第八章立体几何初步单元自测卷（二）

第八章立体几何初步单元自测卷（二）一、单选题1．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面BCD，得到，，再由，，，得到，则三棱锥截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解.【详解】因为平面BCD，所以，，∴，在中，，∴，∴.如图所示：三棱锥的外接球即为长方体AGFHBCED的外接球，设球O的半径为R，则，解得，所以球O的表面积为，故选：A.2．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α//平面β，则平面α内任意一条直线m//平面β；③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；④若平面α内的三点A，B，C到平面β的距离相等，则α//β.其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】①根据互相平行的两条直线在同一个平面内的射影也可能是一条直线或两个点判断；②由面面平行的性质定理判断；③由平面α与平面β不垂直时判断；④由三点A、B、C分别在平面β两侧判断.【详解】①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影也可能是一条直线或两个点；故错误；②因为平面α//平面β，则平面α内任意一条直线m//平面β；故正确；③当平面α与平面β不垂直时，则直线n与平面β不垂直；故错误；④若三点A、B、C分别在平面β两侧，则得不到α//β.故选：B.3．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，若过直线的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆锥的轴截面的求得圆锥的母线长和底面半径，结合侧面积公式，即可求解.【详解】设圆锥的母线长为，则，得，即母线长为，设圆锥的底面半径为，，解得，即圆锥底面圆的半径为2，圆锥的侧面积为.故选：A.4．直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】过作,可证平面，连接,可知即为所求线面角，计算即可求解.【详解】如图，过作，连接，在直三棱柱中，因为所以平面，故在平面上的射影为,所以为直线与平面所成的角，设，又所以故故选：A【点睛】方法点晴：求线面夹角一般有两种方法：（1）几何法：作平面的垂线，找到夹角再用三角函数求解；（2）向量法：建系用空间向量公式求解.5．阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据球的体积公式求出半径，根据圆柱的体积公式可求得结果.【详解】设球的半径为，则，所以，所以圆柱的底面半径为，圆柱的高为，所以圆柱的体积为.故选：C6．如图，正方体的棱长为，下面结论错误的是（）A．平面B．平面C．异面直线与所成角为D．三棱锥体积为【答案】D【分析】根据线面平行的判定定理，证明A正确；根据线面垂直的判定定理，证明B正确；在正方体中，作出异面直线与所成角，结合题中条件，可判断C正确；根据三棱锥的体积公式，可判断D错.【详解】A选项，在正方体中，，又平面，平面，所以平面，即A正确；B选项，连接，，在正方体中，，，平面，平面，因为平面，平面，所以，，又，平面，平面，所以平面，因此；同理，又，平面，平面，所以平面；即B正确；C选项，因为，所以即等于异面直线与所成角，又，即为等边三角形，即异面直线与所成角为，故C正确；D选项，三棱锥的体积为.故D错；故选：D.【点睛】方法点睛：求解空间中空间位置关系的证明以及空间角、空间距离的方法：（1）定义法：根据空间中线面平行、线面垂直、空间角等相关概念，结合线面垂直、平行的判定定理及性质等，即可求解；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，求出对应的直线的方向向量，以及平面的法向量，结合空间位置的向量表示，空间角的向量求法等，即可求解.7．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（）（参考数据），，，．A．101g B．182g C．519g D．731g【答案】B【分析】由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果.【详解】由题意可知，几何体是棱长为的正四面体，所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，设正四面体的棱长为，则正四面体的高为，设正四面体外接球半径为，则，解得，所以打印的体积为：，又，所以，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．8．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（）A．MNAB B．MN与BC所成的角为45°C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC【答案】D【分析】由中位线性质，平移异面直线即可判断MN不与AB平行，根据异面直线平面角知MN与BC所成的角为90°，应用反证知OC不与平面VAC垂直，由面面垂直的判定知面VAC面VBC，即可知正确选项.【详解】M，N分别为VA，VC的中点，在△中有，在面中，MN不与AB平行；，知：MN与BC所成的角为；因为面，与平面内交线都不垂直，OC不与平面VAC垂直；由面，面即，而知，有面，又面，所以面面；故选：D【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.二、多选题9．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理分别判断即可【详解】解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，∴AB∥平面MNP，故A成立；对于B，若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB与面MNP不平行，故B不成立；对于C，过M作ME∥AB，则E是中点，则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，∴AB与面MNP不平行，故C不成立；对于D，连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.故选：AD.【点睛】此题考查线面平行的判定定理和性质定理的应用，属于基础题10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）A．AC⊥B1EB．B1C∥平面A1BDC．三棱锥C1﹣B1CE的体积为D．异面直线B1C与BD所成的角为45°【答案】AB【分析】对于A，由已知可得AC⊥平面BB1D1D，从而可得AC⊥B1E；对于B，利用线面平行的判定定理可判断；对于C，由进行求解即可；对于D，由于BD∥B1D1，所以∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，从而可得结果【详解】解：如图，∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确；∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正确；三棱锥C1﹣B1CE的体积为，故C错误；∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形，∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误.故选：AB.【点睛】此题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线所成的角以及体积的计算等知识，考查推理能力，属于中档题11．在矩形中，，，沿矩形对角线将折起形成四面体，在这个过程中，现在下面四个结论其中所有正确结论为（）A．在四面体中，当时，B．四面体的体积的最大值为C．在四面体中，与平面所成角可能为D．四面体的外接球的体积为定值.【答案】ABD【分析】A.根据线面垂直判定定理证明平面进而有；B.当平面平面时，四面体的体积最大，根据体积公式计算即可；C.当平面平面时与平面所成的角最大，计算得；D.斜边中点到距离相等，所以四面体的外接球的半径为定值，其题意奕为定值.【详解】解：对于A.当时，又因为平面，所有平面，所以，故A正确；对于B.当平面平面时，四面体的体积最大在中根据等面积法可得到平面的距离满足所以，故B正确；对于C.当平面平面时与平面所成的角最大，此时，即，故C错误；对于D.因为和都是直角三角形且共斜边，所以斜边中点到距离相等，所以四面体的外接球的半径，所以四面体的外接球的体积为定值故选：ABD【点睛】证明线线垂直的常用方法：①由线面垂直得线线垂直；②勾股定理；③三角形中角度和为；④垂直或平行的传递性.12．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面多边形记为S，则下列命题正确的是（）A．当时，S为等腰梯形B．当时，S与的交点R满足C．当时，S为六边形D．当时，S的面积为【答案】ABD【分析】分，，三种情况讨论截面的形状，再逐一分析各个选项即可得出答案.【详解】解：过点A，P，Q的平面截正方体，当时，其截面形状为梯形如图1，特别地当时，截面形状为等腰梯形，当时，其截面形状为五边形如图2．若，则，所以．当时，与重合，其截面形状为四边形如图3，此时，因为P为的中点，且，所以为的中点，所以，同理，所以四边形为平行四边形，所以四边形为菱形，其面积为．故ABD正确．故选：ABD.三、填空题13．在长方体中，，，，若在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，则此圆柱与原长方体的体积比为________.【答案】【分析】以为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：，以为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：，以为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：，由此能求出在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，进而求得圆柱与原长方体的体积比.【详解】解：以为圆柱底面时，挖去的圆柱最大体积为：，以为圆柱底面时，挖去的圆柱最大体积为：，以为圆柱底面时，挖去的圆柱最大体积为：，∴在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，此圆柱与原长方体的体积比为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查长方体和圆柱体的体积，考查分类讨论能力和运算求解能力，属于基础题型.14．已知圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，记圆锥和球体的体积分别为，，则的值为______．【答案】【分析】设圆锥底面半径为，圆锥的内切球半径为，由题意画出圆锥轴截面图，进而可得、圆锥高，即可得解.【详解】设圆锥底面半径为，圆锥的内切球半径为，由题意知，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，球的大圆为该正三角形的内切圆，如图，，圆锥高，．故答案为：.【点睛】本题考查了圆锥几何特征的应用及其内切圆相关问题的求解，属于基础题.15．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成______个三棱锥．【答案】3【分析】画出图形，由图即可求出．【详解】如图，三棱台可分割成三棱锥，三棱锥，三棱锥，共3个.故答案为：316．如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则该圆台的体积为_________；侧面积为_________．【答案】【分析】将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，则圆台体积为大圆锥体积减去小圆锥体积，圆台侧面积为大圆锥侧面积减去小圆锥侧面积.【详解】将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，大小圆锥的顶点为，如图所示，在经过的轴截面上，从点做垂线于，显然且.∵，∴，，又∵∴为的边的中位线，∵，得则，解得∴则圆台的体积为圆为底，高为的圆锥体积减去以圆为底，高为的圆锥体积，即圆台的侧面积.故答案为：；.四、解答题17．一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球的表面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.（1）试确定R与r的关系，并求出大圆锥与小圆锥的侧面积的比值.（2）求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比.【答案】（1），大圆锥与小圆锥的侧面积的比值为；（2）.【分析】（1）求出球的表面积和圆锥底面积，即可得出，根据几何特征表示出圆锥的高和母线长，即可求出侧面积之比；（2）根据体积公式计算出，即可得出比值.【详解】解：（1）球的表面积为，圆锥的底面积为，解得，由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形；由此可以求得球心到圆锥底面的距离是：，所以小圆锥的高为：，母线长为：；同理可得大圆锥的高为：，母线长为：；又由这两个圆锥的底面半径相同，∴较大圆锥与较小圆锥的侧面积之比等于它们母线长之比，即.（2）由（1）可得两个圆锥的体积和为：，球的体积为：，故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：.18．(本题满分14分)已知点是正方形ABCD两对角线的交点，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE.（Ⅰ）求证：EO⊥平面AFC；（Ⅱ）试问在线段DF(不含端点)上是否存在一点R,使得CR∥平面ABF,若存在,请指出点R的位置；若不存在,请说明理由.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析.【详解】【分析】（1）通过证线面垂直，证明AC⊥EO，通过计算证明EO⊥OF，然后得到EO⊥平面AFC（2）若CR∥平面ABF，又CD∥平面ABF则平面CDF∥平面ABF，得出矛盾【详解】证明：（1）连结FO，设AB=BF=2DE=2a，则DO=OB=a，所以EO=a，FO=a，EF=3a。在ΔEOF中，由EO2+FO2=EF2，知EO⊥OF…………（3分）又DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC，而BD⊥AC，所以AC⊥平面DOE，故AC⊥EO…………（5分）由AC平面AFC，FO面AFC，AC∩FO=O，所以EO⊥平面AFC…………（7分）（2）找不到这样的点R，使得CR∥平面ABF…………（9分）假设存在这样的点R，使得CR∥平面ABF，因为点R与点D不重合，所以CD与CR相交，又CD∥平面ABF，CR∥平面ABF，CD平面ABF，CR∥平面ABF，所以平面CDF∥平面ABF…………（12分）而平面ABF与平面CDF有公共点F，所以平面ABF与平面CDF必定相交矛盾，所以，找不到这样的点R，使得CR∥平面ABF…………（14分）【点睛】立体几何题，考察学生的空间想象能力。19．如图，在三棱锥中，，，，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的大小；（3）当平面时，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【分析】（1）可通过证明及来证明面，进而可得平面平面；（2）通过证明面，可得是二面角的平面角，在中计算即可；（3）通过来计算三棱锥的体积.（1）由，，且得面，又面，又，D为线段AC的中点，则，又，面，面，面，又面，平面平面；（2）由（1）知面，又面，，又，且，面，面，面，又面是二面角的平面角，在中，即二面角的平面角的大小为；（3）平面，平面，且平面平面，又D为线段AC的中点，可得E为线段PC的中点，且又由面，可得面，可得，则三棱锥的体积为20．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，、、分别为、、的中点．（1）求证：平面平面；（2）若，判断平面与平面是否垂直？并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）平面平面，理由见解析.【分析】（1）分别证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可得出结论.（1）