专题06随机变量及其分布小题综合

专题06随机变量及其分布小题综合冲刺秘籍冲刺秘籍离散型随机变量的分布列的两个性质（1）;（2）.数学期望数学期望的性质（1）.（2）若～,则.(3)若服从几何分布,且，则.方差标准差=.方差的性质(1)；(2）若～，则.(3)若服从几何分布,且，则.方差与期望的关系.正态分布密度函数，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.对于，取值小于x的概率..冲刺训练冲刺训练一、单选题1．（2023·重庆·统考模拟预测）随机变量X服从正态分布，若，则（

）A．0.22 B．0.24 C．0.28 D．0.36【答案】A【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．【详解】∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，∵，∴.故选：A.2．（2023·山西·校联考模拟预测）某工厂生产的新能源汽车的某部件产品的质量指标X服从正态分布，若，则（

）A．0.12 B．0.24 C．0.26 D．0.48【答案】C【分析】运用正态分布的对称性求解即可.【详解】由正态分布可知，，，所以．故选：C.3．（2023·广东·统考模拟预测）研究人员采取普查的方式调查某市国企普通职工的收入情况，记被调查的职工的收入为X，统计分析可知，则（

）参考数据：若，则，，.A．0.8186 B．0.9759 C．0.74 D．0.84【答案】D【分析】根据正态分布的性质结合条件即得.【详解】依题意，，所以.故选：D.4．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时和骑自行车用时都近似服从正态分布.绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行车（

）A．有26min可用 B．有30min可用C．有34min可用 D．有38min可用【答案】D【分析】应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具，结合图形，比较概率的大小可得答案.【详解】由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.根据和的分布密度曲线图可知，，，，.所以，如果有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车.故选：D.5．（2023·河北·统考模拟预测）山东烟台某地种植的苹果按果径（单位：）的大小分级，其中的苹果为特级，且该地种植的苹果果径．若在某一次采摘中，该地果农采摘了2万个苹果，则其中特级苹果的个数约为（

）（参考数据：，．，）A．3000 B．13654 C．16800 D．19946【答案】C【分析】先根据原则求出的概率，再乘以即可得解.【详解】由，得，，，所以，所以特级苹果的个数约为个.故选：C.6．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设，则随机变量的分布列是01则当在内减小时，（

）A．减小 B．增大C．先减小后增大 D．先增大后减小【答案】C【分析】根据期望公式求得随机变量的期望，之后利用方差公式求得随机变量的方差，根据二次函数的性质求得结果.【详解】根据题意可得，，所以在单调递减，在单调递增，所以先减小后增大.故选：C.7．（2023·全国·模拟预测）已知随机变量，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据正态分布密度函数的性质求解.【详解】由题设可知，服从均值为，标准差的正态分布，服从均值为，标准差的正态分布.事件“”的概率仅与正数有关，且越大，该事件的概率越大，因此：和分别等价于和，故后者的概率更大，A正确，B错误；和分别等价于和，两者概率相同，C错误，D错误；故选：A.8．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）若，则当，1，2，…，100时（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值.【详解】解：由题意得：即，化简得：，又k为整数,可得,所以，故选：C．9．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知随机变量，且，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据正态分布的性质求出的值，则，令，，则，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】因为随机变量，且，所以，即，所以，所以令，，所以，又，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为.故选：D.10．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）若随机变量，则有如下结论：（，，）,高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（

）A．19 B．12 C．6 D．5【答案】C【分析】由正态曲线的对称性求出理论上说在130分以上的概率，即可求出理论上说在130分以上人数.【详解】∵数学成绩近似地服从正态分布，，∴，根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为，∴理论上说在130分以上人数约为.故选：C．11．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）近年来，网络消费新业态、新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为50万人，从该县随机选取5000人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下5组：、、、，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分X（单位：分）近似地服从正态分布，且，，，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得.则以下不正确的是（

）

A．由直方图可估计样本的平均数约为74.5B．由直方图可估计样本的中位数约为75C．由正态分布估计全县的人数约为2.3万人D．由正态分布估计全县的人数约为40.9万人【答案】C【分析】由频率分布直方图所给数据可计算出样本的平均数与中位数，即可判断AB选项；由由此即可判断C选项；由，可判断D选项.【详解】对于A选项，由直方图可估计样本的平均数为，A对；对于B选项，满意度得分在之间的频率为，满意度得分在之间的频率为，设样本的中位数为，则，由中位数的定义可得，解得，B对；对于C选项，因为，，，所以，，所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，C错；对于D选项，因为，，所以，，所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，D对.故选：C12．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布，考生共50000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数约为（

）（附：若随机变量服从正态分布，则，，）A．1070 B．2140 C．4280 D．6795【答案】A【分析】利用区间上的概率及正态分布的对称性求，进而估计区间人数.【详解】由题设，所以数学单科分数在130～150分的学生人数约为人.故选：A13．（2023·吉林·统考模拟预测）下列说法错误的是（

）A．若随机变量，则B．若随机变量服从两点分布，且，则C．若随机变量的分布列为，则D．若随机变量，则的分布列中最大的只有【答案】D【分析】A选项，根据正态分布的对称性得到，A正确；B选项，根据服从两点分布，且得到分布列，求出的分布列，求出期望值和方差；C选项，根据概率之和为1列出方程，求出；D选项，根据解出答案.【详解】A选项，，由正态分布的对称性可知，A正确；B选项，若随机变量服从两点分布，且，即分布列为：01所以02故，则，B正确；C选项，分布列中概率之和为1，即，解得，C正确；D选项，随机变量，令，即，解得，因为，所以或3，则的分布列中最大的有或，D错误.故选：D14．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，击中奇数次为事件，则（

）A．若，则取最大值时B．当时，取得最小值C．当时，随着的增大而增大D．当时，随着的增大而减小【答案】C【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于CD，由题意把表示出来，然后利用单调性分析即可.【详解】对于选项A，在次射击中击中目标的次数，当时对应的概率，因为取最大值，所以，即，即，解得，因为且，所以，即时概率最大．故A不正确；对于选项B，，当时，取得最大值，故B不正确；对于选项C、D，，，，当时，为正项且单调递增的数列，所以随着的增大而增大，故C正确；当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故D不正确；故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查二项分布及其应用，其中求是难点，关键是能找到其与二项展开式之间的联系.二、多选题15．（2023·广东深圳·统考二模）下列说法正确的是（

）A．一组数据、、、、、、、的第分位数（中位数）为B．一组数据、、、、、、、的第分位数为C．若变量服从，，则D．若变量服从，，则【答案】ABD【分析】利用百分位数的定义可判断AB选项；利用正态分布的对称性可判断CD选项.【详解】对于AB选项，数据、、、、、、、共个数，因为，，因此，这组数据的分位数（中位数）为，这组数据的分位数为，AB都对；对于CD选项，因为变量服从，，则，C错D对.故选：ABD.16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）下列四个命题中正确的是（

）A．已知随机变量X服从正态分布，若，则B．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4C．已知随机变量X服从二项分布，若，则D．样本相关系数r，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强【答案】ACD【分析】根据正态分布曲线的对称性，可求得的值，判断A；根据线性回归直线过样本中心可求得m的值，判断B；根据二项分布的方差的性质可判断C；根据样本相关系数的意义可判断D.【详解】对于A，随机变量X服从正态分布，则由，可得，即，故，则，A正确；对于B，将样本点的中心代入，可得，B错误；对于C，随机变量X服从二项分布，则，若，则，C正确；对于D，样本相关系数r，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，正确，故选：ACD17．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）以下说法正确的是（

）A．决定系数越小，模型的拟合效果越差B．数据1，2，4，5，6，8，9的60百分位数为5C．若，则D．有一组不全相等的样本数据，，，，它的平均数和中位数都是5，若去掉其中的一个数据5，则方差变大【答案】ACD【分析】A由决定系数实际意义；B百分位数定义求60百分位数；C二项分布方差公式求方差，再由方差性质求新方差；D应用方差公式写出原方差、新方差，结合题意判断大小.【详解】A：决定系数越小，模型的拟合效果越差，越大拟合效果越好，对；B：，故60百分位数为6，错；C：由，则，故，对；D：由，原方差，去掉一个数据5，均值不变，新方差，数据是数据去掉一个数据5所得新数据，显然，对.故选：ACD18．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）下列说法中，正确的命题有（

）A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好B．已知随机变量服从正态分布N（2，），，则C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3D．若样本数据，，…的方差为2，则数据，，…的方差为16【答案】AC【分析】对于A，利用残差图的意义即可判断；对于B，利用正态分布的对称性计算判断；对于C，对给定模型取对数比对即得；对于D，利用新数据方差计算公式判断作答．【详解】对于A，在做回归分析时，由残差图表达的意义知，A正确；对于B，因，且，于是得，B不正确；对于C，由得，依题意得，，即，C正确；对于D，依题意，，，…，的方差为，D不正确.故选：AC.19．（2023·广东佛山·校考模拟预测）下列命题中，正确的是（

）A．若事件与事件互斥，则事件与事件独立B．已知随机变量服从二项分布，若，则C．已知随机变最服从正态分布，若，则D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是【答案】BD【分析】由互斥事件与独立事件的定义即可判断A；由二项分布的期望公式及期望的性质判断B；由正态分布的性质判断C；根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可判断D.【详解】对于A：由互斥事件与独立事件的定义，设事件、都是概率不为的事件，若事件与事件是互斥事件，则，而若事件与事件是相互独立事件，则，故A错误；对于B：因为，则，所以，即，解得，故B正确；对于C：由随机变量服从正态分布，，则，故C错误；对于D：因为回归直线方程必过样本中心点，所以，解得，故D正确；故选：BD20．（2023·广东韶关·统考模拟预测）下列命题中，正确的是（

）A．已知随机变量X服从二项分布，若，则B．已知随机变量X服从正态分布，若，则C．已知，，，则D．已知，，，则【答案】ACD【分析】利用二项分布期望公式及性质计算判断A；利用正态分布的对称性计算判断B；利用条件概率公式推理判断C；利用全概率公式计算判断D作答.【详解】对于，由二项分布的期望公式，，由期望的性质得，则，正确；对于，由正态分布曲线的性质知，，根据对称性知，，于是，B错误；对于C，由，得，所以，C正确；对于D，由，得，又，由全概率公式得，，D正确.故选：ACD21．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）某地区高三男生的身高X服从正态分布，则（

）A． B．若越大，则越大C． D．【答案】AC【分析】根据随机变量服从正态分布，求得对称轴，再根据曲线的对称性，即可求解答案．【详解】由题意，随机变量服从正态分布，所以，即正态分布曲线的对称轴为，,A选项正确;,C选项正确;又由，则，D选项错误;若越大，则数据越分散，越不集中在平均数附近，越小，B选项错误.故选：AC．22．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）随机变量的分布列如表：其中，下列说法正确的是（

）012PA． B．C．有最大值 D．随y的增大而减小【答案】ABC【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选项的正误即可．【详解】由题意可知，即，故A正确；，故B正确；，因为，，易得，而开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得最大值，所以随着y的增大先增大后减小，当时取得最大值，故C正确，D错误.故选：ABC.23．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知随机变量的概率密度函数为，且的极大值点为，记，，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据已知可求得，，，，即可判断A、B项；然后求出，根据正态分布的对称性，即可得出C、D项.【详解】对于A项，根据已知可得，，.因为的极大值点为，所以有，所以，故A项错误；对于B项，由A分析可知，，故B项正确；对于C项，由A分析可知，.又，，根据正态分布的对称性，可知，所以，故C正确；对于D项，因为，所以，.所以，，故D项正确.故选：BCD.24．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知两个离散型随机变量，满足，其中的分布列如下：012若，则（

）．A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由分布列的性质及期望公式解得，然后根据期望与方差的公式及性质求解.【详解】由分布列的性质，可得，解得①，因为，所以，即②，联立①②解得，，∴，因为，所以，.故选：ABD.25．（2023·吉林白山·统考二模）装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，则下列选项正确的是（

）．（附：若，则，，）A．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在的概率约为0.7685B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大D．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为乙生产线的2倍【答案】BD【分析】根据正态分布性质及对应特殊区间上的概率计算分别判断各个选项即可.【详解】因为，所以，．因为，所以，．因为，故A错误．因为，所以甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B正确．因为，，所以，所以甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C错误．因为，，所以D正确．故选：BD.26．（2023·海南海口·校考模拟预测）若随机变量，下列说法中正确的是（）A． B．期望C．期望 D．方差【答案