专题24立体几何初步中的动点动直线问题-2020-2021学年高一数学下学期期末考试压轴题专练（2019尖子生专用）

专题24立体几何初步中的动点动直线问题（时间：90分钟总分：120）班级姓名得分解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。一、解答题如图，在四棱锥S−ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC

(1)求证：AC⊥平面SBD(2)若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P【答案】(1)证明：先用同一法证S在底面ABCD的射影是O，

作SO′⊥ABCD，垂足为O′，

由于SA=SB=SC=SD，

所以O′A=O′B=O′C=O′D，又底面为菱形，所以Oˈ与O重合，

所以SO⊥ABCD，

所以平面SBD⊥ABCD，交线是BD，又AC⊥BD，

所以AC⊥SBD；

(2)解：设F、G分别是CD和SC的中点，则P的轨迹是线段FG，

证明：连EF、FG、EG，由于EF//BD，EG//SB，

所以面EFG//SBD，又由(1)AC⊥SBD，

所以AC⊥EFG，取FG上任何一点P都有AC⊥PE，

故P的轨迹是线段FG．【知识点】线面垂直的判定、面面垂直的性质、面面平行的性质、面面垂直的判定、面面平行的判定、线面垂直的性质【解析】略

在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD，将ΔABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，点M为AD上动点，连结BM，CM，如图．(1)求证：BM⊥CD；(2)若AM=2MD，求点B到平面MCD的距离．【答案】证明：(1)∵平面f(x)−∞,−lna平面−lna,+∞，平面f(x)⋂平面BCD=BD且CD⊂平面−lna,+∞，CD⊥BD，

∴CD⊥平面f(x)，

又∵BM⊂平面f(x)，

∴BM⊥CD；

(2)设点−∞,+∞到平面f(0)=0,的距离为h，由于VB−MCD=VM−BCD，

所以1【知识点】线面垂直的判定、面面垂直的性质、空间中直线与直线的位置关系、空间中的距离、线面垂直的性质【解析】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的性质，直线与直线的位置关系，点到面的距离等，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题．

(1)由平面f(x)−∞,−lna平面−lna,+∞，推出平面f(x)，从而利用线面垂直的性质，可证BM⊥CD；

(2)设点−∞,+∞到平面f(0)=0,的距离为h，由等体积法，可得1三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB=AA1=A1B=4，BC=2，AC=23，点F为棱AB的中点，点E为线段A1C1上的动点．【答案】(1)证明：因为AB=AA1=A1B,F为AB中点，所以A1F⊥AB，

因为平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，A1F⊂平面AA1B1B，

所以A1F⊥平面ABC，

而BC⊂平面ABC，故A1F⊥BC，

又因为BC2+AC2=AB2，所以BC⊥AC，

又∵在三棱柱ABC−A1B1C1中，，

又A1F∩A1E=A1，A1F,A1E⊂面A1EF，

故BC⊥面A1EF，

又EF⊂面A1EF，

所以BC⊥EF；

(2)解：【知识点】线面垂直的判定、面面垂直的性质、棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积、空间中的距离、线面垂直的性质【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，点到平面的距离，棱锥的体积，考查了学生的空间想象能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．

(1)根据题意，可得BC⊥面A1EF，即可得证；

(2)根据题意，利用V如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PB=2，AB=AC=2，AB⊥AC，平面PAB⊥平面ABC，点D在线段BC上，且CD=3BD，F是线段AB的中点，点E是PD上的动点．

(1)证明：BC⊥EF．

(2)当EF//平面PAC时，求三棱锥C−DEF的体积．【答案】(1)证明：连接PF，

因为PA=PB，F为AB的中点，

所以PF⊥AB．

又平面PAB⊥平面ABC，

平面PAB∩平面ABC=AB，PF⊂平面PAB，

所以PF⊥平面ABC，

因为BC⊂平面ABC，所以PF⊥BC．

设BC的中点为H，连接AH，EH，

因为BD=14BC，DF是▵ABH的中位线，

所以DF//AH，

因为AB=AC，点H为BC中点，

所以AH⊥BC，所以DF⊥BC．

因为PF⊂平面PDF，DF⊂平面PDF，PF∩DF=F，

所以BC⊥平面PDF，

因为EF⊂平面PDF，

所以BC⊥EF．

(2)解：设点E到平面ABC的距离为h，

由(1)知EH//PC，DEDP=DHDC=13，

所以ℎPF=13【知识点】线面垂直的判定、棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积、线面垂直的性质、线面平行的性质【解析】本题考查线线垂直的证明和三棱锥体积的求法，属于中档题．

(1)首先作辅助线，然后证明BC⊥平面PDF，然后通过线面垂直性质定理即可证明线线垂直；

(2)首先求出三棱锥的高，然后根据S▵CDF=在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B−AO−C是直二面角．动点D的斜边AB上．(1)求证：平面COD⊥平面AOB；(2)求直线CD与平面AOB所成角的正弦的最大值．【答案】(1)证明：由已知CO⊥AO，BO⊥AO，

∴∠BOC是二面角B−AO−C的平面角，

∴∠BOC=π2，

∴OC⊥OB．

∵OA∩OB=O，OA⊂平面AOB，OB⊂平面AOB，

∴OC⊥平面AOB，

∵OC⊂平面COD，

∴平面COD⊥平面AOB；

(2)解：在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB=4，

∴OB=12AB=2且∠OBA=π3．

由(1)知，OC⊥平面AOB，

所以直线CD与平面AOB所成的角为∠ODC．

在Rt△OCD中，∠COD=π2，OC=OB=2，CD=OD2+OC2=OD2+4，

∴sin【知识点】线面垂直的判定、二面角、面面垂直的判定、直线与平面所成角【解析】本题考查平面与平面垂直的判定，同时也考查了直线与平面所成角的计算，解题时要充分利用题中垂直关系构造直线与平面所成的角，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题．

(1)由题意得出平面AOC⊥平面AOB，由旋转的性质得出OC⊥AO，由平面与平面垂直的性质定理得出OC⊥平面AOB，再利用平面与平面垂直的判定定理得出平面COD⊥平面AOB；

(2)计算出OB，由(1)可知，OC⊥平面AOB，于是得出直线CD与平面AOB所成的角为∠ODC，可得出sin∠ODC=OCCD=OCOC2+OD如图，已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60∘，E，F分别是BC，PC(Ⅰ)证明：AE⊥PD;(Ⅱ)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角E—AF—C的余弦值．【答案】【解答】

(1)证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又BC//AD，因此AE⊥AD，

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．

而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，

所以AE⊥PD．

(2)解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH．

由(Ⅰ)知AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．

在Rt△EAH中，AE=3，

所以当AH最短时，∠EHA最大，

即当AH⊥PD时，∠EHA最大．

此时tan∠EHA=AEAH=3AH=62，

因此AH=2，又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以PA=2．

因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABCD．

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E−AF−C的平面角，

在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=32，AO=AE·cos30°=32，

【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、面面垂直的性质、面面垂直的判定、线面垂直的性质【解析】【分析】

本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面垂直的判定与性质，考查求二面角，求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．

(1)要证明AE⊥PD，需证明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，再证明AE⊥AD即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明AE⊥BC，由已知易不难得到结论；

(2)由EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，分析后可得PA的值，由(Ⅰ)的结论，我们进而可以证明平面PAC⊥平面ABCD，则过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E−AF−C的平面角，然后解三角形ASO，即可求出二面角E−AF−C的余弦值．如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，其中点C、D都在以AB为直径的圆上，SD=3，SC=7，AB=2AD=4，平面SCD⊥平面ABCD(1)证明：SD⊥平面ABCD．(2)设点P是线段SB(不含端点)上一动点，当三棱锥P−SAC的体积为1时，求异面直线AD与CP所成角的余弦值．【答案】(1)证明：连接AC，BD，因为点D在以AB为直径的圆上，所以∠ADB=90°，

因为AB=2AD=4，所以∠ABD=30°，∠DAB=60°，

所以，

因为ABCD为等腰梯形，AB//CD，

所以，

又因为SD=3，SC=7，

所以SD2+CD2=SC2，从而得SD⊥CD，

又因为平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，

所以SD⊥平面ABCD；

(2)解：由(1)得VS−ABC=13S△ABC⋅SD=13⋅12⋅AC⋅BC⋅SD=2，

设BP=λBS(0<λ<1)，则VP−ABC=13S△ABC⋅λSD=2λ，

所以VP−SAC=VS−ABC−VP−ABC=2−2λ=1，解得λ=12，

即点P是线段SB的中点．

取AB的中点为M，连接CM，则由(1)及条件得AM//CD，且AM=CD=2，所以四边形AMCD为平行四边形，

从而CM//AD，且CM=AD=2，所以∠PCM为异面直线【知识点】线面垂直的判定、面面垂直的性质、棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积、异面直线所成角、余弦定理【解析】本题主要考查线面垂直，棱锥的体积公式，异面直线所成角，属于较难题．

(1)由题意根据面面垂直的性质得到线面垂直，即可；

(2)由(1)和体积公式，再根据余弦定理即可．

如图，将斜边长为42的等腰直角▵ABC沿斜边BC上的高AD折成直二面角B−AD−C，E为AD中点．

(1)求二面角A−BC−E的余弦值；(2)M为线段BC上一动点，当直线DM与平面BCE所成的角最大时，求三棱锥M−CDE外接球的体积．【答案】解：(1)设F为BC中点，连结EF，AF，

∵△ABC为等腰直角三角形，且二面角B−AD−C为直二面角，

∴BD⊥平面ADC，

∴AD=BD=CD=22，AB=BC=CA=4，

由平面几何可知，BE=CE=10，

∴EF⊥BC，AF⊥BC，∴∠EFA是二面角A−BC−E的平面角，

在△EFA中，AE=2，AF=42−22=23，EF=10−4=6，

∴cos∠EFA=EF2+AF2−AE22×EF×AF=16122=223，

∴二面角A−BC−E的余弦值为223．

(2)设直线DM与平面BCE所成角为α，点D到平面BCE的距离为d，

则sinα=dDM，

在三棱锥B−CDE中，S△BCE=12×BC×EF=26，

由VB−CDE=VD−BCE，解得d=233

当【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、球的表面积和体积、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、二面角、直线与平面所成角【解析】【试题解析】本题考查二面角的余弦值、三棱锥外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

(1)设F为BC中点，连结EF，AF，推导出BD⊥平面ADC，AD=BD=CD=22，AB=BC=CA=4，由平面几何可知，BE=CE=10，从而EF⊥BC，AF⊥BC，进而∠EFA是二面角A−BC−E的平面角，由此能求出二面角A−BC−E的余弦值．

(2)设直线DM与平面BCE所成角为α，点D到平面BCE的距离为d，则sinα=dDM，由VB−CDE=VD−BCE，解得d=233当DM最小时，直线DM与平面BCE所成角的正弦值最大，此时所成角也最大，从而当M

如图，在四棱锥P−ABCD中，AP、AB、AD两两垂直，∠ADC=900，且AB=2DC=2，线段PC上的动点E在平面PAB内的射影为H，记PE=λEC．

(1)若F为AD的中点，是否存在实数λ，使得EF//平面PAB，并说明理由;(2)若λ=4,AP=2,AD=3，求四棱锥P−ADEH【答案】解：(1).当λ=1时，有EF//平面PAB，

理由如下：取AB的中点M，连接PM、CM，如下图：

∵∠ADC=900∴DC⊥AD且AB⊥AD，

故有AB//DC且AB=2DC，

所以AM//DC且AM=DC，即AMCD为平行四边形DA//CM，

又∵DA⊥AP,DA⊥AB且AB⋂AD=A，

∴DA⊥面PAB且DA//CM故有CM⊥面PAB，

所以PM是斜线PC在平面PAB内的射影，即为点H的轨迹.

当λ=1时，E为PC的中点，所以点H为PM的中点，连接AH、HE、EF，

易得EH//MC//AF，且EH=AF，故四边形AHEF为平行四边形，

∴EF//AH且EF⊄面PAB,AH⊂面PAB，∴EF//面PAB，

(2)∵DA⊥AB,DA⊥AP且AB∩AP=A，∴DA⊥面PAB；

同理可得∴AB⊥面PAD，

取AB的中点M，连接CM、PM，在面PCM中过点E作EH//CM交PM于点H，

则H为点E在平面PAB内的射影，

理由如下：EH//CM//AD且AD⊥面PAB，∴EH⊥面PAB，

同理在面PDC内过E作EK//CD，

则EK//CD//AB且AB⊥面PAD，∴EK⊥面PAD，

∵PEPC=45,∴EHCM=45即【知识点】线面平行的判定、棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积、空间中直线与平面的位置关系【解析】本题主要考查了直线与直线，直线与平面的位置关系；棱锥的侧面积，体积的求解．

(１)通过构造平行四边形来证明线面平行．

(２)将四棱锥P−ADEH拆分成三棱锥E−PAH和三棱锥E−PAD，通过求这两个三棱锥的高和底面积，求得它们的体积，然后求和，得所求．

如图，在Rt△AOB中，∠OAB=30°，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B−AO−C是直二面角，动点D在斜边AB上．

(1)求证：平面COD⊥平面AOB；(2)当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；(3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值．【答案】

解：(1)证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，

∴∠BOC是二面角B−AO−C的平面角，

又∵二面角B−AO−C是直二面角．

∴CO⊥BO．

又∵AO∩BO=O，

∴CO⊥平面AOB．

又CO⊂平面COD，

∴平面COD⊥平面AOB．

(2)如图，作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，

则DE//AO．

∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．

在Rt△OCB中，CO=BO=2，OE=12BO=1，

∴CE=CO2+OE2=5．

又DE=12AO=3，

∴在Rt△CDE中，tan ∠CDE=CEDE=53=153．

即异面直线AO与CD所成角的正切值是153．

(3)由(1)知