第9章平面向量-2021-2022学年高一数学单元复习（2019）2

20212022学年高一数学单元复习【真题模拟练】第9章平面向量一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•浙江）已知非零向量，，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当且，则，但与不一定相等，故不能推出，则“”是“”的不充分条件；由，可得，则，即，所以可以推出，故“”是“”的必要条件．综上所述，“”是“”的必要不充分条件．故选B．2．（2021•上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】B【解析】不妨设，，，，，①，，若，则，即，满足条件的存在，例如，满足上式，所以①成立；②为中点，，与的交点即为重心，因为为的三等分点，为中点，所以与不共线，即②不成立．故选B．3．（2020•海南）在中，是边上的中点，则A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，是边上的中点，则．故选C．4．（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是A． B． C． D．【答案】D【解析】单位向量，，对于，，所以与不垂直；对于，，所以与不垂直；对于，，所以与不垂直；对于，，所以与垂直．故选D．5．（2020•新课标Ⅲ）已知向量，满足，，，则，A． B． C． D．【答案】D【解析】向量，满足，，，可得，，．故选D．6．（2020•山东）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】画出图形如图，，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，显然，在处时，取得最大值，，可得，最大值为6，在处取得最小值，，最小值为，是边长为2的正六边形内的一点，所以的取值范围是．故选A．7．（2019•新课标Ⅱ）已知，，，则A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】，，，，即，则故选C．8．（2019•新课标Ⅰ）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，．故选B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021秋•泰州期末）在平行四边形中，若，，则A． B． C． D．若，【答案】ACD【解析】，故正确；在平行四边形中，，所以，故错误；因为，，所以，故正确；因为，所以，所以，即，故正确；故选ACD．10．（2021秋•荆州期末）已知平面向量，且，则A． B．向量与的夹角为 C． D．【答案】BD【解析】因为，所以，又因为，即，所以，故错误；由，，可得向量与的夹角为，故正确；因为，而，．所以，故错误；，所以，故正确；故选BD．11．（2021春•海陵区期中）已知，，是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是A． B．若，则 C．非零向量和，满足，则与的夹角为 D．【答案】ACD【解析】，故选项正确；显然，不一定相等，例如当为零向量时，故选项错误；设，则，，为正三角形，而由三角形法则可知，为的一半，即为，故选项正确；设，则是与共线的单位向量，是与共线的单位向量，，故选项正确．故选ACD．12．（2021秋•大连期末）如果，是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是A．可以表示平面内的任意一个向量 B．对于平面内任意一个向量，使的实数对有无穷多个 C．若向量与，，，共线，则有且只有一个实数，使得 D．若存在实数，使得，则【答案】AD【解析】根据平面向量基本定理可知、选项正确，根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，故选项错误，当两向量的系数均为0，这样的有无数个，故选项错误．故选AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为．【答案】【解析】建立平面直角坐标系如下，则，，，直线的方程为，即，点在直线上，设，，，，的最小值为．故答案为：．14．（2021•乙卷）已知向量，，若，则．【答案】【解析】因为向量，，则，又，所以，解得．故答案为：．15．（2021•甲卷）已知向量，，．若，则．【答案】【解析】因为向量，，，由，则，解得．故答案为：．16．（2021•甲卷）若向量，满足，，，则．【答案】【解析】由题意，可得，因为，，所以，所以．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021秋•望花区期末）已知向量，，，．（1）求的值；（2）若与同向，求．【答案】（1）因为向量，，且，所以，解得；（2）因为与同向，所以，即，因为，所以，所以．18．（2021秋•沈阳期末）已知向量，，．（1）求与共线的单位向量；（2）求满足的实数，的值；（3）若，求实数的值．【答案】（1）根据题意，向量，，则，设要求向量为，则，，则有，解可得，故要求向量为，或，；（2）根据题意，若，则，，，，则有，解可得，（3）根据题意，，，若，则有，解可得；故．19．（2021秋•大通县期末）已知，，是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与的夹角为，求的值．【答案】（1）因为，，所以，又因为，所以，解得，所以的坐标为或．（2）由（1）知，又因为，与的夹角为，所以．所以．20．（2021春•安徽月考）如图，在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，且．（1）试用，表示；（2）若，，，求．【答案】（1）由题意知，点为的重心，因为，所以．（2）因为，，，所以，又，所以，所以．21．（2021秋•辽宁期末）如图，在中，，，与相交于点，设，．（1）试用，表示向量；（2）在线段上取一点，在上取一点，使得过点，设，，求的最小值．【答案】（1）由，，三点共线可知，存在实数使得，由，，三点共线可知，存在实数，使得，由平面向量基本定理知，解得，所以．（2）若，则，又因为，，三点共线，所以，所以，由题意可知，，，