专题10概率（重难点突破）

专题10概率一、考情分析二、考点梳理考点一、条件概率1.条件概率一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B),而且P(A|B)=P(2.概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则P（AB）=P（A）P（B|A）.我们称上式为概率的乘法公式（multiplicationformula）.3.条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P（A）>0，则（1）P（Ω|A）=1；（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC|A）=P（B|A）+P（C|A）；（3）设B和B互为对立事件，则P（B

|A）=1−考点二、全概率公式1.全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)=eq\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)我们称上面的公式为全概率公式．2.*贝叶斯公式：

三、题型突破重难点题型突破1条件概率（1）、（2022·全国·高二课时练习）已知表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由条件概率的计算公式可得.【详解】根据条件概率的计算公式知.故选：D（2）．（2022·全国·模拟预测）（多选题）有两个箱子，第1个箱子有3个白球，2个红球，第2个箱子有4个白球，4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中随机取1个球放到第1个箱子里，则下列判断正确的是（

）A．从第2个箱子里取出的球是白球的概率为B．从第2个箱子里取出的球是红球的概率为C．从第2个箱子里取出的球是白球前提下，则再从第1个箱子里取出的是白球的概率为D．两次取出的球颜色不同的概率为【答案】ABC【解析】【分析】对于ABD，根据互斥事件和独立事件的概率公式求解，对于C，根据条件概率的公式求解即可【详解】从第2个箱子里取出的球是白球的概率为，故选项A正确；从第2个箱子里取出的球是红球的概率为，故选项B正确；设从第2个箱子取出的球是白球为事件，再从第1个箱子取出的球是白球为事件，则，故选项C正确；两次取出的球颜色不同的概率为，故选项D错误，故选：ABC.【变式训练11】、（2022·全国·模拟预测）从3个“0”和3个“1”中任选3个组成三位数组，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则等于（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由条件概率的计算公式即可求解.【详解】解：由“0”“1”组成的三位数组共有（个），第一位数字为“0”的三位数组有（个），则，第一位和第二位数字均为“0”的三位数组有2个，则，所以.故选：C.【变式训练12】、（2022·湖南株洲·一模）（多选题）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（

）A．、为对立事件 B．C． D．【答案】AB【解析】【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解.【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故C不正确.故选：AB例2、（2022·湖南·高二课时练习）抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．【答案】(1)(2)【解析】【分析】先求出所有可能的事件的总数，及事件，事件，事件包含的基本事件个数，代入条件概率计算公式，可得答案．(1)解：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为，事件的基本事件数为，（A），由于，，，，所以事件的基本事件数为，（B），事件同时发生的概率为，，由条件概率公式，得；(2)解：由（1）得．【变式训练21】、（2022·山东德州·高二期末）已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，．(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；(2)现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由相互独立事件的概率可得；（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.(1)记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，，则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，则．故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是．(2)记事件B为购买的电器合格，记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，，，，，，，，．故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为．重难点题型突破2全概率公式例3.（1）、（2021·全国·高一专题练习）某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数01234概率0.10.20.40.20.1现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为（

）A．0.814 B．0.809 C．0.727 D．0.652【答案】A【解析】【分析】利用条件概率以及全概率计算公式即可求解.【详解】以Ai表示一批产品中有i件次品，i=0，1，2，3，4，B表示通过检验，则由题意得，P(A0)=0.1，P(B|A0)=1，P(A1)=0.2，P(B|A1)==0.9，P(A2)=0.4，P(B|A2)=≈0.809，P(A3)=0.2，P(B|A3)=≈0.727，P(A4)=0.1，P(B|A4)=≈0.652．由全概率公式，得P(B)=P(Ai)P()=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814．故选：A（2）．（2021·全国·高二课时练习）袋中装有编号为1，2，…，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为________．【答案】【解析】【分析】设A＝“第一次取到1号球”，则＝“第一次取到的是非1号球”；B＝“最后取到的是2号球”，分别求出P(A)，P()，且P(B|A)，P(B|)，再根据全概率公式即可得解.【详解】解：设A＝“第一次取到1号球”，则＝“第一次取到的是非1号球”；B＝“最后取到的是2号球”，显然P(A)＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝＝.故答案为：（3）．（2021·全国·高二课时练习）已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，则在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率为________．(精确到0.001)【答案】0.998【解析】【分析】根据全概率公式进行求解即可.【详解】设A＝任取一产品，经检查是合格品，B＝任取一产品确是合格品，则A＝BA＋AP(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.96×0.98＋0.04×0.05＝0.9428，故所求概率为：P(B|A)＝.故答案为：0.998【变式训练31】、（2021·全国·高二课时练习）设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙、丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为2%，2%，4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为（

）A．0.025 B．0.08 C．0.07 D．0.125【答案】A【解析】【分析】利用全概率计算公式即可求解.【详解】设A1，A2，A3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B表示次品，则P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025．故选：A．【变式训练32】、（2021·全国·高一专题练习）（多选题）在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%．则（

）A．任意一位病人有症状S的概率为0.02B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25【答案】ABC【解析】【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果.【详解】P(D1)=0.02，P(D2)=0.05，P(D3)=0.005，P(S|D1)=0.4，P(S|D2)=0.18，P(S|D3)=0.6，由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02．由贝叶斯公式得：P(D1|S)===0.4，P(D2|S)===0.45，P(D3|S)===0.15．故选：ABC例4．（2022·全国·高二课时练习）学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就做随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．（1）学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是；（2）学生知道正确答案的概率是0.2．【答案】（1）0.8；（2）0.5.【解析】【分析】记事件A为“题答对了”，事件为“知道正确答案”，根据题意求得，，（1）此时有，由贝叶斯公式即可得出答案；（2）此时有，，由贝叶斯公式即可得出答案.【详解】解：记事件A为“题答对了”，事件为“知道正确答案”，则按题意有，．（1）此时有，所以由贝叶斯公式得．（2）此时有，，所以由贝叶斯公式得．【变式训练41】、（2021·全国·高二课时练习）设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，．现从这三个地区任抽取一个人，假设每个人来自三个地区的可能性相同．（1）求此人感染此病的概率；（2）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）应用全概率公式，求所抽取的人感染此病的概率即可；（2）利用贝叶斯概率公式可得，即可求概率.【详解】（1）由题意，所抽取的人感染此病的概率.（2）若分别表示来自甲、乙、丙的事件，表示感染此病的事件，∴此人感染此病且来自乙地区的概率.【变式训练42】、（2021·全国·高二课时练习）坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】设第一次拿出绿皮鸭蛋为事件，第2次拿到绿皮鸭蛋为事件，则第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋为事件，（1）从5个鸭蛋不放回地依次拿出2个鸭蛋基本事件数为，，由古典概型可得结果；（2）求得，利用古典概型求解即可；（3）利用（1）、（2），根据条件概率公式可得结果.【详解】设第一次拿出绿皮鸭蛋为事件，第2次拿到绿皮鸭蛋为事件，则第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋为事件，（1）从5个鸭蛋不放回地依次拿出2个鸭蛋基本事件数为，，（2）因为，所以，（3）由（1）（2）可得，在第一次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第二次拿出绿皮鸭蛋的概率为.

四、课堂训练（30分钟）1．（2022·山东菏泽·一模）第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（

）A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38【答案】A【解析】【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥，根据题意得：，，，则.故选：A.2．（2022·安徽亳州·高二期末）某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（

）A．0.0689 B．0.049 C．0.0248 D．0.02【答案】C【解析】【分析】根据全概率公式即可求出．【详解】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为0.0248．故选：C．3．（2022·全国·高二课时练习）设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】【详解】设A＝“先取到的是女生表”，Bi＝“取到第i个地区的表”，i＝1,2,3，∴P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝×＋×＋×＝.4．（2021·全国·高二课前预习）已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（

）A．0.01245 B．0.05786 C．0.02625 D．0.02865【答案】C【解析】【分析】【详解】用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.02625.5．（2022·全国·高二课时练习）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是（

）A．0.013 B．0.04 C．0.002 D．0.003【答案】A【解析】【分析】设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3,利用全概率公式P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)即得解【详解】设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.故选：A6．（2022·全国·高二课时练习）一道考题有4个，要求学生将其中的一个正确选择出来．某考生知道正确的概率为，而乱猜正确的概率为．在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据全概率公式，结合贝叶斯公式进行求解即可.【详解】[设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确”，由全概率公式：．又由贝叶斯公式：．故选：B7．（2021·全国·高一专题练习）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（

）(设男子和女子的人数相等)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设“男子”，“女子”，“这人有色盲”，分别求得,结合公式，即可求解.【详解】设“男子”，“女子”，“这人有色盲”，则,可得.故选：B.8．（2022·全国·高二课时练习）考虑恰有两个小孩的家庭.若某家第一个是男孩，则这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率为______（假定生男生女为等可能）.【答案】##【解析】【分析】利用列举法求得正确答案.【详解】依题意，家庭有两个小孩，基本事件有：（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女），共种情况.若家庭第一个是男孩，则事件为（男，男）、（男，女），则第二个也是男孩的概率为.故答案为：9．（2022·全国·高二）2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.【答案】##0.6【解析】【分析】利用条件概率公式即可得到结果.【详解】设“甲同学被选出”记为事件，“乙同学被选出”记为事件，则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率.故答案为：10．（2021·全国·高二课时练习）某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______．【答案】0.785【解析】【分析】根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.【详解】记A为事件“植物没有枯萎”，W为事件“邻居记得给植物浇水”，则根据题意，知，，，，因此．故答案为：0.785