热点6-1等差数列的通项及前n项和8大题型

热点61等差数列的通项及前n项和8大题型主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等差数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等比数列一般设置一道选择题和一道解答题。一、判断等差数列的方法1、定义法：（常数）是等差数列；2、等差中项法：是等差数列；3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。4、前n项和法：（，为常数）是等差数列。其中前两种方法适用于解答题中的证明问题；后来两种方法适用于选择填空的判断问题。二、等差数列的前n项和常用的性质1、设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列；2、数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为；3、若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d；①当项数为偶数时，，，；②当项数为奇数时，，，.4、在等差数列，中，它们的前项和分别记为则三、求等差数列的前n项和的最值的方法1、二次函数法：将配方，若，则从二次函数的角度看：当时，有最小值；当时，有最大值；当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值．2、邻项变号法：当，时，满足的项数n使取最大值；当，时，满足的项数n使取最小值。3、不等式组法：借助当最大时，有，解此不等式组确定的范围，进而确定的值和对应的值（即最大值），类似可求的最小值。【题型1等差数列的基本量计算】【例1】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得，所以，，所以，，解得，因此，.故选：D.【变式11】（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知等差数列的前n项和为，若数列满足：对任意的，都有，且，则（）A．20B．39C．63D．81【答案】B【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，因为，所以，因为，所以，则，解得：，所以，那么.故选：B【变式12】（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知公差小于零的等差数列的前项和为，且，则使成立的最大正整数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设等差数列的首项为，公差为，则由，得，解得，所以等差数列的前项和为，因为，，所以，解得，又，所以使成立的最大正整数为.故选：D.【变式13】（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）设为等差数列的前项和，，则（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以.故选：C.【变式14】（2023·河南郑州·统考一模）设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】方法1：∵为等差数列，，∴，；方法2：∵为等差数列，，∴，∴.故选：A.【题型2等差中项及应用应用】【例2】（2023·全国·校联考模拟预测）记等差数列的前项和为，若，则（）A．4B．8C．12D．16【答案】C【解析】根据数列为等差数列，则，所以，所以，故选：C.【变式21】（2022秋·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）已知数列满足，则等于（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】∵，∴是等差数列．由等差数列的性质可得，，∴，，∴．故选：B．【变式22】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若且，则（）A．25B．45C．55D．65【答案】D【解析】由等差数列的前项和为，所以为等差数列，设其公差为，由，知，所以，所以，所以，故选：D．【变式23】（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于（）A．10B．15C．20D．25【答案】B【解析】因数列是等差数列，由等差数列的性质知：，而，则，等差数列公差，首项，则.故选：B.【变式24】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校联考阶段练习）已知是等差数列的前项和，若，则（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】由题意，，解得，设等差数列的公差为，则.故选：B.【变式25】（2022秋·山东济宁·高三统考期末）等差数列的前项和为，若，则__________.【答案】【解析】由题设，则，，则，若公差为，则，故，故.故答案为：【题型3等差数列的判定与证明】【例3】（2023·广东深圳·统考一模）记，为数列的前n项和，已知，．（1）求，并证明是等差数列；（2）求．【答案】（1），证明见解析；（2）【解析】（1）已知，当时，，；当时，，，所以．因为①，所以②．②－①得，，整理得，，所以（常数），，所以是首项为6，公差为4的等差数列．（2）由（1）知，，，．当n为偶数时，；当n为奇数时，．综上所述，.【变式31】（2023秋·河北邢台·高三统考期末）已知数列{}满足，.（1）记，证明{}为等差数列，并求{}的通项公式；（2）求{}的前2n项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）3n2【解析】（1）由题知则所以，即故{}为等差数列又，所以（2）因为…….....所以=3n2【变式32】（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等差数列；（2）若，求数列前n项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）为常数∴是以为公差的等差数列．（2）∵，∴由（1）得，∴，∴，∴.【变式33】（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知为数列的前项积，且.（1）证明：数列是等差数列；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）为数列的前项积，当时，，，等式两边同时乘以可得，即，又当时，，得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得，，．【题型4由Sn与an关系求通项】【例4】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）已知数列的前n项和为，，，则（）A．414B．406C．403D．393【答案】B【解析】由，两式相减得，即.再由，两式相减得，由，得，故为以14为首项，8为公差的等差数列，故，故.故选：B【变式41】（2022秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且成等差数列，若，则使得，同时成立的k的值为_______．【答案】7【解析】，即，又成等差数列，即，故数列是公差为1的等差数列，则，解得，．故答案为：7.【变式42】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）若是等差数列，首项，则使前项和成立的最大正整数是__________.【答案】4035【解析】是等差数列，首项，，公差，,而，则使前项和成立的最大整数是4035故答案为：4035.【变式43】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，数列满足，且.求数列和的通项公式；【答案】，；【解析】当时，，当时，，因为符合，所以.因为,所以,又，所以，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.所以.所以.【变式44】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，（1）求数列的通项公式；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）当时，相减得当时，符合上式所以.当时，当时，符合上式.故（2）由（1）知：所以【题型5等差数列前n项和的性质】【例5】（2022秋·北京·高三中关村中学校考阶段练习）记为等差数列的前项和，若，，则（）A．36B．45C．63D．75【答案】B【解析】因为为等差数列的前项和，所以成等差数列，即成等差数列，所以，解得，故选：B.【变式51】（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（）A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040【答案】C【解析】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．∵a1＝﹣2018，，∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故选：C．【变式52】（2022·河南新乡·统考一模）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，为等差数列，所以，，所以，故选：D【变式53】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题知，奇数项有项，偶数项有项，奇数项之和为，偶数项之和为，所以奇数项之和与偶数项之和的比为，故选：D【变式54】（2022·全国·高三专题练习）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（）A．4B．8C．12D．20【答案】B【解析】根据等差数列的性质得：，，解得：，故该数列的项数为.故选：B【题型6等差数列前n项和的函数特征】【例6】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，且，，则当（）时，最大.A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，即，因为，所以，即，根据等差数列性质，因为，即，又因为，即；所以得且，所以等差数列为递减的数列，所以当时，最大.故选：B.【变式61】（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知数列是等差数列，且满足，则数列的前项和的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】设等差数列的公差为d，由，得，解得，所以，当时，，当时，，所以当或4时，数列的前项和有最大值，最大值为，故选：C.【变式62】（2022·全国·校联考模拟预测）设为等差数列的前项和，且，都有.若，则（）A．的最小值是B．的最小值是C．的最大值是D．的最大值是【答案】A【解析】由得：，即，数列为递增的等差数列，，，，当且时，；当且时，；有最小值，最小值为.故选：A.【变式63】（2023·全国·高三专题练习）（多选）数列的通项为，它的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（）A．数列是递减数列B．当或者时，有最大值C．当或者时，有最大值D．和都没有最小值【答案】ABC【解析】因为数列的通项为，则，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，因为公差，所以数列是递减数列，故选项正确；因为，当时，；当时，，因为，所以当或者时，有最大值，故选项正确；由可知：，，，所以当或者时，有最大值，故选项正确；根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知：无最小值，因为，当时，，但零乘任何数仍得零，所以有最小值，故选项错误，故选：.【变式64】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，（）A．若，则当且仅当时，取得最大值B．若，则当且仅当时，取得最大值C．若，则当且仅当时，取得最大值D．若，，则当或14时，取得最大值【答案】BD【解析】由等差数列前n项和有最大值，所以数列为递减数列，对于A，且时取最大值，设，则，当时，；时，；时，，所以或14时，前k项和取最大值，A项错误；对于B，当且仅当时取最大值，则时，，时，.，则，，，，前14项和最大，B项正确；对于C，，则，同理，，前13项和最大，C项错误；对于D，，，得，由题等差数列在时，，时，，所以，，所以或14时，前k项和取最大值，D项正确；故选：BD.【题型7含绝对值的等差数列前n项和】【例7】（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，设，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，两式相减，得，所以，即.又因为时，，所以，因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以.（2）由（1）得，.当时，，当时，综上，【变式71】（2022·四川遂宁·统考一模）已知等差数列满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得，解得，故．（2）设数列的前n项和为，则．当时，；当时，，则．综上，.【变式72】（2022秋·广东中山·高三小榄中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前20项和.【答案】（1）；（2）456【解析】（1）设等差数列的公差为，∴，解得，∴.（2）由（1）知：，则，得，又，∴时，，而，，∴数列的前项和，而，，∴，故，即456.【变式73】（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，公差，且满足成等比数列．（1）求；（2）求数列的前30项和．【答案】（1）；（2）1362【解析】（1）由题意可得：，解得或（舍）故.（2）由（1）可知：，设数列的前项和为，易知当时，，，所以，当时，，，，所以.【变式74】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以当时，；当时，，故，则；经检验：满足，所以.（2）由（1）知，令，得，故当时，，；当时，，易知，，，，所以；综上：.【题型8等差数列的简单应用】【例8】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）A．乙分到37文，丁分到31文B．乙分到40文，丁分到34文C．乙分到31文，丁分到37文D．乙分到34文，丁分到40文【答案】A【解析】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，则，解得，所以乙分得（文），丁分得（文），故选：A.【变式81】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开始织布，则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（）A．26B．130C．D．156【答案】B【解析】设第天的织布量为,根据题意得：该女子每天的织布量构成等差数列,该等差数列的前30项和为390，首项，设公差为d，所以，解得，所以．所以这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为130.故选:B【变式82】（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则时，圆球总个数为（）A．30B．35C．40D．45【答案】B【解析】当，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，所以当4时，每层圆球的个数分别为1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，可得，时，底层有，故一共有个球.故选：B【变式83】（2023·全国·高三专题练习）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子如下图，则其第10行第11列的数为（）A．220B．241C．262D．264【答案】B【解析】记为第行第列所代表的数字，则，.故选：B.【变式84】（2023·全国·高三专题练习）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（）A．17B．18C．19D．20【答案】A【解析】设成为等差数列的其中10层的塔数为：，由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为；故，①；又由②，，且，所以，①+②得，，得，由知，又因为观察答案，当且仅当时，满足条件，所以，；组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6.所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，则第11层的塔数为17.故答案选：A【变式85】（2022秋·江苏南通·高三统考期中）（多选）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（）A．驽马第七日行九十四里B．第七日良马先至齐C．第八日二马相逢D．二马相逢时良马行一千三百九十五里【答案】AD【解析】由题意可知，两马日行里数都成等差数列;记数列为良马的日行里数，其中首项公差所以数列的通项公式为记数列为驽马的日行里数，其中首项公差所以数列的通项公式为因此，对于A，驽马第七日行里数为，即驽马第七日行九十四里；故A正确；第七日良马行走总里程为，而齐去长安一千一百二十五里，因为，所以第七日良马未至齐；所以B错误；设第日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍，即，解得或（舍），即第九日二马相逢；故C错误；由C可知，第九日二马相逢，此时良马共行走了，所以，二马相逢时良马行一千三百九十五里，所以D正确；故选：AD.（建议用时：60分钟）1．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）已知为等差数列，其前项和为，若，，，则（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】∵，，∴，∵，解得：.故选：.2．（2023·山西临汾·统考一模）1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年､1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预㝘它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你预测它在本世纪回归的年份（）A．2042B．2062C．2082D．2092【答案】B【解析】由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列，则等差数列的通项公式为，∴，.∴可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年.故选：B.3．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）已知数列满足则其前9项和等于（）A．150B．180C．300D．360【答案】B【解析】因为所以所以其前9项和等于，故选:B.4．（2022秋·上海静安·高三上海市回民中学校考期中）已知数列中，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】数列中，前项和，时，，时，，时，也满足，∴，则有，∴数列中是首项为1公差为4的等差数列，则数列中是首项为1公差为8的等差数列，其前项和.5．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为=，所以可设，，，所以，，所以，故选：A.6．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为A．10B．20C．30D．40【答案】B【解析】设等差数列的公差为，项数为，前项和为，则，即这个数列的项数为20，故选择B.7．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，，则（）A．15B．23C．28D．30【答案】D【解析】由等差数列片段和的性质：成等差数列，∴，可得，同理可得，∴，可得.故选：D8．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（）A．B．C．数列是递增数列D．【答案】B【解析】因为，所以，故A错误；由等差数列，可得，所以，即，故B正确；因为，所以，所以等差数列的公差，所以数列是递减数列，故C错误；因为，所以，故D错误.故选：B.9．（2023秋·山东济南·高三统考期中）（多选）已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（）A．B．的最大值为C．的最小值为D．【答案】ACD【解析】对于A,数列为等差数列，，数列为递减的等差数列，故A正确，对于B,数列为递减的等差数列，的最大值为，故B错，对于C,由得的最小值为,即，故C正确，对于D,