2020-2021学年高一数学下学期期末全真模拟试卷一（新教材浙江）

20202021学年高一数学下学期期末全真模拟试卷一（新教材·浙江）考试范围：2019版第二册；总分：150分；考试时间：120分钟学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·浙江高一单元测试）复数，则的共轭复数为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为，所以其共轭复数为.故选：D.2．（2021·浙江高一单元测试）甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是()A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75【答案】D【解析】根据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，则.∴目标是被甲击中的概率是故选D.3．（2021·浙江高一单元测试）在中，角所对的边分别为，已知，则（）A． B．或 C． D．或【答案】C【解析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得.【详解】依题意，由正弦定理得，，，，即.由于，所以.故选：C4．（2021·浙江高一期末）已知a、b为两条不同直线，为两个不同的平面，给出以下四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】根据空间中的线面关系逐一判断即可.【详解】若，，则或，故①错误若，，则或异面，故②错误由，推不出，故③错误若，，，则或异面，故④错误故选：A5．（2021·浙江高一单元测试）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒不全是黑子的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】直接利用对立事件的概率公式求解即可.【详解】设事件“从围棋盒子中取出2粒都是黑子”为，则，因为事件“从围棋盒子中取出2粒都是黑子”与事件“从围棋盒子中取出2粒不全是黑子”是对立事件，所以事件“从围棋盒子中取出2粒不全是黑子”为，因为，所以，故选：D.6．（2021·浙江高一期末）杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑．小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用正弦定理可得，结合已知条件有、，即可求的高度.【详解】由题意，，，即，∴△中，，则，而，∵在△中，米.故选：C7．（2021·浙江高一期末）如图所示，在正四棱锥中，，，它的内切球O与四个侧面分别相切于点E，F，G，H处，则四边形外接圆的半径为（）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】作出过正四棱锥顶点和底面对边中点的截面，是中点，的内切圆是正四棱锥内切球的大圆，切点为球与正四棱锥侧面的切点，求得的边长，得切点位置求得，而四边形是正方形，对称线为其外接圆直径，由此可得．【详解】如图，作出过正四棱锥顶点和底面对边中点的截面，不妨设是中点（是正四棱锥的斜高），则的内切圆是正四棱锥内切球的大圆，切点为球与正四棱锥侧面的切点，正四棱锥中，，，则，，是等边三角形，则分别为的中点，，由正四棱锥性质知四边形是正方形，所以外接圆半径为．故选：C．8．（2021·浙江高一期末）如图中，的平分线交的外接圆于点，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接BO、DO、BD，根据题意，可得四边形ABDO为菱形，即可求得各个边长可角度，又，根据数量积公式，即可求得答案.【详解】连接BO、DO、BD，如图所示：由题意得：，AD为的平分线，所以四边形ABDO为菱形，即，又，所以，所以，又，所以==.故选：D评卷人得分 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．（2021·辽宁营口市·高一期末）年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业造成了很大影响，为了解、两家大型餐饮店受影响的程度，现统计了年月到月、两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根据营业额折线图，下列说法正确的是（）A．店营业额的极差比店营业额的极差小B．店月到月营业额的分位数是C．店月到月每月增加的营业额越来越多D．店月到月的营业额的平均值为【答案】ABD【解析】计算出、两店营业额的极差，可判断A选项的正误；根据百分位数的定义可判断B选项的正误；根据营业额折线图可判断C选项的正误；利用平均数的定义可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由折线图可知，店营业额的极差为（万元），店营业额的极差为（万元），A选项正确；对于B选项，店月到月营业额由低到高依次为、、、、、，所以，店月到月营业额的分位数是，B选项正确；对于C选项，店从月到月营业额的增加量为，从月到月营业额的增加量为，C选项错误；对于D选项，店月到月的营业额的平均值为，D选项正确.故选：ABD.10．（2021·全国）已知复数（其中为虚数单位），则（）A．复数在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．可能为实数C． D．的实部为【答案】BC【解析】由可得，得，可判断A选项，当虚部，时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A选项错误；当，时，复数是实数，故B选项正确；，故C选项正确：，的实部是，故D不正确.故选：BC11．（2021·浙江高一期末）已知是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且，点E是BC边上任意一点（包含B，C点），则的取值可能是（）A． B． C．0 D．【答案】AB【解析】设，然后分别将表示为的形式，再根据向量数量积的定义以及的取值范围求解出可取值.【详解】设，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，又因为，所以，故选：AB.12．（2021·浙江高一期末）已知矩形，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中有下列结论：（）A．四棱锥的体积最大值为 B．四棱锥的外接球体积不变C．异面直线与所成角的最大值为 D．与平面所成角的最大值为【答案】ABD【解析】根据翻折过程，结合线面关系，逐项分析判断即可得解.【详解】对A，当平面平面时，点到的距离为即为棱锥高，此时体积最大，故A正确；对B，由，故四棱锥的外接球的直径为，四棱锥的外接球体积不变，故B正确；对C，假设直线与所成角的最大值为，此时，而，所以平面，则，而斜边矛盾，故C错误；对D，当平面平面时，与平面所成角为最大，由为矩形，，此时，故D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江高一期末）已知复数（为虚数单位）且，则_____．【答案】【解析】由，利用复数的乘法和复数相等求得，再由求解.【详解】因为复数，且，所以，所以，则，故答案为：14．（2020·涞水波峰中学高一月考）在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是______________①平均数；②平均数且标准差；③平均数且极差小于或等于2；④众数等于1且极差小于或等于4．【答案】②③④【解析】根据各个选项，分别分析新增人数的最大值是否可能大于5，即可得结论．【详解】仅仅平均值不大于3，有可能其中某个值大于5，①不符合；平均数时，若7天中有一个数值大于5，则方差，因此在标准差时，7天的数据都不超过5，②符合指标；平均数且极差小于或等于2，最大值必不大于5，③符合指标；众数等于1且极差小于或等于4时，最大值必不大于5，否则极差大于6－1＝5，④符合指标．故答案为：②③④15．（2021·全国高一课时练习）一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数，那么积是_____．【答案】6【解析】利用体积法求得两个多面体的内切球的半径，由比值得出，从而得结论．【详解】设六面体与八面体的内切球半径分别为与，再设六面体中的正三棱锥的高为，八面体中的正四棱锥的高为，如图所示如下图，正四面体中，是中心，，，正四棱锥中，是四棱锥的高，是与交点，．，，即，．所以正六面体，．又因为正八面体正方形，，于是是最简分数，即，，．故答案为：6．16．（2021·浙江高一期末）现有条件：①，②，③，从中任选一个，补充到下面横线上，并解答．在锐角中，角的对边分别为，且________，则b的取值范围为______．【答案】①②③中任选一个均可；【解析】若选①，先逆用两角差的余弦公式，求出角C，然后再根据正弦定理可得，由为锐角三角形，求出角A的范围即可求解；若选②，先用正弦定理角化边，再用余弦定理求出角C，后面解答同选①；若选③，先利用面积公式及余弦定理求出角C，后面解答同选①.【详解】解：在锐角中，若选①，则，，，，，又，所以由正弦定理得，为锐角三角形，，解得，所以，所以，所以，即b的取值范围为；若选②，，由正弦定理有，即，由余弦定理得，，，后面解答过程同①；若选③，，又，，即，，，，后面解答过程同①.故答案为：①②③中任选一个均可；.评卷人得分 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·山东泰安市·高一月考）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解.某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛.现把50名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：（1）求的值；（2）这50名党员成绩的众数、中位数及平均成绩；（3）试估计此样本数据的第90百分位数.【答案】（1）；（2）众数75，中位数76.7，平均成绩76.2；（3）93.75.【解析】(1)根据频率分布直方图面积之和为1，即可求出的值；(2)根据频率分布直方图，每一组的中间值代表该组的数据，即得到可这50名党员成绩的众数、中位数及平均成绩；(3)根据频率分布直方图，求频率在时的分数，即为此样本数据的第90百分位数的估计值.【详解】(1)根据频率分布直方图得：，解得.(2)有众数概念可知，众数是出现次数最多的数，所以众数为，，前三个小矩形的面积的和为，而第四个小矩形的面积为：，中位数应位于内，中位数=，平均成绩为：.(3)前5个小组的频率之和是，所以第90百分位数在第五小组内，为.18．（2021·全国高一课时练习）在矩形中，，是的中点，沿将折起，得到如图所示的四棱锥．（1）若平面平面，求四棱锥的体积；（2）若，求证：平面平面．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）先证明线面垂直得锥体的高，再求体积.（2）先证线面垂直，再由线面垂直推出面面垂直.【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，由题意知，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，即为四棱锥的高．在等腰中，，，而梯形的面积，四棱锥的体积．（2）取的中点，连接、，则，，，，、平面，平面，平面，，由（1）知，，又、平面，且与是相交的，平面，平面，平面平面．19．（2021·浙江高一期末）如图，以边长为2的正方形的边为直径作半圆，P为半圆上的动点，满足．（1）设，用分别表示和；（2）求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据已知条件分别将表示为和的线性组合，利用方程组思想求解出结果；（2）以中点为坐标原点建立合适平面直角坐标系，利用坐标表示出，然后根据坐标形式下向量的数量积计算公式以及三角函数的取值范围求解出的取值范围.【详解】（1）如下图，因为，所以，，所以，所以解得；（2）以中点为坐标原点，的方向为轴正向建立平面直角坐标系如下图所示，因为正方形边长为，所以半圆是单位圆位于轴上方的部分，设，，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，，所以.20．（2019·全国高一课时练习）某大学就业部从该大学2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下的频率分布直方图：若月薪落在区间的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见．其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈1500元（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）现该校2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生？（2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能1部，求获赠智能的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；（3）位于某省的一高校2018届某专业本科毕业生共200人，现他们决定于2019年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用．假定这200人与所抽取样本中的100人月薪分布情况相同，并用样本频率进行估计，现有两种收费方案：方案一：按每人一个月薪水的10%收取；方案二：月薪高于样本平均数的每人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何用．问：哪一种收费方案最终总费用更少？【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】（1），，经比较可知张茗属于就业不理想的学生；（2）月薪不超过5000的有3人，超过5000的有3人，从6人中抽2人共有15种，其中符合恰有1人月薪不超过5000的有9种，由古典概型概率公式可得；（3）方案一收取133000元，方案二收取108000元，经比较可知方案二符合题意．【详解】（1）=3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015+6500×1000×0.00030+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015+9500×1000×0.00005=6650，2s=66503000=3650＞3600，所以张茗属于“就业不理想“的学生．（2）第一组有1000×0.00005×100=5人，第二组有1000×0.00010×100=10人，第三组有1000×0.00015×100=15人，所以按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为A，第二组抽2人，记为B，C，第三组抽3人，记为D，E，F，从这6人中抽2人共有15种：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）．其中恰有一人月薪不超过5000元的有9种：（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）．根据古典概型概率公式可得P==．（3）同一组中的数据用该组区间的中点值作代表可得：方案一：月薪在30004000之间的收取1000×0.00005×200×3500×0.1=3500；月薪在40005000之间的收取1000×0.00010×200×4500×0.1=9000；月薪在50006000之间的收取1000×0.00015×200×5500×0.1=16500；月薪在60007000之间的收取1000×0.00030×200×6500×0.1=39000；月薪在70008000之间的收取1000×0.00020×200×7500×0.1=30000；月薪在80009000之间的收取1000×0.00015×200×8500×0.1=25500；月薪在900010000之间的收取1000×0.00005×200×9500×0.1=9500；共收取133000元．方案二：月薪高于6650的收取800×200×1000×（0.00020+0.00015+0.00005）=64000；月薪不低于4000但低于6650的收取400×200×1000×（0.00010+0.00015+0.00030）=44000；共收取108000．故方案二最终总费用更少．21．（2021·浙江高一期末）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在中，内角的对边分别为．已知__________．（1）求角A；（2）设的面积为S，若，求面积S的最大值．【答案】（1）；