高一数学下学期第一次月考模拟试题三

高一数学下学期第一次月考模拟试题三数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数满足(为虚数单位)，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的除法运算求得，进而求得的虚部.【详解】，则复数的虚部为.故选：D2．在中，设，，若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】运用向量线性运算即可求得结果.【详解】∵，∴D为BC的中点，∴，又∵，，∴.故选：A.3．已知中，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图可得是点到的距离，根据平面向量的基本定理可得当点在点处时取得最小值，利用余弦定理求得即可.【详解】如图，由平面向量的加法法则可得是点到的距离，依题意得为等腰直角三角形，斜边为斜边的两个四等分点，因为，且，所以点在线段上运动，由图易得，当点在点处时，取得最小值，由余弦定理，得，所以.故选：C.4．已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面向量的坐标运算求得，，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．【详解】由题意，得，，则与的夹角的余弦值为．故选：A．5．鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点、、处分别测塔顶的仰角为、、，且米，则文星塔高为（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】B【分析】设建筑物的高为，用表示、、，利用结合余弦定理求出的值，即可得解.【详解】如下图所示：设建筑物的高为，则，，，由余弦定理可得，，因为，故，即，可得.故选：B.6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．若为锐角三角形，且a=3，则当面积最大时，其内切圆面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先用正弦定理角化边整理可得，由余弦定理可得，结合面积公式和基本不等式分析可得当为等边三角形时，面积取到最大值，再利用等面积法求内切圆半径即可.【详解】∵，则，整理得，则，∵为锐角三角形，则，故，由面积为，可得当面积取到最大值，即为取到最大值，∵，即，即，当且仅当，即为等边三角形时等号成立，故当为等边三角形时，面积取到最大值，设的内切圆半径为，则，解得，故内切圆面积为.故选：D.【点睛】方法点睛：解三角形求面积的取值范围（或最值）的两种方法：（1）利用余弦定理建立三边之间的关系，结合不等式求取值范围（或最值）；（2）利用正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换和三角函数求取值范围（或最值）.7．已知非零向量，满足，且，则为（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】由左右互除得出，再由，得出，即可得出答案.【详解】，，，，为等腰三角形，又，，，又，所以，为等边三角形，故选：D.8．如图所示，正六边形的边长为2，若P为该正六边形边上的动点，则的取值范围为（

）A．[2，6] B．[2，6] C．[4，12] D．[4，12]【答案】B【分析】以正六边形的中心为原点，所在的直线为轴，的中垂线所在的直线为轴，建立坐标系，利用的运算求解.【详解】解：建立如图所示的坐标系：因为正六边形的边长为2，所以，，，设，则，所以，由题意可知，所以，所以，即.故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设向量，，则（

）A． B．与的夹角为 C． D．【答案】AD【分析】利用向量的坐标即可计算向量的模长，向量夹角，利用向量坐标与空间位置的关系即可判断出两向量位置关系.【详解】，，故，A正确；且，故与的夹角为，B错误；，由此知：不存在实数λ使成立，C错误；，D正确.故选：AD10．已知复数，则对任意的复数，下列各式始终成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】设（a，b均不为0），，然后逐一化简判断即可.【详解】设，a，b均不为0，设，则对于A：，，故A正确；对于B：，，故B正确；对于C：，，故C不正确；对于D：，故D正确.故选：ABD．11．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（

）A．“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件B．若，则为等腰三角形C．命题“若，则”是真命题D．若，，，则符合条件的有两个【答案】AC【分析】由为锐角三角形，可得，根据正弦函数的单调性以及诱导公式可得.取为钝角，可知满足题意，即可判断A项；由已知可得或，即可判断B项；根据正弦定理，即可判断C项；根据余弦定理可求出，即可判断D项.【详解】对于A项，若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确；对于B项，由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C项，若，则，由正弦定理，可得即成立，故C正确：对于D项，根据余弦定理可得，解得（舍去负值），则符合条件的只有一个，故D错误．故选：AC.12．是的重心，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（

）A．B．在方向上的投影向量等于C．D．的最小值为【答案】ACD【分析】根据向量的线性运算结合重心的性质判断A，根据投影向量的定义判断B，根据向量的数量积的运算律判断CD.【详解】对于A，当点为的重心时，如图所示：四边形为平行四边形，根据重心性质可得.则，∴A正确；对于B，∵在方向上的投影为，∴在方向上的投影向量为，∴B错误；对于C，∵是的重心，∴，，∴，所以，∴C正确；对于D，如下图，取的中点，连接，取中点，连接，则，，，则，显然当重合时，，取最小值，∴D正确.故选：ACD．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，若，则__________.【答案】3【分析】求出，利用模长公式列出方程，求出.【详解】因为，所以，解得:.故答案为：314．已知，，，则______．【答案】【分析】设，，根据复数模长运算可求得，代入即可整理求得结果.【详解】设，，，，，，，解得：，，.故答案为：.15．在中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设的面积为，的面积为，且，则的取值范围为_________．【答案】【分析】利用三角形面积公式求得面积比与参数之间的等量关系，结合向量共线定理的推论，找到之间的关系，构造函数，即可求得取值范围.【详解】根据题意，连接，作图如下：，在三角形中，因为为其重心，故可得结合已知条件可得：，因为三点共线，故可得，即，由题设可知，，又，得，故，令，可得，，则，又在单调递减，单调递增，当时，，当时，，当时，，故.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量共线定理及其推论，处理问题的关键是正确应用定理以及推论，同时要注意参数范围的求解以及对勾函数单调性的应用，属综合中档题.16．在锐角中，角所对的边分别为为的面积，且，则的取值范围___________.【答案】【分析】利用三角形面积公式与余弦定理,可得，再根据同角关系式可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得出，结合条件可得的取值范围，进而即得.【详解】因为，且，所以，即，由余弦定理得：，所以，又，所以，解得：或，因为为锐角三角形，所以，，所以，因为，所以，由正弦定理得：，因为为锐角三角形，所以，即,所以，所以，所以，所以，，故.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知复数，．(1)若z是实数，求m的值．(2)若z是纯虚数，求m的值．(3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；【答案】(1)或；(2)；(3).【分析】（1）由复数的概念可得，解出即可得到结果；（2）由复数的概念可得，解出即可得到结果；（3）根据复数的几何意义，可得，解出不等式组即可得到结果.【详解】（1）因为为实数，所以，解得或.（2）因为是纯虚数，所以有，解得.（3）因为对应复平面上的点在第四象限，所以有，解得.18．在中，已知．(1)求；(2)若是边上的一点，且，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用正弦定理角化边，再由余弦定理边化角，化简得，可求；（2）由，可得，两边平方得，化简后利用基本不等式可得，可求面积的最大值.【详解】（1）因为，由正弦定理得，由余弦定理得，故，又C为三角形内角，.（2），由，则，可得，则有，即，整理得到，当且仅当时等号成立，所以，故面积的最大值为.19．在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.(1)求角C和边c的大小.(2)求周长的范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由三角恒等变换化简等式，结合角的范围可得C，再由正弦定理及求得c；（2）结合正弦定理有，结合角的关系及三角恒等变换化简求范围即可.【详解】（1），∵，，∴，∴.由及正弦定理得；（2）由正弦定理得，∴.∵，∴，∴.∴周长.20．在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求角的大小；(2)若，且上的中线长为，求斜三角形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，再利用余弦定理即可求出角的大小；（2）根据为为上的中线得，结合余弦定理求出，进而求出面积.【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得：，即，所以，又，所以，所以.（2）因为为上的中线，所以，即，所以，即，所以

①，由余弦定理可得：，所以

②①②得：，所以.21．如图所示，在中，点是边的中点，点是线段靠近的三等分点.过点的直线与边分别交于点.设，其中.(1)试用与表示，写出过程；(2)求证：为定值，并求此定值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由平面向量基本定理可得答案；（2）由平面向量基本定理、向量的三点共线可得答案.【详解】（1）因为点是边的中点，所以，；（2）因为，所以，因为，所以，因为三点共线，所以，可得为定值.22．在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，（如图1），小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答．(1)当或时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由；(2)如图2，射线，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围．【答案】(1)若，则，在直线AB异侧；若，则，在直线AB同侧；理由见解析(2)实数的取值范围是，【分析】（1）运用平面向量基本定理、平面共线定理判断即可；（2）运用平面向量基本定理、平面向量加法的平行四边形法和三点共线的结论可解决此问题．【详解】（1）若，则，在直线AB异侧；若，则，在直线AB同侧．理由如下：设，则由，得：，则在直线上有一点，使得，如下图所示：则，即，当时，则与同向，且，由平面共线定理可得，，在直线AB异侧；当时，与反向，如下图所示，且，由