专题13第四章复习与检测（知识精讲）

专题十三第四章复习与检测知识精讲一知识结构图内容考点关注点第四章指数、对数的运算幂、对数的运算性质指数函数的应用指数函数的图象与性质对数函数的应用对数函数的图象与性质函数的应用指数函数、对数函数的性质二.学法指导1.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.2.识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的变化趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特殊点对应的函数值．3．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.4.比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．5．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．6．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．7.换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围。8.指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N1＋px其中N为基础数，p为增长率，x为时间的形式.三.知识点贯通知识点1指数与对数的运算1.正分数指数幂：规定：aeq\s\up5(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)2.负分数指数幂：规定：a－eq\s\up5(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)3.幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．4、对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．例1.计算：(1)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53；(2)1.5－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))0＋80.25×eq\r(4,2)＋(eq\r(3,2)×eq\r(3))6－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up5(\f(2,3))).【解析】(1)原式＝log3eq\f(22×8,\f(32,9))－3＝2－3＝－1.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up5(\f(1,3))＋2eq\s\up5(\f(3,4))×2eq\s\up5(\f(1,4))＋22×33－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up5(\f(1,3))＝21＋4×27＝110.知识点二指数函数、对数函数的图象及应用1.指数函数的性质a的范围a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称2.对数函数的图象与性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数例题2：(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是()ABCD(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.①如图，画出函数f(x)的图象；②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．（1）【答案】B【解析】由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.(2)【解析】①先作出当x≥0时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．知识点三指数函数、对数函数的性质1.指数函数的性质a的范围a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称2.对数函数的图象与性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数例题3.设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】A【解析】由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)－1))，易知y＝eq\f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．五易错点分析易错一比较大小例题4.若0<x<y<1，则()A．3y<3xB．logx3<logy3C．log4x<log4yD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y【答案】C【解析】因为0<x<y<1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确．对于D，函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x在R上单调递减，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y，D错误．误区警示

比较大小，底数相同，利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性比较大小，底数不同，找中间量，比较大小。易错二集合中元素的互异性例题5.已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－logaeq\r(x)＋2的值域．【解析】①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函数y＝(log3x)2－log3eq\r(x)＋2＝(log3x)2－eq\f(1,2)log3x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3x－\f(1,4)))2＋eq\f(31,16).令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－