41等差数列（精讲）（基础版）（原卷版）

4.1等差数列（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一等差数列基本量的计算【例1】（2022·福建三明）已知等差数列{}的前n项和为，且，，则＝（

）A．6 B．10 C．12 D．201.1.方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．2.整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．3.利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．温馨提示【一隅三反】1．（2022·陕西汉中）已知等差数列的前项和为，，，则等差数列的公差是（

）A． B． C． D．2．（2022·内蒙古呼和浩特）已知在等差数列中，，则（

）A．30 B．39 C．42 D．783．（2022·陕西·西安工业大学附中）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．20 B．23 C．24 D．28考点二等差中项【例21】（2022·北京通州·一模）设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．60 B．70 C．120 D．140【例22】（2022·浙江杭州·二模）设等差数列的前n项和为，若，则（）A．12 B．15 C．18 D．21【例23】（2022·安徽滁州）已知是公差不为零的等差数列，若，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【一隅三反】1．（2022·河北石家庄·二模）等差数列的前n项和记为，若，则（

）A．3033 B．4044 C．6066 D．80882．（2022·河南平顶山）已知为正项等差数列的前n项和，若，则（

）A．22 B．20 C．16 D．113．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足且，则（

）A．3 B．3 C． D．考点三前n项和的性质【例31】（2022·北京石景山）记为等差数列的前项和，若，，则（

）A．36 B．45 C．63 D．75【例32】（1）（2022·江西·临川一中）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（

）A． B． C． D．（2）（2022·四川师范大学附属中学二模（理））设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（

）A．B．C．D．3【例33】（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则(

)A． B．C． D．【例34】（1）（2022·内蒙古赤峰）已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时正整数n的值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12（2）（2022·重庆·二模）（多选）设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（

）A． B．当时，取得最小值C． D．当时，的最小值为291.1.等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.2.在等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等差数列；eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列温馨提示【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（

）A．3 B．12 C．21 D．302．（2022·全国·高三）若等差数列和的前n项的和分别是和，且，则（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则（

）A．d<0B．a16<0C．Sn≤S15D．当且仅当n≥32时，Sn<06．（2022·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（

）A．16 B．17 C．18 D．19考点四等差数列定义及其运用【例41】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列数列是等差数列的是（

）A．0，0，0，0，0，… B．1，l，111，111l，…C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…【例42】（2022·全国·高三专题练习）在数列中，有,证明：数列为等差数列，并求其通项公式.【例43】（2022·四川·泸县五中模拟预测（理））下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（

）A． B．C．通项公式 D．【例44】（2022·全国·高三专题练习）已知不全相等的实数，，成等比数列，则一定不可能是等差数列的为（

）A．，， B．，， C．，， D．，，等差数列的判定与证明的方法等差数列的判定与证明的方法方法解读适合题型定义法若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列温馨提示【一隅三反】1．（2022·全国·课时练习）（多选）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）在数列中，，且对任意大于的正整数，点在直线上，则（

）A．数列是等差数列B．数列是等差数列C．数列的通项公式为D．数列的通项公式为3．（2022·全国·课时练习）（多选）下列数列中是等差数列的是（

）A．，a，B．2，4，6，8，…，，C．，，，D．4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，当n≥2时，.求证:数列是等差数列.考点五等差数列的实际应用【例5】（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）《周髀算经》是中国古代天文学与数学著作，其中有关于24节气的描述，将一年分为24个节气，如图所示，已知晷长指太阳照射物体影子的长度，相邻两个节气的晷长变化量相同（即每两个相邻节气晷长增加或减小量相同，其中冬至晷长最长，夏至晷长最短，从夏至到冬至晷长逐渐变大，从冬至到夏至晷长逐渐变小.周而复始，已知冬至晷长为13.5尺，芒种晷长为2.5尺，则一年中秋分这个节气的晷长为（

）A．6.5尺 B．7.5尺 C．8.5尺 D．95尺【一隅三反】1.（2022·江苏南通·模拟预测）《张邱建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即每天增加的数量相同）".若该女子第一天织布两尺，前二十日共织布六十尺，则该女子第二十日织布（

）A．三尺 B．四尺 C．五尺 D．六尺2．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，…，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（

）A．189 B．252C．324 D．4053．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前