综合测试卷（B能力提升）

绝密★启用前|满分数学命制中心综合测试卷（B能力提升）高一数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：人教必修二2019。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，分子分母同时乘以.【详解】因为，所以．故选：A.2．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法，即直观图中平行于轴的长度不变，平行于轴的长度变为原来的一半，根据题中所给的数据以及图形，可知角形为直角三角形，，，，由此即可求出结果.【详解】因为为等腰直角三角形且，所以，，由斜二测画法可知，，且三角形为直角三角形，，所以三角形ABC的面积为．故选：B.3．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（

）A．如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面B．如果，，m、n是异面直线，那么n与相交C．如果，，m、n共面，那么D．如果l上有两个不同的点到平面的距离相等，则【答案】C【解析】【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案.【详解】对于A，当l与相交时，在平面内且过交点的直线与l都是共面的，故A错；对于B，如图1，可能是，故B错；对于C，这是线面平行的性质定理的等价说法，故C正确；对于D，如图2，由于直线l与相交时，也可以有两点到的距离相等，故D错．故选：C.4．（2022·江苏省姜堰第二中学高一阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】取，作为基底，把用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出.【详解】取，作为基底，则.因为，所以，所以.故选：D.5．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据正五边形的性质以及平面向量的线性运算可求出结果.【详解】设，则，，，所以，所以.故选：A6．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）如图所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF=，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积是（

）A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．8.5【答案】C【解析】【分析】取的中点，的中点，连、、、、、，根据，结合棱锥的体积公式计算可得结果.【详解】取的中点，的中点，连、、、、、，因为，且，所以为三棱柱，，，该多面体的体积是.故选：C7．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：观看场数01234567观看人数占调查人数的百分比8%10%20%26%m%12%6%2%从表中可以得出正确的结论为（

）A．表中m的数值为8B．估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C．估计观看比赛不低于4场的学生约为720人D．估计观看比赛场数的众数为2【答案】B【解析】【分析】由频率分布表的性质，求出m＝12,否定A;先由频率分布表求出观看比赛不低于4场的学生所占比率为36%，由此估计观看比赛不低于4场的学生约为360人；出现频率最高的为3．即可作出选择.【详解】由频率分布表的性质，得：m＝100﹣8﹣10﹣20﹣26﹣16﹣6﹣2＝12，故A错误；∵观看比赛不低于4场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2%＝36%，∴估计观看比赛不低于4场的学生约为：1000×36%＝360人，故B正确，C错误；出现频率最高的为3．故D错误；故选：B．【点睛】本题考查频率分布表以及利用频率分布表估计人数与众数，考查基本分析判断能力，属基础题.8．（2022·浙江·湖州中学高一阶段练习）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，m，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（

）A．30m B．mC．m D．m【答案】D【解析】【分析】在中，利用正弦定理求出BC长，再在中即可作答.【详解】在中，依题意有，由正弦定理得，即，由于塔垂直于地面，于是在中，，从而得，所以塔高m.故选：D二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）9．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）以下命题正确的是（

）A．B．C．若复数z满足，则z对应的点在第四象限D．是复数（、）为纯虚数的必要不充分条件【答案】BD【解析】【分析】对于A，由于两个虚数不能比较大，从而可判断，对于B，直接计算判断，对于C，先求出复数z对应的点，然后再判断其所在的象限，对于D，利用充分条件和必要条件的定义结合复数的概念判断即可【详解】对于A，因为两个虚数不能比较大，所以A错误，对于B，，所以B正确，对于C，复数在复平面内对应的点为，在第二象限，所以C错误，对于D，当时，不一定是纯虚数，而当是纯虚数时，一定成立，所以是复数（、）为纯虚数的必要不充分条件，所以D正确，故选：BD10．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，其中正确的结论为A．直线与是相交直线； B．直线与是平行直线；C．直线与是异面直线： D．直线与所成的角为.【答案】CD【解析】根据图形及异面直线的定义，异面直线所成的角判断即可.【详解】结合图形，显然直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与所成的角即直线与所成的角,在等边中，所以直线与所成的角为,综上正确的结论为CD.【点睛】本题主要考查了异面直线，异面直线所成的角，属于中档题.11．（2022·江苏省姜堰第二中学高一阶段练习）某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人；高三年级有13个班，每班50人.甲同学就读于高一，乙同学就读于高二．学校计划从这三个年级中共抽取300人进行视力调查，下列说法中正确的有（

）A．应该采用分层随机抽样法B．高一、高二、高三年级应分别抽取100人、135人和65人C．乙同学被抽到的可能性比甲同学大D．该问题中的总体是高一、高二、高三年级的全体学生的视力【答案】ABD【解析】【分析】根据年龄段应采用分层抽样可判断A，由分层抽样可判断B，由抽样的等可能性判断C,根据总体的概念判断D.【详解】由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法．由于比例为，因此高一年级1000人中应抽取100人，高二年级1350人中应抽取135人，高三65人，甲、乙被抽到的可能性都是，因此只有C不正确．故选：ABD12．（2021·湖南师大附中高一期末）中兴､华为事件暴露了我国计算机行业中芯片､软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片､软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中正确的是（

）A．芯片、软件行业从业者中，"90后”占总人数的比例超过60%B．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的"90后”人数超过总人数的25%C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多【答案】BD【解析】【分析】根据给定的雷达图和饼形图，整合数据，逐项判断计算作答.【详解】对于A，由饼形图知，芯片、软件行业从业者中，"90后”占总人数的比例为55%，没超过60%，A不正确；对于B，由雷达图和饼形图知，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的"90后”人数占总人数的，B正确；对于C，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”占总人数的，而“80后”占总人数的40%，从事技术岗位的人数比例不知，无法确定两者间的大小关系，C不正确；对于D，芯片、软件行业中，从事市场岗位的“90后”人数占总人数的，而“80前”总数占总人数的5%，D正确.故选：BD第Ⅱ卷填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知向量，若，则__________．【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．14．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若平面AEF，则线段长度的取值范围是_________.【答案】【解析】分别取棱的中点，通过证明平面可得必在线段上，进而可求得长度的取值范围.【详解】如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接，因为为所在棱的中点，所以，所以，又平面平面，所以平面；因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，在直角中，，同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形，当在中点时，，此时最短，位于处时最长，，，所以线段长度的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查空间点的存在性问题，解题的关键是取棱的中点，得出点必在线段上，从而将问题转化为在中.15．（2021·湖南师大附中高一期末）湖南某校高二年级为考查一次数学大练习成绩，按首选科目（物理或历史）进行分层抽样得到一个样本，样本中选物理类学生占，该次大练习数学平均成绩为124分，选历史类学生该次大练习数学平均成绩为100分，则可估计出该校全体高二学生本次数学大练习的平均分是__________．【答案】118【解析】【分析】利用平均分的定义分别求出选物理类学生、选历史类学生的数学总分，再计算全年级平均分作答.【详解】令该校全体高二学生人数为，依题意，选物理类学生人数为，数学考试总分为：，选历史类学生人数为，数学考试总分为：，所以估计该校全体高二学生本次数学大练习的平均分是.故答案为：11816．（2021·湖南师大附中高一期末）已知是两条不同直线，是两个不同平面，对下列命题：①若，则．②若，则且．③若，则．④若，则．其中正确的命题是__________．（填序号）．【答案】④【解析】【分析】由给定条件，举例说明判断命题①②③，利用线面平行的性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定推理判断④作答.【详解】如图，长方体中，平面为平面，对于①，直线，直线分别为直线，满足，而与相交，①不正确；对于②，令平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足，而，②不正确；对于③，令平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足，而与是异面直线，③不正确；对于④，因，则过直线作平面，令，如图，于是得，而，则有，所以，④正确.故答案为：④四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知复数，若；（1）求；（2）求实数的值；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用复数的四则运算法则可得.（2）化简原来的复数方程可得，利用复数相等的条件可得.【详解】(1)，故.(2)把代入，即，整理得到，因为，所以，解得，故实数的值分别为.18．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，，，，.(1)求证：PD⊥平面PBC；(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由平面，得，由，得，再由，得到平面．（2）过点作的平行线交于点，连结，则与平面所成的角等于与平面所成的角，由平面，得到为直线和平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．(1)证明：（1）因为平面，直线平面，所以．又因为，所以，又，而平面PBC,所以平面．(2)过点作的平行线交于点，连结，则与平面所成的角等于与平面所成的角．因为平面，故为在平面上的射影，所以为直线和平面所成的角．由于，，故四边形ADFB是平行四边形，故，故得,又AD⊥平面PDC，故，故，故,在中，,可得,所以直线与平面所成角的正弦值为．19．（2021·湖南师大附中高一期末）某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图．(1)求直方图中的值；(2)请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；(3)样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率．【答案】(1)0.01；(2)中位数是，平均数是；(3).【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图直接列式计算作答.（2）利用频率分布直方图求中位数、平均数的方法列式计算作答.（3）求出分数在的人数，再用列举法结合古典概率公式计算作答.(1)由频率分布直方图得：.(2)由频率分布直方图知，分数在区间、的频率分别为0.34，0.62，因此，该校语文成绩的中位数，则，解得，语文成绩的平均数为，所以该校语文成绩的中位数是，语文成绩的平均数是.(3)由频率分布直方图知，分数在内分别有8人和2人，因此抽取的5人中，分数在内有人，在内有1人，记内的4人为a，b，c，d，在内的1人为F，从5人中任取2人的结果有：，共10个不同结果，它们等可能，选出的2人中恰有一人成绩在中的结果是：，所以选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率是.20．（2021·湖南师大附中高一期末）已知正三棱柱中，，是的中点.(1)求证：平面；(2)点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）利用线面角的定义可求得的长，分析可知点到平面的距离等于点到平面的距离，可得出，结合锥体的体积公式可求得结果.(1)证明：连接交于点，连接，因为四边形为平行四边形，，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，故平面.(2)解：因为平面，与平面所成的角为，因为是边长为的等边三角形，则，平面，平面，，则，所以，，平面，，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，因为为的中点，则，则.21．（2021·湖南师大附中高一期末）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，