测试卷03-2022年高考数学考前冲刺卷（新高考专用）

班级：______考号：_______姓名：_______分数：_______【考前15天·一天一测】2022年高考考前冲刺卷数学（第三测）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．集合，，，全集为，则图中阴影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，解得.即P＝{－2，－3}，{1，3}，∴M∩N＝{1}，N∩P＝{－2}，故阴影部分表示的集合为{3，－3}．故选：C2．设则“且”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（2，2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A．3．已知函数，若，则实数a＝（

）A． B． C．2 D．9【答案】C【解析】函数，，则，即，解可得：.故选：C4．某品牌暖水瓶的内胆规格如图所示，分为①②③④四个部分（水瓶内胆壁厚不计），它们分别为一个半球，一个大圆柱，一个圆台和一个小圆柱．若其中圆台部分的体积为cm3，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出cm3，则盖上瓶塞后水瓶的最大盛水量为（

）A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3【答案】A【解析】半球体积，大圆柱的体积，圆台的体积，小圆柱的体积，所以最大盛水量为.故选：A5．的展开式中，的系数为（

）A．145 B．144 C．81 D．1【答案】A【解析】的展开式通项公式为，，所以的展开式中，的系数为：．故选：A．6．如图，点为椭圆：的右顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由椭圆对称性知，点在线段的垂直平分线上，所以点的横坐标为，代入椭圆方程得点的纵坐标为，所以，则由，得，所以椭圆的离心率为，故选D．7．如图，在边长为a的等边三角形ABC中，圆D1与△ABC相切，圆D2与圆D1相切且与AB，AC相切，…，圆Dn+1与圆Dn相切且与AB，AC相切，依次得到圆D3，D4，…，Dn．设圆D1，D2，…，Dn的面积之和为，（），则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】等边三角形内心、重心、外心、垂心四心合一.所以圆的半径为，面积为，圆的半径为，面积为，圆的半径为，面积为，以此类推，圆的面积为，所以各圆的面积组成的数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故选：B8．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，即，所以，，，则，即A错误；，，所以，，，，即BC都错误，D正确.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数z满足，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（

）A．复数z的虚部为 B．C． D．复数z的共轭复数为【答案】BC【解析】设复数.因为，且复数z对应的点在第一象限，所以，解得：，即.对于A：复数z的虚部为.故A错误；对于B：.故B正确；对于C：因为，所以.故C正确；对于D：复数z的共轭复数为.故D错误.故选：BC10．设A，B是两个事件，且B发生A必定发生，，，给出下列各式，其中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】∵B发生A必定发生，∴，，，故A，D不正确；，故B正确；，故C正确．故选：BC11．在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，且双曲线的左焦点在直线上，、分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记、的斜率分别为、，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的方程为C．为定值 D．存在点，使得【答案】BC【解析】对于A选项，，则，所以，双曲线的渐近线方程为，A错；对于B选项，由题意可得，可得，，，所以，双曲线的方程为，B对；对于C选项，设点，则，可得，易知点、，所以，，C对；对于D选项，由题意可知，，则，，且，所以，，D错.故选：BC.12．“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．某天小明在广场上发现了如图1所示的一个石凳，其形状是将一个正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”（如图2所示）．小明用卷尺测量出这个石凳的高度为50cm，他给出了如下判断，请你指出小明的哪些判断是正确的（

）A．这个石凳共有24条棱，12个顶点，14个面B．一个体积为1立方米的正方体石料可以切割出8个这样的石凳（不计损耗）C．这个石凳也可以由一个直径为70cm的球形石料切割而成（不计损耗）D．如果将这个石凳三角形的那个面水平放置，石凳的高度会增加【答案】ABD【解析】观察所得的几何体可知，几何体有24条棱、12个顶点、14个面，选项A正确；由题意可知，“阿基米德多面体”体积为原正方体体积减去8个三棱锥体积，设原正方体的棱长为，则8个三棱锥体积为，所以“阿基米德多面体”体积为，又石凳的高度为50cm，所以原正方体的棱长，所以“阿基米德多面体”体积为，又1立方米等于，所以，所以一个体积为1立方米的正方体石料可以切割出8个这样的石凳（不计损耗），故B正确；原正方体的棱长，则其外接球的直径为，又，所以一个直径为70cm的球形石料切割不成该几何体（不计损耗），故C错误；设原正方体的棱长为，则每个三棱锥是底面边长为的正三角形，侧棱长，且两两互相垂直的三棱锥，设顶点到正三角形的距离为，由三棱锥的体积可知，解得，所以两个对角上的正三角形所在面的距离为，由题意可知，如果“阿基米德多面体”按照图2放置，则高度为，所以如果将这个石凳三角形的那个面水平放置，石凳的高度为，所以高度会增加，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点P为CD的中点，则________．【答案】16【解析】.故答案为：16.14．已知函数在上单调递增，则的取值范围为___________.【答案】【解析】当时，，又，且在上单调递增，所以，所以，解得，即.故答案为：.15．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知，为圆的内接四边形的两条对角线，已知，若，则圆的半径为__________；若，则实数的最小值为__________．【答案】

【解析】因为四边形内接于圆，所以，所以因为所以，即又，所以在中，由余弦定理可得所以，记四边形的外接圆半径为R，则，所以.由上可知，，在中，记则由余弦定理得，即又由托勒密定理知，，即，得又所以，得当且仅当，即时取等号所以的最小值为.故答案为：16．函数满足，当时，，若有8个不同的实数解，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】由得：对称轴为，当时，，当时，，当时，，故在处取得极小值，且为最小值，，令，则，要想有8不同的实数解，故要有两个根，则，解得：或，且两根均要大于，所以要满足，解得：，综上：.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知的内角、、的对边分别为、、，且的面积为．(1)求；(2)若，的角平分线与边相交于点，延长至点，使得，求．【解析】(1)由题可知，所以，由余弦定理，所以，可得，因为，所以.(2)不妨令，因为，可得，，又因为为的角平分线，所以，，得，所以在中，由余弦定理可得，即，在中，可得，，所以，为等边三角形，所以，在中，由余弦定理可得，得．18．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥B1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角CAGE的正切值．【解析】证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB1由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C∴AE⊥B1C解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°，可得A1E1=AE=，A1C=2，E1C1=EC=BC=∴E1C==∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C==所以异面直线AE与A1C所成的角为．（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC又∵平面ABC⊥平面ACC1A1∴EP⊥平面ACC1A1而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．∴∠PQE是二面角CAGE的平面角．由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==所以二面角CAGE的平面角正切值是19．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造，根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号12345678910111223468101321222324251522274048546068.56867.56665当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归直线方程为．请根据以上阅读材料，解答以下问题：(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合效果更好的模型．回归模型模型①模型②回归方程79.1320.2(2)当应用改造的投入为20亿元时，以回归直线方程为预测依据，计算公司的收益约为多少元．附：①若最小二乘法求得回归直线方程为，则；②；③，当时，．相关指数的计算公式为：，当越大时，回归方程的拟合效果越好；当越小时，回归方程的拟合效果越差．【解析】(1)对于模型①，因为，故对应的，故对应的相关指数，对于模型②，同理对应的相关指数，故模型②拟合效果更好．(2)当时，后五组的，，可得，所以当时，确定y与x满足的线性回归直线方程为故当投入20亿元时，预测公司的收益约为：（亿元）．20．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到的距离比它到直线的距离小1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线与曲线C交于A，B两点，，记直线QA，QB的斜率分别为，，求证：为定值.【解析】(1)由题意，点P到的距离等于它到直线的距离，∴点P的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线，∴动点P的轨迹C的方程为.(2)显然，直线AB的斜率存在，设其方程为，，，由得，，，，∴，故为定值2.21．数列中，．（1）求数列的通项公式；（2）设若数列的前n项的和是，求证：．【解析】（1）由题知，所以，，故数列是首项为2，公比的等比数列，所以，所以；（2），根据指数增长特征知，对任意恒成立.所以，所以数列的前n项的和.22．已知函数．(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；(2)当时，，方程的根为、，且，求证：．【解析】(1)因为，则，且，由题意可知，对任意的，，设，则，