12D.16

【答案】C

【解析】根据题意分两步完成任务：

第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；

第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，

根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：3x4=12种，

故选：C.

4.有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报

名方法共有（）

A.36B.63C.《D.C：

【答案】A

【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，

第一个同学有3种报法，第二个同学有3种报法，

后面的四个同学都有三种报法，

根据分步计数原理知共有36种结果，

故选：A-

5.现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同

一种颜色，则不同的着色方法共有（）

【答案】B

【解析】分步涂色，第一步对A涂色有5种方法，第二步对5涂色有4种方法，第三步对

。涂色有3种方法，第四步对。涂色有3种方法，

，总的方法数为5x4x3x3=180.

故选：B.

6.已知某体育场有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为

【答案】12

【解析】根据题意，某体育场有4个门，从一个门进，有4种走法，

另一个门出，有3种走法，

则有4x3=12种不同的走法.

故答案为：12.

7.一电路图如图所示，从A到3共有条不同的线路可通电.

【答案】8

【解析】根据电路图可知，共有2x2+l+3=8条不同的线路可通电.

故答案为：8

8.现有6名选手参加才艺比赛，其中男、女选手各3名，且3名男选手分别表演歌唱、舞

蹈和魔术，3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，若要求相邻出场的选手性别不同且表

演的节目不同，则不同的出场方式的种数为（）

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】设3名男选手分别为A，4,4，他们分别表演歌唱，舞蹈和魔术,3名女选手分别

为用，82,用，她们分别表演歌唱,舞蹈和魔术，

若第一个出场的是A，则第二个出场的只能是当或四，若第二个出场的是鸟,则接下来的

出场顺序只能是4,8，4,4，

同理，若第二个出场的是4,则接下来的出场顺序只能是4,B,,4,B2,

所以若第一个出场,则不同的出场方式有2种，故不同的出场方式共有2x6=12（种），

故选:B

【题组三两个计数原理综合运用】

1.现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一

【答案】260

【解析】先排I，有5种方法；

然后排U,iv,最后排in：

①当II,IV相同时，方法有4x4种，故方法数有5x4x4=80种.

②当II,IV不同时，方法有4x3x3种，故方法数有5x4x3x3=180种.

综上所述，不同的着色方法数有80+180=260种.

故答案为：260

2.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.已知顾客甲只会

用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用

哪种结账方式都可以.若甲乙丙丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合种数共—

种.

【答案】20

【解析】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方

法，共有3x4=12种方法，

当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有2x4=8

种方法，

综上，共有12+8=20种方法.

故答案为：20.

3.已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现

金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方

式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有种

【答案】20

【解析】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方

法，

共有3x4=12种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4

种方法，共有2x4=8种方法,综上,共有法+8=20种方法.

故选：D

4.现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂

同一种颜色，则不同的涂色方案有种.

【答案】144

【解析】第一步，对区域1进行涂色，有4种颜色可供选择，即有4种不同的涂色方法；

第二步，对区域2进行涂色，区域2与区域1相邻，有3种颜色可供选择，即有3种不同

的涂色方法；

第三步，对区域3进行涂色，区域3与区域1、区域2相邻，有2种颜色可供选择，即有2

种不同的涂色方法；

第四步，对于区域4进行涂色，区域4与区域2、区域3相邻，有2种颜色可供选择，即

有2种不同的涂色方法；

第五步，对区域5进行涂色，若其颜色与区域4相同，则区域6有2种涂色方法，若其颜

色与区域4不同，则区域6只有一1种涂色方法，故区域5,6共有2+1=3种涂色方法，

由分步乘法计数原理知，不同的涂色方案的种数为4x3x2x2x(2+1)=144.

故答案为：144

5.假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付

贰佰壹拾玖(219)元的货款，则有——种不同的支付方式.

【答案】6

【解析】9元的支付有两种情况，5+2+2或者5+2+1+1,

①当9元采用5+2+2方式支付时，

200元的支付方式为2x100,或者1x100+2x50或者1x100+1x50+2x20+10共3种方

式，

10元的支付只能用1张10元，

此时共有1x3x1=3种支付方式：

②当9元采用5+2+1+1方式支付时：

200元的支付方式为2x100,或者1x100+2x50或者1x100+1x50+2x20+10共3种方

式，

10元的支付只能用1张10元,

此时共有lx3xl=3种支付方式；

所以总的支付方式共有3+3=6种.

故答案为：6.

6.己知六个函数:①y=J；(§)y=cosx；(3)^_;t.2=sinx;⑤》=怆(产；］；⑥

y=x+1,从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有种.

【答案】12

［解析】对于①,因为y=5,定义域为(f),O)D(O,y)且满足/(-%)=/(%),故为偶

函数；

对于②,因为y=COSX,定义域为R且满足/(—X)=f(x),故为偶函数；

对于③,因为y=%，定义域为［°，”)，故非奇非偶函数；

对于④,因为y=.x，定义域为［T』且满足/(一力=一/(力，故为奇函数；

对于⑤,因为y=1g，定义域为(T，l)且满足/(f)=-/(-X),故为奇函数；

对于⑥,因为y=x+i,根据函数图象可知为非奇非偶函数.

综上所述，函数中奇函数的有④⑤，偶函数的有①②，③⑥为非奇非偶函数.

任选3个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论：

当选1奇和2偶时，2x1种；

当选2奇和1偶时，1x2种；

当选1奇，1偶，1非奇非偶时，2x2x2=8种.

二一共有12种选法.

故答案为：12.

7.有一项活动，需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.

(1)若只需选1人参加，则有多少种不同的选法？

(2)若需要老师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？

(3)若需要1名老师、1名学生参加，则有多少种不同的选法？

【答案】(1)16；(2)120；(3)39.

【解析】(1)需一人参加，有三类：第一类选老师，有3种不同的选法；第二类选男生，

有8种不同的选法；第三类选女生，有5种不同的选法.共有3+8+5=16种不同的选

法；

（2）需老师、男同学、女同学各一人，则分3步，第一步选老师，有3种不同的选法；第

二步选男生，有8种不同的选法；第三步选女生，有5种不同的选法.共有3x8x5=120

种不同的选法；

（3）第一步选老师有3种不同的选法，第二步选学生有8+5=13种不同的选法，共有

3x13=39种不同的选法.

《6.2.1排列及排列数》考点训练

【题组一排列数】

1.已知看=132,则〃=()

A.11B.12C.13D.14

2.设mGN*,且m<25,则(20-m)(21-m)…(26-m)等于()

B.C.Ao-m

3.（多选）由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字组成无重复数字的五位数，其

中偶数的个数是（)

A.A；+A：•心6B.蜀+A：（段一国）

c.Ao-A；+D.绘-局-制）

4.下列等式中，错误的是（)

加

A.(〃+l)A；=端B.———=(n-2)!

n(n-l)

Afft1

D.-----

c<吟n-m

5.若4=2&,则机的值为（）

A.5B.6C.7D.8

6.设aeN"，a<28,则等式（28-。）（29—。）…（35-。）=留_“中〃?=.

7.已知4；=7A,；4，那么〃=.

8.已知A：=1lxl()x9x…x5,则〃加为.

9.己知则0!+看=133,贝ij〃=；计算=.

12.(1)解不等式A；＜6A＞；

(2)解方程A&=140A：.

【题组二排队问题】

1.5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为()

1234

A.-B.-C.-D.一

5555

2.5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有

()

A.12种B.10种C.15种D.9种

3.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女

生相邻，则不同的站法共有()

A.72种B.108种C.36种D.144种

4.某记者要去武汉4个学校采访，则不同的采访顺序有()

A.4种B.12种C.18种D.24种

5.某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督

导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有()

A.320种B.360种C.370种D.390种

6.6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男

生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有()种排法.

A.24B.120C.240D.140

7.某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须

排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有

()

A.120种B.156种C.188种D.240种

8.3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为()

A.2B.9C.72D.36

9.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且

3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有种不同的招聘方案.(用数字

作答)

10.某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在

前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有

种.(用数字作答)

11.已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：

(1)两名教师必须排中间，有多少种排法？

(2)两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？

12.5个男同学和4个女同学站成一排

(1)4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？

(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

(3)其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？

(4)男生和女生相间排列方法有多少种？

13.一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单.

(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？

(2)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？

(3)前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？

(要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示)

14.3男3女共6个同学排成一行.

(1)女生都排在一起，有多少种排法？

(2)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？

(3)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有多

少种排法？

【题组三数字问题】

1.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3不相邻的六位数的个数是()

A.36B.72C.600D.480

2.用1,2,3,4,5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数

有.

3.由0,1,2,3组成的没有重复数字的四位数有个；

4.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且13都不与5相邻的六位偶数的个数是

5.用数字L2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为一.

6.用0,1,2,3这4个数字组成是偶数的四位数，这样的数共有个.

7.把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一

个数列.

(1)45312是这个数列的第几项？

(2)这个数列的第71项是多少？

(3)求这个数列的各项和.

8.用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数.

(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这

个数为“凹数”，如3()1、423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数.

答案解析

【题组一排列数】

1.己知方=132,则”=()

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【解析1A；=132,1)=132,整理，得，“—132=0：

解得〃=12,或〃=一11(不合题意，舍去)：〃的值为12.

故选:B.

2.设mWN*,且m<25,则(20-m)(21-m)…(26-m)等于()

A.^26-mB.C；6-mC.D.A1,“

【答案】A

3.（多选）由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字组成无重复数字的五位数，其

中偶数的个数是（）

A.弱+A>4.置B.4：+"（4一4!）

C.A；）-A：+A；（蜀-4）D.端-蜀-砥尺〜尺）

【答案】ABD

【解析】对于A,如果个位是0,则有用个无重复数字的偶数；如果个位不是0,则有

可•制个无重复数字的偶数，所以共有4+个无重复数字的偶数，故A正

确；

对于B,由于4•阀=蜀一看，所以用+A：-4-4=^+A；（用一覆），故B正确；

对于C,由于端-蜀*父，所以阀+A：（阀一段）工簿-阖+A：（阀-8）,故C错

误；

对于D,由于品-蜀-醺禺-履）=414=寸+心心石，故D正确.

故选：ABD.

4.下列等式中，错误的是（）

A.5+l）A：=a：；B.——-=（H-2）!

n(n-l)

D.」一然向=然

n-m

【答案】C

【解析】通过计算得到选项A,B,D的左右两边都是相等的.对于选项C,C：=2一所以选

m\

项C是错误的.故答案为C.

5.若£=24，则〃?的值为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】由£=2反，Mm(m-1)(/«-2)(m-3)(/M-4)=2m{m-l)(m-2),且加25

所以(加一3)(加-4)=2即m2-7m+10=(),,加=5或〃？=2(加之5舍去).

故选：A

6.设aGN*,a<28,则等式(28—a)(29—a)…(35—。)=缎_"中"?=_.

【答案】8

【解析】=(35-a)(34—a)(33-a)…(36—a—m),.,.28—a=36—a—机，解

得：m=S.

故答案为：8.

7.已知A；=74、4,那么〃=.

【答案】7

【解析】•••A；=7A：_4，—l)=7x(“—4)(〃—5),n>5,

化为：(3“-10)(〃-7)=0,解得〃=7,故答案为：7.

8.已知A："=llxl()x9x…x5,则，7?〃为.

【答案】77

l^tff]=nx(n-l)x(n-2)...x(n-m+l)=llxl0x9...,x5,."=11,

几一m+l=5,：.m=79

则〃〃2=77.故答案为：77.

9.已知则0!+A：=133,贝ij〃=；计算阕;3+志=.

【答案】12726

【解析】(1)0!+记=1+〃(〃-1)=133,(〃22),即

n2-n-132=(n-12)(/?+11)=0,所以〃=12；

«+3<2/1[/:>3

⑵由题可知，<-=><=>〃=3,

n<3[n<3

所以砥3+&"+用=6x5x4x3x2x1+3x2x1=726

故答案为：(1).12(2).726

12.(1)解不等式A；<6A:2；

(2)解方程A&=140A>

【答案】⑴8⑵3

,8!<8!

【解析】⑴由Ak6A>,得而F<6X永f，

化简得--19乂+84〈0,解之得7a<12,①

又’；.2<xW8,②

X-2>0.

由①②及x£N*得x=8.

[2x+l>4,

(2)因为《所以x23,xeN：

x>3,

由A々+l=14()A：得(2x+l)2x(2x—D(2x—2)=140x(x—l)(x—2)•

23

化简得，4X2-35X+69=0,解得出=3,工2=一(舍去).

4

所以方程的解为x=3.

【题组二排队问题】

1.5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为()

1234

A.—B.-C.—D.一

5555

【答案】C

【解析】将5人随机排成一列，共有6=120种排列方法；

当甲、乙不相邻时，先将5人中除甲、乙之外的3人排成一列，然后将甲、乙插入,

故共有=6x12=72种排列方法，

723

则5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为尸=百=m.

故选：C.

2.5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有

（）

A.12种B.10种C.15种D.9种

【答案】A

【解析】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法可得：

=2x1x3x2x1=12.

故选：A

3.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女

生相邻，则不同的站法共有（）

A.72种B.108种C.36种D.144种

【答案】D

【解析】：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有&种方法，

再与另一个男生排列，则有8种方法，

三名女生任选两名“捆绑”，有A；种方法，

再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有种方法，

利用分步乘法原理，共有&&A；A；=144种.

故选：D.

4.某记者要去武汉4个学校采访，则不同的采访顺序有（）

A.4种B.12种C.18种D.24种

【答案】D

【解析】由题意可得不同的采访顺序有用=24种，故选：D.

5.某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督

导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有（）

A.320种B.360种C.370种D.390种

【答案】B

【解析】由题意分步进行安排：

第一步：从6名优秀干部中任选4人，并排序到周一至周四这四天，有4种排法；

第二步：剩余两名干部排在周五，只有1种排法.

故不同的安排方法共有4Xl=6x5x4x3=360种.

故选：B.

6.6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男

生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（）种排法.

A.24B.120C.240D.140

【答案】C

【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有

父=120种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有£•6=120x2=240排法，故

选：C.

7.某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须

排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有

（）

A.120种B.156种C.188种D.240种

【答案】A

【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，

将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为离父=2x120=240,

利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，

因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有，=120种，故选A.

2

8.3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（）

A.2B.9C.72D.36

【答案】C

【解析】根据题意男生一起有阀=6排法，女生一起有8=6排法，一共有2&A；=72

种排法，

故选：C..

9.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且

3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有种不同的招聘方案.（用数字

作答）

【答案】60

【解析】将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业

生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有8

=5X4X3=60(种).

10.某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在

前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有

种.(用数字作答)

【答案】42

【解析】由题意知，甲的位置影响乙的排列，

...①甲排在第一位共有4=24种，

②甲排在第二位共有4阕=18种，

，故编排方案共有24+18=42种.

故答案为：42.

11.已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：

(1)两名教师必须排中间，有多少种排法？

(2)两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？

【答案】(1)48种；(2)144种.

【解析】解：(1)先排教师有用种方法，再排学生有A：种方法，

则用=2x24=48,

答：两名教师必须排中间，共有48种排法.

(2)3x魅-<=6x24=144,

答：两名教师必须相邻且不能排在两端，共有144种排法.

12.5个男同学和4个女同学站成一排

(1)4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？

(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

(3)其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？

(4)男生和女生相间排列方法有多少种？

【答案】(1)17280；(2)43200；(3)3024(X)；(4)2880.

【解析】（1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，

可得排法为反4：=1728（）；

（2）先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：

64=43200：

（3）根据题意可得排法为：。加&6=302400；

（4）5个男生中间有4个空，插入女生即可，

故有排法&A：=2880.

13.一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单.

（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？

（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？

（3）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？

（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）

【答案】（1）48；（2）36；（3）108.

【解析】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法

4：A；=48；

（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为A；A；=36；

（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有£-国#=120-12=108.

14.3男3女共6个同学排成一行.

（1）女生都排在一起，有多少种排法？

（2）任何两个男生都不相邻，有多少种排法？

（3）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有多

少种排法？

【答案】（1）144；（2）144；（3）24

【解析】（1）将3名女生看成一个整体，就是4个元素的全排列，有种排法，

又3名女生内部有用种排法，所以共有A>A；=144种排法.

（2）女生先排，女生之间以及首尾共有4个空隙，

任取其中3个安插男生即可，

所以任何两个男生都不相邻的排法共有A；.A：=144种排法.

(3)先选2个女生排在男生甲、乙之间，有用种排法，

又甲、乙有8种排法，这样就有A；•用种排法，

然后把他们4人看成一个整体(相当于一个男生)，

这一元素以及另1名男生排在首尾，有用种排法，

最后将余下的女生排在中间，有1种排法，

故总排法为用••g=24种排法，

【题组三数字问题】

1.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3不相邻的六位数的个数是()

A.36B.72C.600D.480

【答案】D

【解析】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到=480个.故选：D.

2.用1,2,3,4,5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数

有•

【答案】72

【解析】用1,2,3,4,5组成一个没有重复数字的五位数，共有8=12()个；

三个奇数中仅有两个相邻；其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻；

当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与2和4全排列共有看义=36个；

三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内共有&x阀=12个；

故符合条件的有120-12-36=72：

故答案为：72.

3.由0,1,2,3组成的没有重复数字的四位数有个；

【答案】18；

【解析】因为第一个数字不能为0,所以先排第一个数字，再把剩下的三个数字排列，则

一共有A；父=3x6=18种排法.故答案为：18.

4.由1、23、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

【答案】108

【解析】先确定个位数为偶数，有3种方法，再讨论：若5在首位或十位，则1,3有三个

位置可选，其排列数为3xA；x可；若5在百位、千位或万位，则1,3有两个位置可选，

其排列数为3xA；x8；从而所求排列数为3xA；x否x2+3x&x&x3=108.

5.用数字L2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为—.

【答案】72

【解析】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1,3,5中的一个数，共有3种排

法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有用=24

种排法，

由分步乘法计数原理得，由L2,3,4,5组成的无重复数字的五位数中奇数有3x24=72个.

故答案为：72.

6.用0,1,2,3这4个数字组成是偶数的四位数，这样的数共有个.

【答案】10

【解析】解：个位是0,有A；=6个；个位不是0,有28=4个，故共有6+4=10

个.故答案为：10.

7.把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一

个数列.

（1）45312是这个数列的第几项?

（2）这个数列的第71项是多少？

（3）求这个数列的各项和.

【答案】（1）第95项；（2）第71项是3开头的五位数中第二大的数；（3）3999960.

【解析】（1）先考虑大于45312的数，分为以下两类：

第一类5开头的五位数有：A：=24

第二类4开头的五位数有：45321一个

不大于45312的数有：6-禺一1=120-24-1=95（个）

即45312是该数列中第95项.

(2)1开头的五位数有：4=24

2开头的五位数有：4=24

3开头的五位数有：4=24

共有24x3=72(个).

所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.

(3)因为1,2,3,4,5各在万位上时都有量=24个五位数，

所以万位数上的数字之和为(1+2+3+4+5)"O'

同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有禺=24个五位数，

所以这个数列的各项和为(1+2+3+4+5＞段-(104+1()3+U+i(y+io。)

=15x24x11111=3999960.

8.用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数.

(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这

个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数